高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程课时作业，共43页。试卷主要包含了圆的定义，圆的要素，圆的标准方程等内容，欢迎下载使用。

知识点1 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
注：（1）圆的方程的推导：
设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得eq \r(x－a2＋y－b2)＝r，
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．
(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
(4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．
【即学即练1】圆心在x轴上，半径为5，且过点的圆的方程是________________．
【即学即练2】与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
【即学即练3】以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________．
【即学即练4】已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程．
知识点2 点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．
(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．
【即学即练5】已知点P(2,1)和圆C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________．
【即学即练6】已知点M(5eq \r(a)＋1，eq \r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________________．
知识点3 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常见圆的方程的设法
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))
5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
【即学即练7】(多选)下列结论正确的是( )
A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B．圆的一般方程和标准方程可以互化
C．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆
D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0
【即学即练8】(多选)若a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(2,3)))，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为( )
A．－2 B．0 C．1 D.eq \f(2,3)
【即学即练9】若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4)))
【即学即练10】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3)D．(2，－3)
【即学即练11】过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为______．
知识点4 圆的轨迹问题
轨迹和轨迹方程区别：轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标满足的关系式．
【即学即练12】已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是( )
A．点 B．直线
C．线段 D．圆
【即学即练13】已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是__________．
考点一 求圆的标准方程
解题方略：
求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
由圆的标准方程求圆心、半径
【例1-1】圆(x－1)2＋(y＋eq \r(3))2＝1的圆心坐标是( )
A．(1，eq \r(3)) B．(－1，eq \r(3))
C．(1，－eq \r(3)) D．(－1，－eq \r(3))
变式1：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝eq \f(\r(3),3)x的距离是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D.eq \r(3)
（二）求圆的标准方程
【例1-2】圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．
变式1：求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．
变式2：圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________．
变式3：求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程．
变式4：已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．
变式5：圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________．
考点二 点与圆的位置关系
解题方略：
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，
设d＝|PC|＝eq \r(x0－a2＋y0－b2).
判断点与圆的位置关系的方法
(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系．
(3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内．
此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d【例2-1】已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在( )
A．圆内 B．圆外
C．圆上 D．圆上或圆外
变式1：点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外D．不确定
变式2：已知a，b是方程x2－x－eq \r(2)＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是( )
A．点P在圆C内 B．点P在圆C外
C．点P在圆C上 D．无法确定
【例2-2】若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是________．
变式1：若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．
变式2：已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
【例2-3】已知M(2,0)，N(10,0)，P(11,3)，Q(6,1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．
考点三 与圆有关的最值问题
解题方略：
1、圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
2、与圆有关的最值问题常见的几种类型
(1)形如u＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(l,b)截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
【例3-1】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求eq \f(y,x)的最大值和最小值．
变式1：已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求y－x的最大值和最小值．
变式2：已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求x2＋y2的最大值和最小值．
【例3-2】已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是________．
【例3-3】设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6B．4
C．3D．2
变式1：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
【例3-4】已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为________．
考点四 圆的一般方程
解题方略：
1、圆的一般方程辨析
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
2、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
3、利用待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
圆的一般方程辨析
【例4-1】已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，＋∞))
变式1：若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
变式2：如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有( )
A．D＝EB．D＝F
C．E＝FD．D＝E＝F
将圆的一般方程化为标准方程
【例4-2】圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y－3)2＝16B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16
由圆的一般方程求圆心、半径
【例4-3】已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为( )
A．3 B.eq \r(5) C．5 D．4
变式1：将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0
变式2：已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．
变式3：圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
变式4：若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为( )
A．2或1B．－2或－1
C．2D．1
变式5：点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．
（四）求圆的一般方程
【例4-4】已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4eq \r(3)，求圆的方程．
变式1：过点M(－1,1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________．
变式2：过三点O(0,0)，M(7,1)，N(4,2)的圆的方程为________________．
变式3：已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．
（五）点与圆的一般方程的位置关系
【例4-5】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点五 与圆有关的轨迹问题
解题方略：
求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
用代入法求轨迹方程的一般方法

【例5-1】已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
变式1：如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．
变式2：已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
【例5-2】设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________．
变式1：已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．πB．4π
C．8πD．9π
题组A 基础过关练
1、求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
2、已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝eq \r(2)
C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4
3、与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(0,1)的圆的方程为________．
4、若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
5、已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0
6、方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)D．点(－a，－b)
7、已知圆心在点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
8、已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
9、求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程．
10、当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq \r(5)为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0
题组B 能力提升练
11、若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(π,5)
12、已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16D．x2＋(y－1)2＝16
13、已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
14、已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
15、已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
16、已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A．B．6
C．D．
17、已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．
18、已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
19、当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)·x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆？
20、已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq \r(2)，求圆的一般方程．
21、已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
题组C 培优拔尖练
22、已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．
23、点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程．
24、已知圆C: x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
25、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的方程．
课程标准
核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
直观想象
数学运算
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点在圆外
d>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点在圆上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
d(x0－a)2＋(y0－b)2条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
D2＋E2－4F>0
表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆
2.4 圆的方程

知识点1 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
注：（1）圆的方程的推导：
设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得eq \r(x－a2＋y－b2)＝r，
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．
(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
(4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．
【即学即练1】圆心在x轴上，半径为5，且过点的圆的方程是________________．
【解析】设圆的标准方程为．
因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6，
所以所求圆的标准方程为或．
【即学即练2】与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
【解析】∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
【即学即练3】以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________．
【解析】∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，
eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)eq \r(5＋32＋5＋12)＝5为半径，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
【即学即练4】已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程．
【解析】.由得，由得，
，，以为直径的圆的圆心是，半径，
知识点2 点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．
(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．
【即学即练5】已知点P(2,1)和圆C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________．
【解析】由题意，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋(y－1)2＝1，当点P在圆C上时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,2)))2＋(1－1)2＝1 ，解得a＝－2或－6.
当点P在圆C外时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,2)))2＋(1－1)2>1，
解得a<－6或a>－2.
【即学即练6】已知点M(5eq \r(a)＋1，eq \r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________________．
【解析】由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,5\r(a)＋1－12＋\r(a)2<26，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,26a<26，))解得0≤a<1.
答案 [0,1)
知识点3 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常见圆的方程的设法
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))
5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
【即学即练7】(多选)下列结论正确的是( )
A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B．圆的一般方程和标准方程可以互化
C．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆
D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0
【解析】AB显然正确；C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示点(1，－2)；D正确．故选ABD
【即学即练8】(多选)若a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(2,3)))，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为( )
A．－2 B．0 C．1 D.eq \f(2,3)
【解析】根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，又a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(2,3)))，则a的值可以为－2,0，eq \f(2,3).
【即学即练9】若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4)))
【解析】根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，所以m>－eq \f(1,4).故选C
【即学即练10】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3)D．(2，－3)
【解析】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(－4,2)，－\f(6,2)))，即(2，－3)．故选D
【即学即练11】过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为______．
【解析】该圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))，半径为eq \f(5,2)，故其标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋(y－2)2＝eq \f(25,4).
化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0.
知识点4 圆的轨迹问题
轨迹和轨迹方程区别：轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标满足的关系式．
【即学即练12】已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是( )
A．点 B．直线
C．线段 D．圆
【解析】∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，
∴(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．故选D
【即学即练13】已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是__________．
【解析】设C(x，y)(y≠0)，则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2))).∵B(4,0)，且AC边上的中线BD长为3，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－4))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))2＝9，即(x－8)2＋y2＝36(y≠0)．
考点一 求圆的标准方程
解题方略：
求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
由圆的标准方程求圆心、半径
【例1-1】圆(x－1)2＋(y＋eq \r(3))2＝1的圆心坐标是( )
A．(1，eq \r(3)) B．(－1，eq \r(3))
C．(1，－eq \r(3)) D．(－1，－eq \r(3))
【解析】由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋eq \r(3))2＝1，得圆心坐标为(1，－eq \r(3))．故选C
变式1：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝eq \f(\r(3),3)x的距离是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D.eq \r(3)
【解析】圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线y＝eq \f(\r(3),3)x的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3))),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2))＝eq \f(1,2).故选A
（二）求圆的标准方程
【例1-2】圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．
【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0，,2x＋y－8＝0，))可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝eq \r(2－02＋4－02)＝2eq \r(5)，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
变式1：求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．
【解析】(法一：待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝r2，,a－12＋b－12＝r2，,2a＋3b＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－3，,r＝5.))
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(法二：几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－3，))
即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝eq \r(42＋－32)＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
变式2：圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________．
【解析】设圆心为C(0，b)，
则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆心为(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
答案：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25
变式3：求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程．
【解析】设圆心为(a,0)，则eq \r(a－12＋16)＝eq \r(a－22＋9)，所以a＝－2.半径r＝eq \r(a－12＋16)＝5，
故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.
变式4：已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．
【解析】法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0－a2＋5－b2＝r2，,1－a2＋－2－b2＝r2，,－3－a2＋－4－b2＝r2.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝1，,r＝5.))
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
法二：因为A(0,5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))，直线AB的斜率kAB＝eq \f(－2－5,1－0)＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－eq \f(3,2)＝eq \f(1,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－7y＋10＝0，,2x＋y＋5＝0))得圆心的坐标为(－3,1)，
又圆的半径长r＝eq \r(－3－02＋1－52)＝5，
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
变式5：圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________．
【解析】设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b＋1,a－3)·－1＝－1，,\f(a＋3,2)＋\f(b－1,2)－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝0，))
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
考点二 点与圆的位置关系
解题方略：
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，
设d＝|PC|＝eq \r(x0－a2＋y0－b2).
判断点与圆的位置关系的方法
(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系．
(3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内．
此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d【例2-1】已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在( )
A．圆内 B．圆外
C．圆上 D．圆上或圆外
【解析】由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a,1)，
则原点与圆心的距离为eq \r(a2＋1).
∵0＜a＜1，∴eq \r(a2＋1)＞eq \r(2a)＝r，即原点在圆外．故选B
变式1：点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外D．不确定
【解析】 ∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．故选C
变式2：已知a，b是方程x2－x－eq \r(2)＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是( )
A．点P在圆C内 B．点P在圆C外
C．点P在圆C上 D．无法确定
【解析】由题意，得a＋b＝1，ab＝－eq \r(2)，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2eq \r(2)<8，∴点P在圆C内．
故选A
【例2-2】若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1＜a＜1.
答案：(－1,1)
变式1：若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．
【解析】∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>eq \f(1,169)，
∴a>eq \f(1,13)或a＜－eq \f(1,13).
变式2：已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
【解析】(1)因为点M在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又a＞0，可得a＝eq \r(10).
(2)由两点间距离公式可得，
|PN|＝eq \r(3－52＋3－62)＝eq \r(13)，
|QN|＝eq \r(5－52＋3－62)＝3.
因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3＜eq \r(13)，所以3＜a＜eq \r(13).即a的取值范围是(3，eq \r(13))．
【例2-3】已知M(2,0)，N(10,0)，P(11,3)，Q(6,1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．
【解析】设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋b2＝r2，,10－a2＋b2＝r2，,11－a2＋3－b2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝6，,b＝3，,r2＝25.))
∴过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25.
将点Q的坐标(6,1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25，
∴点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上，
∴M，N，P，Q四点不共圆.
考点三 与圆有关的最值问题
解题方略：
1、圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
2、与圆有关的最值问题常见的几种类型
(1)形如u＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(l,b)截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
【例3-1】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求eq \f(y,x)的最大值和最小值．
【解析】原方程表示以点(2,0)为圆心，以eq \r(3)为半径的圆，设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3).
故eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).
变式1：已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求y－x的最大值和最小值．
【解析】设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，
即b＝－2±eq \r(6).
故y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，
最小值为－2－eq \r(6).
变式2：已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求x2＋y2的最大值和最小值．
【解析】x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，
(x2＋y2)min＝(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
【例3-2】已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是________．
【解析】由题意可得，圆C的圆心坐标为(2,4－m)，半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d＝eq \r(22＋4－m2)－1的最小值，当m＝4时，d最小，dmin＝1.
答案：1
【例3-3】设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6B．4
C．3D．2
【解析】画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.故选B
变式1：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
【解析】圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1,1)，
则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq \f(|1－1－2|,\r(12＋－12))＝eq \r(2)，
故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为eq \r(2)＋1.
【例3-4】已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为________．
【解析】∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，
∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5.
∵y∈[－1,1]，
∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4.
考点四 圆的一般方程
解题方略：
1、圆的一般方程辨析
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
2、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
3、利用待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
圆的一般方程辨析
【例4-1】已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，＋∞))
【解析】方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．故选A
变式1：若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
【解析】(1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜eq \f(1,5)，
故m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,5))).
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝eq \r(1－5m).
变式2：如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有( )
A．D＝EB．D＝F
C．E＝FD．D＝E＝F
【解析】由D2＋E2－4F＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线y＝x上，故D＝E.
将圆的一般方程化为标准方程
【例4-2】圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y－3)2＝16B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16
【解析】将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.故选C
由圆的一般方程求圆心、半径
【例4-3】已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为( )
A．3 B.eq \r(5) C．5 D．4
【解析】圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，即(x＋a)2＋y2＝a2－9，
它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5，
故它的半径为eq \r(a2－9)＝eq \r(25－9)＝4.故选D
变式1：将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0
【解析】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.
变式2：已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．
【解析】由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＋0＝2，,y0＋1＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2，,y0＝－3，))所以点B的坐标为(2，－3)．
变式3：圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
【解析】圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(－2,2)，－\f(－4,2)))，即(1,2)，故圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝eq \f(|3×1＋4×2＋4|,\r(32＋42))＝eq \f(15,5)＝3.
变式4：若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为( )
A．2或1B．－2或－1
C．2D．1
【解析】∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)＞0，∴m＞1.又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2.故选C
变式5：点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．
【解析】圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(k,2)，－1))，
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－eq \f(k,2)＋1＋1＝0，得k＝4，
圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为eq \f(1,2)eq \r(42＋22＋16)＝3，
∴该圆的面积为9π.
（四）求圆的一般方程
【例4-4】已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4eq \r(3)，求圆的方程．
【解析】(法一：待定系数法)
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4D－2E＋F＋20＝0， ①,D－3E－F－10＝0， ②))
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③
由已知|y1－y2|＝4eq \r(3)，其中y1，y2是方程③的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④
联立①②④解得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.))
故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
(法二：几何法)
由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)．
又圆C的半径长r＝|CP|＝eq \r(a－42＋a＋12). ①
由已知圆C截y轴所得的线段长为4eq \r(3)，而圆心C到y轴的距离为|a|.
∴r2＝a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),2)))2，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝eq \r(13)，r2＝eq \r(37).
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
变式1：过点M(－1,1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________．
【解析】将已知圆的方程化为标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心C的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r＝|CM|＝eq \r(2＋12＋－3－12)＝5.所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
变式2：过三点O(0,0)，M(7,1)，N(4,2)的圆的方程为________________．
【解析】设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由已知，点O(0,0)，M(7,1)，N(4,2)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得关于D，E，F的三元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,7D＋E＋F＋50＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，))解方程组得D＝－8，E＝6，F＝0，于是得到所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
变式3：已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．
【解析】(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22＋22＋2D＋2E＋F＝0，,52＋32＋5D＋3E＋F＝0，,32＋－12＋3D－E＋F＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12.))
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.
（五）点与圆的一般方程的位置关系
【例4-5】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意得，解得，
故选：C．
考点五 与圆有关的轨迹问题
解题方略：
求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
用代入法求轨迹方程的一般方法

【例5-1】已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
【解析】(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2))).
又kAB＝－3，所以km＝eq \f(1,3)，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y－3＝0，,x－y＋1＝0))得圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|＝eq \r(－3－12＋－2－12)＝5，
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)．
因为点P的坐标为(5,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋5,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－5，,y0＝2y.))
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，
所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝eq \f(25,4).
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝eq \f(25,4).
变式1：如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．
【解析】设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝eq \f(x0＋x,2)，3＝eq \f(y0＋y,2)，
于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋yeq \\al(2,0)＝4，②
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
变式2：已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
【解析】以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2＋x,2)＝x0，,\f(0＋y,2)＝y0.)) ①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋yeq \\al(2,0)＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
【例5-2】设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________．
【解析】设P(x，y)是轨迹上任一点，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，
则|PA|2＋1＝|PB|2，∴(x－1)2＋y2＝2.
变式1：已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．πB．4π
C．8πD．9π
【解析】设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知 eq \r(x＋22＋y2)＝2eq \r(x－12＋y2)，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.故选B
题组A 基础过关练
1、求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
【解析】(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
2、已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝eq \r(2)
C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4
【解析】AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝eq \r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq \r(2)，所以圆的方程为x2＋y2＝2.故选A
3、与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(0,1)的圆的方程为________．
【解析】因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又该圆的半径r＝eq \r(2－02＋－3－12)＝2eq \r(5)，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝20.
4、若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
【解析】由中点坐标公式得直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为2eq \r(13)，则半径长为eq \r(13)，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故选A
5、已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0
【解析】圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.故选D.
6、方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)D．点(－a，－b)
【解析】原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋a＝0，,y＋b＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－a，,y＝－b.))∴表示点(－a，－b)．故选D
7、已知圆心在点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
【解析】因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，
所以圆的半径r＝eq \r(－3－02＋－4－02)＝5，
所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
因为|P1C|＝eq \r(－1＋32＋0＋42)＝eq \r(4＋16)＝2eq \r(5)<5，所以P1(－1,0)在圆内；
因为|P2C|＝eq \r(1＋32＋－1＋42)＝5，
所以P2(1，－1)在圆上；
因为|P3C|＝eq \r(3＋32＋－4＋42)＝6>5，
所以P3(3，－4)在圆外．
8、已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
【解析】由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋eq \f(5,2)＝0，配方得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝－eq \f(5,4)＜0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
答案：(－2，－4) 5
9、求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程．
【解析】设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
∵圆心在直线2x－y－3＝0上，
∴2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(E,2)))－3＝0.①
又∵点(5,2)和(3，－2)在圆上，
∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0. ②
32＋(－2)2＋3D－2E＋F＝0. ③
解①②③组成的方程组，得D＝－4，E＝－2，F＝－5.
∴所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
10、当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq \r(5)为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0
【解析】直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－y＋1＝0，,x＋1＝0))得C(－1,2)．
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.故选C
题组B 能力提升练
11、若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(π,5)
【解析】x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准式为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝1－eq \f(3,4)k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为eq \f(3π,4).故选C
12、已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16D．x2＋(y－1)2＝16
【解析】设M(x，y)，则M满足eq \r(x－82＋y2)＝2eq \r(x－22＋y2)，整理得x2＋y2＝16.故选B
13、已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
【解析】由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5，由此，得a－b＜1.
答案：(－∞，1)
14、已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
【解析】由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－1＝0，,3x－2y＋5＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，))即P(－1,1)．
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴|PC|＝eq \r(－1－22＋1＋32)＝5，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.
15、已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】设圆心C(x，y)，则eq \r(x－32＋y－42)＝1，
化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，
所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，
所以|OC|＋1≥|OM|＝eq \r(32＋42)＝5，
所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号．故选A
16、已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A．B．6
C．D．
【解析】根据题意，圆，
变形可得．
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时．
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．
故选：D．
17、已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．
【解析】(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又点T(－1,1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y－6＝0，,3x＋y＋2＝0，))解得点A的坐标为(0，－2)，
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2,0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又r＝|AM|＝eq \r(2－02＋0＋22)＝2eq \r(2)，
所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
18、已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
证明：∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.
又m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2－4F＞0，
即曲线C是一个圆．
设圆心坐标为(x，y)，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2m，,y＝－m))消去m，得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上.
19、当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)·x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆？
【解析】要使方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m2＋m－1＝m2－m＋2，得m2＋2m－3＝0，
所以m＝－3或m＝1.
①当m＝1时，方程为x2＋y2＝－eq \f(3,2)，不合题意，舍去；
②当m＝－3时，方程为14x2＋14y2＝1，即x2＋y2＝eq \f(1,14)，表示以原点为圆心，以eq \f(\r(14),14)为半径的圆．
综上，m＝－3时满足题意．
20、已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq \r(2)，求圆的一般方程．
【解析】圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－eq \f(D,2)－eq \f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝eq \f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq \r(2)，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝－4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－4，,E＝2.))
又∵圆心在第二象限，∴－eq \f(D,2)＜0，即D＞0.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝－4.))
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
21、已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
【解析】(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0,1)，半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \r(10).
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)法一：直线AB的斜率k＝eq \f(4－－2,－1－1)＝－3，
即线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝eq \f(1,3)x，
即x－3y＋3＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y＋3＝0，,2x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2，))
即圆心的坐标是C(3,2)．
∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a2＋－2－b2＝r2，,－1－a2＋4－b2＝r2，,2a－b－4＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝2，,r2＝20.,))
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
题组C 培优拔尖练
22、已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．
【解析】设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.
∴d的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74.
23、点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程．
【解析】(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为P(2x－2,2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
24、已知圆C: x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
【解析】(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，
∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，
∴a＝4，P(4,5)，
∴|PQ|＝eq \r(4＋22＋5－32)＝2eq \r(10)，
kPQ＝eq \f(3－5,－2－4)＝eq \f(1,3).
(2)∵圆心C的坐标为(2,7)，
∴|QC|＝eq \r(2＋22＋7－32)＝4eq \r(2)，
圆的半径是2eq \r(2)，点Q在圆外，
∴|MQ|max＝4eq \r(2)＋2eq \r(2)＝6eq \r(2)，
|MQ|min＝4eq \r(2)－2eq \r(2)＝2eq \r(2).
25、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的方程．
【解析】设圆心为(a，b)，半径长为r，
依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)|b|＝r，,a2＋1＝r2，))
消去r，得2b2－a2＝1，①
圆心到直线l的距离d＝eq \f(|a－2b|,\r(5)).
设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入①式，
整理得2b2＋4bk＋k2＋1＝0.
判别式Δ＝8(k2－1)≥0，解得|k|≥1，
当|k|＝1时，dmin＝eq \f(\r(5),5).
当k＝1时，a＝b＝－1，圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当k＝－1时，a＝b＝1，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
课程标准
核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
直观想象
数学运算
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点在圆外
d>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点在圆上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
d(x0－a)2＋(y0－b)2条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
D2＋E2－4F>0
表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆