高中人教A版 (2019)2.3 直线的交点坐标与距离公式巩固练习

这是一份高中人教A版 (2019)2.3 直线的交点坐标与距离公式巩固练习，共44页。试卷主要包含了已知两条直线的方程是l1，直线l1，求过两直线l1等内容，欢迎下载使用。

知识点1 两直线的交点坐标
1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
注：(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
【即学即练1】直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是( )
A．(4,1) B．(1,4)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3)))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))
【即学即练2】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
知识点2 两点间的距离公式
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ eq \r(x2－x12＋y2－y12).
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
注：（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关．
（2）①当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
②当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
③当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝eq \r(x2＋y2).
④当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，
所以|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
⑤已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得
|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|，或|P1P2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.
【即学即练3】已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( )
A．5 B.eq \r(37) C.eq \r(13) D．4
【即学即练4】已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1B．－5
C．1或－5D．－1或5
知识点3 直线系过定点问题
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
【即学即练5】无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．
【即学即练6】经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________．
知识点4 点到直线的距离与两条平行线间的距离
注：（1）应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式．
（2）在使用两平行线间距离公式时，两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
（3）若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
（4）已知点P(x0，y0)及直线l上任意一点M，那么点P到直线l的距离|PQ|等于两点间距离|PM|的最小值．
（5）点到直线距离的向量表示
如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，eq \(PQ,\s\up7(―→))就是eq \(PM,\s\up7(―→))在n上的投影向量，点P到直线l的距离|eq \(PQ,\s\up7(―→))|＝|eq \(PM,\s\up7(―→))·n|.
（6）点到直线距离公式的推导
如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？
方法一：根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为eq \f(B,A)，
∴l′的方程为y－y0＝eq \f(B,A)(x－x0)，与l联立方程组，
解得交点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(B2x0－ABy0－AC,A2＋B2)，\f(A2y0－ABx0－BC,A2＋B2)))，
∴|PQ|＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
方法二：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？
提示 eq \(PQ,\s\up6(→))可以看作eq \(PM,\s\up6(→))在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－eq \f(A,B)，
所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量．
(1) 由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝eq \f(1,\r(A2＋B2))(A，B)．
(2) 在直线l上任取点M(x，y)，可得向量eq \(PM,\s\up6(→))＝(x－x0，y－y0)．
(3) |PQ|＝|eq \(PQ,\s\up6(→))|＝|eq \(PM,\s\up6(→))·n|＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
（7）怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？
在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))，
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，
即Ax0＋By0＝－C1，
因此d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|－C1＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
【即学即练7】原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(5)
【即学即练8】点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是( )
A．3 B.eq \f(5,3)
C．1D.eq \f(\r(2),2)
【即学即练9】已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝( )
A．0B.eq \f(3,4)
C．3D．0或eq \f(3,4)
【即学即练10】已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )
A．1B.eq \r(2)
C.eq \r(3)D．2
【即学即练11】已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B.eq \f(2\r(13),13) C.eq \f(5\r(13),26) D.eq \f(7\r(13),26)
考点一 两条直线的交点问题
解题方略：
1．两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．
2．过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．
【例1-1】判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
变式1：求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．
变式2：设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________．
【例1-2】直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为( )
A．12 B．10 C．－8 D．－6
变式1：两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为________．
变式2：三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值；
变式3：已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是______.
变式4：若直线l：y＝kx－eq \r(3)与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A．{θ|0°<θ<60°} B．{θ|30°<θ<60°}
C．{θ|30°<θ<90°} D．{θ|60°<θ<90°}
考点二 两点间的距离公式
解题方略：
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
【例2-1】已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，
试判断△ABC的形状．
求BC边上的中线AM的长
变式1：已知点A(－3,4)，B(2，eq \r(3))，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
变式2：过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6B.eq \r(2)
C．2D．不能确定
变式3：已知平面上两点A(x，eq \r(2)－x)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0))，则|AB|的最小值为( )
A．3B.eq \f(1,3)
C．2D.eq \f(1,2)
判断三角形的形状
【例2-2】已知△ABC的三个顶点是A(－1,0)，B(1,0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，试判断△ABC的形状．
求三角形的周长、面积
【例2-3】已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3) B．3＋2eq \r(3)
C．6＋3eq \r(2) D．6＋eq \r(10)
【例2-4】已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于( )
A．3B．4
C．5D．6
考点三 直线的恒过定点问题
解题方略：
解决过定点问题常用的三种方法
(1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标．
(2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)．
(3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．
【例3-1】求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
变式1：已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
变式2：无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为( )
A．(1,3)B．(－1,3)
C．(3,1)D．(3，－1)
变式3;已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，－\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,6)))
变式4：两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )
A.eq \f(\r(89),5) B.eq \f(17,5) C.eq \f(13,5) D.eq \f(11,5)
考点四 点到直线的距离
解题方略：
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
【例4-1】求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.
变式1：求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是eq \f(3,5)eq \r(10)的直线l的方程．
【例4-2】已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.eq \r(2) B.eq \r(2)－1
C.eq \r(2)＋1D．2－eq \r(2)
变式1：已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
变式2：已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为eq \r(2)，则点P的坐标为( )
A．(1,2)或(2，－1)B．(3，－4)
C．(2，－1)D．(1,2)
【例4-3】求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
变式1：已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A．2eq \r(3)B.eq \r(10)
C.eq \r(14)D．2eq \r(15)
变式2：已知5x＋12y＝60，则 eq \r(x2＋y2)的最小值是________．
变式3：已知x＋y－3＝0，则eq \r(x－22＋y＋12)的最小值为________．
考点五 两平行线间的距离
解题方略：
求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
【例5-1】两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于( )
A．3 B．7
C.eq \f(1,10)D.eq \f(1,2)
【例5-2】已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1 B．2 C.eq \f(1,2) D．4
【例5-3】求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．
【例5-4】P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(9,5) B.eq \f(18,5) C.eq \f(29,10) D.eq \f(29,5)
变式1：若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．
变式2：若直线与直线之间的距离不大于，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．或
【例5-5】若直线m被平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq \r(2)，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是______．
【例5-6】已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A．(0，＋∞)B．[0,5]
C．(0,5]D．[0，eq \r(17)]
考点六 距离的综合应用
解题方略：
利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．
【例6-1】已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
题组A 基础过关练
1、【多选】对于eq \r(x2＋2x＋5)，下列说法正确的是( )
A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离
C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离
D．可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离
2、两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
3、已知点M(x，－4)与点N(2,3)间的距离为7eq \r(2)，则x＝________.
4、设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．
5、求过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程．
6、经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．
7、倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．
8、在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则Q点的坐标为________．
9、已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则m＝________，它们之间的距离是________．
10、已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是________．
11、不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点( )
A．(－3，－1) B．(－2，－1)
C．(－3,1) D．(－2,1)
12、已知直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是________．
13、若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(8\r(2),3) C.eq \r(3) D.eq \f(8\r(3),3)
题组B 能力提升练
14、在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有________条．
15、已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是( )
A．－eq \f(7,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(7,2)
16、已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A.eq \r(10) B.eq \f(3\r(5),5)
C.eq \r(6) D．3eq \r(5)
17、直线，为直线上动点，则的最小值为___________.
18、若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围．
已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，求直线l2的方程．
20、已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为eq \f(\r(2),4)，求a的值．
21、已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－eq \f(3,4).
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
22、求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．
23、已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
24、已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限．
25、已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为______________．
26、如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
题组C 培优拔尖练
27、已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大；
(2)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0，求证：l1与l2相交．
28、已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O到直线m的距离为eq \r(5)，判断m与n的位置关系．
29、已知直线l过点P(0,1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分．
(1)求直线l的方程；
(2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积．
30、如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
31、已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
课程标准
核心素养
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
2.探索并掌握两点间的距离公式.
3.探索并掌握点到直线的距离公式.
4.会求两条平行直线间的距离.
直观想象、数学抽象、数学运算
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
2.3 直线的交点坐标与距离公式
知识点1 两直线的交点坐标
1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
注：(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
【即学即练1】直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是( )
A．(4,1) B．(1,4)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3)))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))
【解析】由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－2＝0，,2x＋y－3＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(1,3).))即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3))).
【即学即练2】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
【解析】(1)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－7＝0，,3x＋2y－7＝0))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1.))
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－6y＋4＝0，①,4x－12y＋8＝0，②))
①×2得4x－12y＋8＝0.
①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
(3)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋2y＋4＝0，,y＝－2x＋3))无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
知识点2 两点间的距离公式
1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ eq \r(x2－x12＋y2－y12).
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．
注：（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关．
（2）①当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
②当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
③当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝eq \r(x2＋y2).
④当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，
所以|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
⑤已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得
|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|，或|P1P2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.
【即学即练3】已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( )
A．5 B.eq \r(37) C.eq \r(13) D．4
【解析】|MN|＝eq \r(2＋12＋1－52)＝5.故选A
【即学即练4】已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1B．－5
C．1或－5D．－1或5
【解析】∵|AB|＝eq \r(a＋22＋3＋12)＝5，∴a＝－5或a＝1.故选C
知识点3 直线系过定点问题
1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
【即学即练5】无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．
【解析】∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－7＝0，,x－y－4＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝3.))
∴点P的坐标为(7,3)．
【即学即练6】经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________．
【解析】设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，
即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.
令x＝0，得y＝eq \f(7λ－6,2＋5λ)，
令y＝0，得x＝eq \f(7λ－6,3＋2λ).
由eq \f(7λ－6,2＋5λ)＝eq \f(7λ－6,3＋2λ)，
得λ＝eq \f(1,3)或λ＝eq \f(6,7).
所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
知识点4 点到直线的距离与两条平行线间的距离
注：（1）应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式．
（2）在使用两平行线间距离公式时，两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
（3）若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
（4）已知点P(x0，y0)及直线l上任意一点M，那么点P到直线l的距离|PQ|等于两点间距离|PM|的最小值．
（5）点到直线距离的向量表示
如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，eq \(PQ,\s\up7(―→))就是eq \(PM,\s\up7(―→))在n上的投影向量，点P到直线l的距离|eq \(PQ,\s\up7(―→))|＝|eq \(PM,\s\up7(―→))·n|.
（6）点到直线距离公式的推导
如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？
方法一：根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为eq \f(B,A)，
∴l′的方程为y－y0＝eq \f(B,A)(x－x0)，与l联立方程组，
解得交点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(B2x0－ABy0－AC,A2＋B2)，\f(A2y0－ABx0－BC,A2＋B2)))，
∴|PQ|＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
方法二：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？
提示 eq \(PQ,\s\up6(→))可以看作eq \(PM,\s\up6(→))在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－eq \f(A,B)，
所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量．
(1) 由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝eq \f(1,\r(A2＋B2))(A，B)．
(2) 在直线l上任取点M(x，y)，可得向量eq \(PM,\s\up6(→))＝(x－x0，y－y0)．
(3) |PQ|＝|eq \(PQ,\s\up6(→))|＝|eq \(PM,\s\up6(→))·n|＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
（7）怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？
在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))，
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，
即Ax0＋By0＝－C1，
因此d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|－C1＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
【即学即练7】原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(5)
【解析】d＝eq \f(|－5|,\r(5))＝eq \r(5).故选D
【即学即练8】点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是( )
A．3 B.eq \f(5,3)
C．1D.eq \f(\r(2),2)
【解析】点P(1，－1)到直线l的距离d＝eq \f(|3×－1－2|,\r(02＋32))＝eq \f(5,3)，选B.
【即学即练9】已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝( )
A．0B.eq \f(3,4)
C．3D．0或eq \f(3,4)
【解析】点M到直线l的距离d＝eq \f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq \f(|m＋3|,\r(m2＋1))，所以eq \f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq \f(3,4)，选D.
【即学即练10】已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )
A．1B.eq \r(2)
C.eq \r(3)D．2
【解析】由题意知l1，l2平行，则l1∥l2之间两直线的距离为eq \f(|1－－1|,\r(12＋12))＝eq \r(2).故选B
【即学即练11】已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B.eq \f(2\r(13),13) C.eq \f(5\r(13),26) D.eq \f(7\r(13),26)
【解析】因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，
所以3∶2＝6∶m，所以m＝4.
直线6x＋4y＋1＝0可以转化为3x＋2y＋eq \f(1,2)＝0，
由两条平行直线间的距离公式可得d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－－3)),\r(32＋22))＝eq \f(\f(7,2),\r(13))＝eq \f(7\r(13),26).
考点一 两条直线的交点问题
解题方略：
1．两条直线相交的判定方法
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．
2．过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．
【例1-1】判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
【解析】(1)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋3＝0，,x－2y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，))所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．
(2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋2＝0， ①,2x＋2y＋3＝0， ②))
①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.
变式1：求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．
【解析】法一：(方程组法)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0，))所以两直线的交点坐标为(－1,0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y－0＝3[x－(－1)]，即3x－y＋3＝0.
法二：(直线系法)设所求直线为l，因为l过已知两直线的交点，因此l的方程可设为2x－y＋2＋λ(x＋y＋1)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x＋(λ－1)y＋λ＋2＝0 ①，
又直线l的斜率为3，所以－eq \f(λ＋2,λ－1)＝3，解得λ＝eq \f(1,4)，
将λ＝eq \f(1,4)代入①，整理得3x－y＋3＝0.
变式2：设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________．
【解析】法一：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＋2＝0，,3x－4y－2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝14，,y＝10，))
所以两直线的交点坐标为(14,10)．
由题意可得所求直线的斜率为1或－1，
所以所求直线的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，
即x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
法二：设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，由题意，得eq \f(2＋3λ,3＋4λ)＝±1，解得λ＝－1或λ＝－eq \f(5,7)，所以所求的直线方程为x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
答案：x－y－4＝0或x＋y－24＝0
【例1-2】直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为( )
A．12 B．10 C．－8 D．－6
【解析】∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)．
∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5，
将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5，
∴m＋n＝10.故选B
变式1：两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为________．
【解析】在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝eq \f(k,3)，将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(k,3)))代入x－ky＋12＝0，
解得k＝±6.
答案：±6
变式2：三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值；
【解析】解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋y＝14，,2x－3y＝14，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))
所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．
由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－eq \f(3,4).
变式3：已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是______.
【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x＋4y＝2a＋1，,2x＋3y＝a，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2a＋3,7)，,y＝\f(a－2,7)，))
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2a＋3,7)>0，,\f(a－2,7)<0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－\f(3,2)，,a<2.))
所以－eq \f(3,2)变式4：若直线l：y＝kx－eq \r(3)与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A．{θ|0°<θ<60°} B．{θ|30°<θ<60°}
C．{θ|30°<θ<90°} D．{θ|60°<θ<90°}
【解析】由题可知k≠－1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－\r(3)，,x＋y－3＝0，))解得x＝eq \f(3＋\r(3),1＋k)，y＝eq \f(3k－\r(3),1＋k)，
∴两直线的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3＋\r(3),1＋k)，\f(3k－\r(3),1＋k))).
∵两直线的交点在第一象限，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3＋\r(3),1＋k)>0，,\f(3k－\r(3),1＋k)>0，))
解得k>eq \f(\r(3),3).
又直线l的倾斜角为θ，则tan θ>eq \f(\r(3),3)，
∴30°<θ<90°.
故选C
考点二 两点间的距离公式
解题方略：
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
【例2-1】已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，
试判断△ABC的形状．
求BC边上的中线AM的长
【解析】（1）法一：∵|AB|＝eq \r(3＋32＋－3－12)＝2eq \r(13)，
|AC|＝eq \r(1＋32＋7－12)＝2eq \r(13)，
又|BC|＝eq \r(1－32＋7＋32)＝2eq \r(26)，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝eq \f(7－1,1－－3)＝eq \f(3,2)，kAB＝eq \f(－3－1,3－－3)＝－eq \f(2,3)，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝eq \r(1＋32＋7－12)＝2eq \r(13)，
|AB|＝eq \r(3＋32＋－3－12)＝2eq \r(13)，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝eq \f(3＋1,2)＝2，y＝eq \f(－3＋7,2)＝2，即点M的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝eq \r(－3－22＋1－22)＝eq \r(26)，所以BC边上的中线AM的长为eq \r(26).
变式1：已知点A(－3,4)，B(2，eq \r(3))，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
【解析】设点P的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝ eq \r(x＋32＋0－42)＝ eq \r(x2＋6x＋25)，
|PB|＝ eq \r(x－22＋0－\r(3)2)＝ eq \r(x2－4x＋7).
由|PA|＝|PB|，
得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－eq \f(9,5).
故所求点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)，0)).
|PA|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)＋3))2＋0－42)＝eq \f(2\r(109),5).
变式2：过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6B.eq \r(2)
C．2D．不能确定
【解析】由kAB＝1，得eq \f(b－a,1)＝1，∴b－a＝1.∴|AB|＝ eq \r(5－42＋b－a2)＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2).故选B
变式3：已知平面上两点A(x，eq \r(2)－x)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0))，则|AB|的最小值为( )
A．3B.eq \f(1,3)
C．2D.eq \f(1,2)
【解析】∵|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)－x－0))2)＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3\r(2),4)))2＋\f(1,4))≥eq \f(1,2)，当且仅当x＝eq \f(3\r(2),4)时等号成立，∴|AB|min＝eq \f(1,2).故选D
判断三角形的形状
【例2-2】已知△ABC的三个顶点是A(－1,0)，B(1,0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，试判断△ABC的形状．
【解析】因为|BC|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝ eq \r(\f(1＋3,4))＝1，|AB|＝2，|AC|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝eq \r(3)，
有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以△ABC是直角三角形．
求三角形的周长、面积
【例2-3】已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3) B．3＋2eq \r(3)
C．6＋3eq \r(2) D．6＋eq \r(10)
【解析】由两点间距离公式得|AB|＝eq \r(2＋12＋3－02)＝3eq \r(2)，|BC|＝eq \r(－1－22＋0－02)＝3，
|CA|＝eq \r(2－22＋3－02)＝3.故△ABC的周长为6＋3eq \r(2).故选C
【例2-4】已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于( )
A．3B．4
C．5D．6
【解析】设AB边上的高为h，则S△ABC＝eq \f(1,2)|AB|·h.|AB|＝ eq \r(3－12＋1－32)＝2eq \r(2)，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为eq \f(y－3,1－3)＝eq \f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为eq \f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq \f(5,\r(2))，因此，S△ABC＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \f(5,\r(2))＝5.故选C
考点三 直线的恒过定点问题
解题方略：
解决过定点问题常用的三种方法
(1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标．
(2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)．
(3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．
【例3-1】求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
【证明】法一：(特殊值法)取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，
取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，
故l1与l2的交点为P(－3,3)．
将点P(－3,3)代入方程左边，
得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，
∴点(－3,3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．
法二：(分离参数法)由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，
整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0.
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋3＝0，,x－y＋6＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝3.))
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．
变式1：已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
【解析】(1)证明：直线l的方程可化为y－eq \f(3,5)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,5)))，
所以不论a取何值，直线l恒过定点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5)))，
又点A在第一象限，
所以不论a取何值，直线l恒过第一象限．
(2)令x＝0，y＝eq \f(3－a,5)，
由题意，eq \f(3－a,5)≤0，解得a≥3.
所以a的取值范围为[3，＋∞).
变式2：无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为( )
A．(1,3)B．(－1,3)
C．(3,1)D．(3，－1)
【解析】直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－5＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1.))因此所求定点为(3，－1)．故选D.
变式3;已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，－\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,6)))
【解析】由a＋2b＝1，得a＝1－2b，
则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，
整理得x＋3y－b(2x－1)＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y＝0，,2x－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝－\f(1,6)，))
故直线过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,6))).故选D
变式4：两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )
A.eq \f(\r(89),5) B.eq \f(17,5) C.eq \f(13,5) D.eq \f(11,5)
【解析】直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,5)))，
由两点间的距离公式，得|AB|＝eq \f(13,5).故选C
考点四 点到直线的距离
解题方略：
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
【例4-1】求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.
【解析】(1)直线y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,4)化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝eq \f(|3×3－4×－2＋1|,\r(32＋－42))＝eq \f(18,5).
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
变式1：求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是eq \f(3,5)eq \r(10)的直线l的方程．
【解析】设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：
d＝eq \f(|3×－1－0＋m|,\r(32＋－12))＝eq \f(|m－3|,\r(10))＝eq \f(3,5)eq \r(10).
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
【例4-2】已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.eq \r(2) B.eq \r(2)－1
C.eq \r(2)＋1D．2－eq \r(2)
【解析】由点到直线的距离公式，得1＝eq \f(|a－2＋3|,\r(1＋1))，即|a＋1|＝eq \r(2).∵a＞0，∴a＝eq \r(2)－1，故选B.
变式1：已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
【解析】由题意得eq \f(|－2a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|a＋5＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－3或3.
变式2：已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为eq \r(2)，则点P的坐标为( )
A．(1,2)或(2，－1)B．(3，－4)
C．(2，－1)D．(1,2)
【解析】设点P的坐标为(a,5－3a)，由题意，得eq \f(|a－5－3a－1|,\r(12＋－12))＝eq \r(2)，解得a＝1或2，∴点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选A
【例4-3】求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
【解析】设原点为O，连接OP(图略)，
易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线．
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，
所以kl＝－eq \f(1,kOP)＝2.
所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，
即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点距离最大的直线，
最大距离为eq \f(|－5|,\r(5))＝eq \r(5).
变式1：已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A．2eq \r(3)B.eq \r(10)
C.eq \r(14)D．2eq \r(15)
【解析】将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0，))得交点Q(1,1)，所以直线l恒过定点Q(1,1)，于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝eq \r(10)，即点P到直线l的距离的最大值为eq \r(10).
变式2：已知5x＋12y＝60，则 eq \r(x2＋y2)的最小值是________．
【解析】 eq \r(x2＋y2)表示直线5x＋12y＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x＋12y＝60的垂线段的长最小，故最小值为d＝eq \f(60,\r(52＋122))＝eq \f(60,13).
变式3：已知x＋y－3＝0，则eq \r(x－22＋y＋12)的最小值为________．
【解析】设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且eq \r(x－22＋y＋12)＝|PA|.
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝eq \f(|2＋－1－3|,\r(12＋12))＝eq \r(2).
考点五 两平行线间的距离
解题方略：
求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
【例5-1】两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于( )
A．3 B．7
C.eq \f(1,10)D.eq \f(1,2)
【解析】3x＋4y－2＝0变为6x＋8y－4＝0，则两平行线间的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－4－－5)),\r(62＋82))＝eq \f(1,10).故选C
【例5-2】已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1 B．2 C.eq \f(1,2) D．4
【解析】由两条直线平行可得eq \f(5,10)＝eq \f(12,m)，解得m＝24.
则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
由两条平行直线间的距离公式得d＝eq \f(|－3－10|,\r(52＋122))＝1.故选A
【例5-3】求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．
【解析】设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0.
由直线l与两条平行线的距离相等，
得eq \f(|C－4|,\r(22＋32))＝eq \f(|C＋2|,\r(22＋32))，即|C－4|＝|C＋2|，
解得C＝1.
故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
【例5-4】P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(9,5) B.eq \f(18,5) C.eq \f(29,10) D.eq \f(29,5)
【解析】易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，故|PQ|的最小值即两平行直线间的距离，
故d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋12)),5)＝eq \f(29,10).故选C
变式1：若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．
【解析】依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根据平行线间的距离公式，得eq \f(|m＋7|,\r(2))＝eq \f(|m＋5|,\r(2))⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为eq \f(|－6|,\r(2))＝3eq \r(2).
答案：3eq \r(2)
变式2：若直线与直线之间的距离不大于，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．或
【解析】直线化为，
则两直线之间的距离，即，
解得.
所以实数的取值范围为.
故选：B.
【例5-5】若直线m被平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq \r(2)，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是______．
【解析】两平行线间的距离d＝eq \f(|3－1|,\r(1＋1))＝eq \r(2)，故m与l1或l2的夹角为30°.又l1，l2的倾斜角为45°，∴直线m的倾斜角为30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.
答案：①⑤
【例5-6】已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A．(0，＋∞)B．[0,5]
C．(0,5]D．[0，eq \r(17)]
【解析】当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝eq \r([2－－1]2＋－1－32)＝5，∴0＜d≤5.故选C
考点六 距离的综合应用
解题方略：
利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．
【例6-1】已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
【解析】设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0))得正方形的中心坐标为P(－1,0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，
得eq \f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq \f(|－1＋c|,\r(12＋32))，得c＝7或c＝－5(舍去)．
∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴eq \f(|－3＋a|,\r(32＋－12))＝eq \f(|－1－5|,\r(12＋32))，
得a＝9或a＝－3，
同理得b＝9或b＝－3.
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.
题组A 基础过关练
1、【多选】对于eq \r(x2＋2x＋5)，下列说法正确的是( )
A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离
C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离
D．可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离
【解析】eq \r(x2＋2x＋5)＝eq \r(x＋12＋4)＝eq \r(x＋12＋0±22)＝eq \r(x＋12＋－1－12)，
可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离，
可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确．故选BCD
2、两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
【解析】解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3.))故选B
3、已知点M(x，－4)与点N(2,3)间的距离为7eq \r(2)，则x＝________.
【解析】由|MN|＝7eq \r(2)，得|MN|＝ eq \r(x－22＋－4－32)＝7eq \r(2)，
即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值为9或－5.
答案：9或－5
4、设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．
【解析】设A(x,0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴eq \f(x,2)＝2，eq \f(y,2)＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5).
5、求过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程．
【解析】过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－eq \f(4,5)，故所求直线方程为x－3y＋4－eq \f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
6、经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．
【解析】由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5).))又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝eq \f(1,3)，
∴直线方程为y＋eq \f(7,5)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,5)))，即5x－15y－18＝0.
7、倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．
【解析】因为直线斜率为tan 60°＝eq \r(3)，可设直线方程为y＝eq \r(3)x＋b，化为一般式得eq \r(3)x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得eq \f(|0－0＋b|,\r(\r(3)2＋－12))＝5⇒|b|＝10.所以b＝±10，所以所求直线方程为eq \r(3)x－y＋10＝0或eq \r(3)x－y－10＝0.
答案：eq \r(3)x－y＋10＝0或 eq \r(3)x－y－10＝0
8、在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则Q点的坐标为________．
【解析】设Q(x0,0)，则有13＝eq \r(5－x02＋122)，得x0＝0或x0＝10.
答案 (10,0)或(0,0)
9、已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则m＝________，它们之间的距离是________．
【解析】∵3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋eq \f(1,2)＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋3)),\r(32＋12))＝eq \f(7\r(10),20).
答案：2 eq \f(7\r(10),20)
10、已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是________．
【解析】由题意可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，于是有eq \f(|c－3|,\r(22＋－12))＝eq \f(|c＋1|,\r(22＋－12))，即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
11、不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点( )
A．(－3，－1) B．(－2，－1)
C．(－3,1) D．(－2,1)
【解析】直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＋1＝0，,－x－3y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝1，))
∴直线l恒过定点(－3,1)．故选C.
12、已知直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是________．
【解析】由直线ax＋y＋a＋2＝0，
得a(x＋1)＋(y＋2)＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝0，,y＋2＝0，))解得x＝－1，y＝－2，
∴直线ax＋y＋a＋2＝0恒经过定点(－1，－2)，
∴过这一定点和原点的直线方程是eq \f(y－0,－2－0)＝eq \f(x－0,－1－0)，即y＝2x.
13、若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(8\r(2),3) C.eq \r(3) D.eq \f(8\r(3),3)
【解析】由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，
则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，
当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；
当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋eq \f(2,3)＝0平行，
两直线之间的距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq \f(8\r(2),3).故选B
题组B 能力提升练
14、在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有________条．
【解析】由题可知所求直线显然不与y轴平行，
∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.
∴d1＝eq \f(|k－2＋b|,\r(k2＋1))＝1，d2＝eq \f(|3k－1＋b|,\r(k2＋1))＝2，两式联立，解得b1＝3，b2＝eq \f(5,3)，
∴k1＝0，k2＝－eq \f(4,3).故所求直线共有两条．
答案：2
15、已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是( )
A．－eq \f(7,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(7,2)
【解析】∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，
∴|AB|＝eq \r([a＋1－5]2＋[a－4－2a－1]2)＝eq \r(a－42＋a＋32)＝eq \r(2a2－2a＋25)＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋\f(49,2))，
∴当a＝eq \f(1,2)时，|AB|取得最小值．故选C
16、已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A.eq \r(10) B.eq \f(3\r(5),5)
C.eq \r(6) D．3eq \r(5)
【解析】点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为eq \f(|2＋2－1|,\r(22＋12))＝eq \f(3\r(5),5).故选B
17、直线，为直线上动点，则的最小值为___________.
【解析】可看成是直线上一点到点的距离的平方，当时，距离最小.故点到直线的距离为，所以的最小值为
故答案为：
18、若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围．
【解析】联立两直线的方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2k＋1，,x＋2y－4＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1)，))
∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)>0，,\f(6k＋1,2k＋1)<0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)即－eq \f(1,2)则k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,6))).
19、已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，求直线l2的方程．
【解析】∵点B在直线l1上，∴设B(x0,6－2x0)．
∵|AB|＝5，∴ eq \r(x0－12＋7－2x02)＝5，
整理，得xeq \\al(2,0)－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.
∴点B的坐标为(1,4)或(5，－4)．
∴直线l2的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
20、已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为eq \f(\r(2),4)，求a的值．
【解析】由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝eq \f(1,a)，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，0))，令x＝0，有y＝eq \f(1,2)，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，故AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)，\f(1,4)))，
∵线段AB的中点到原点的距离为eq \f(\r(2),4)，
∴eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－0))2)＝eq \f(\r(2),4)，解得a＝±2.
21、已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－eq \f(3,4).
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
【解析】(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－eq \f(3,4)(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得eq \f(|3×－2＋4×5＋C|,\r(32＋42))＝3，
即eq \f(|14＋C|,5)＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
22、求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．
【解析】法一：∵点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k.
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，
得eq \f(|k－1＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－3k－1＋2|,\r(k2＋1))，解得k＝0或k＝1.
∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等．
∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，
∴直线l的方程是x－y＋2＝0；
当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．
∵直线AB的斜率为0，
∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2.
综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
23、已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，
由点到直线的距离公式得eq \f(|－2k－1|,\r(1＋k2))＝2，
解得k＝eq \f(3,4)，
所以直线l的方程为3x－4y－10＝0.
故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
24、已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限．
【证明】将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.
因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5)))，
即直线系恒过第一象限内的定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5)))，
所以无论a为何值，直线总经过第一象限．
25、已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为______________．
【解析】如图所示，
直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，
设线段AB与y轴交于点C，
由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，
a大于或等于DB的斜率，即a≥eq \f(2＋2,4－0)＝1，即a≥1.
当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，
即a≤eq \f(4＋2,－2－0)＝－3，即a≤－3.
综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
26、如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
【解析】设B(x0，y0)，
则AB的中点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0－8,2)，\f(y0＋2,2)))，
由条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－5y0＋8＝0，,\f(x0－8,2)＋\f(2y0＋2,2)－5＝0.))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－5y0＋8＝0，,x0＋2y0－14＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝6，,y0＝4，))
即B(6,4)．
同理可求得C点的坐标为(5,0)．
故所求直线BC的方程为eq \f(y－0,4－0)＝eq \f(x－5,6－5)，
即4x－y－20＝0.
题组C 培优拔尖练
27、已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大；
(2)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0，求证：l1与l2相交．
【解析】(1)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，
||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，
点P即是直线AB与直线l的交点，
又直线AB的方程为y＝x－2，
解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－2，,x－2y＋8＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝10，))
故所求的点P的坐标为(12,10)．
(2)证明(反证法)：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，可推出k1＝k2代入k1k2＋2＝0，得keq \\al(2,1)＋2＝0，此与k1为实数相矛盾，从而k1≠k2即l1与l2相交．
28、已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O到直线m的距离为eq \r(5)，判断m与n的位置关系．
【解析】(1)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋3y＋6＝0，,x－2y＋3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－21，,y＝－9，))
即m与n的交点为(－21，－9)．
当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
当直线l不过原点时，设l的方程为eq \f(x,b)＋eq \f(y,－b)＝1，
将(－21，－9)代入得b＝－12，
所以直线l的方程为x－y＋12＝0，
故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
(2)设原点O到直线m的距离为d，
则d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－a＋6)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋3))2))＝eq \r(5)，
解得a＝－eq \f(1,4)或a＝－eq \f(7,3)，
当a＝－eq \f(1,4)时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n；
当a＝－eq \f(7,3)时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n.
29、已知直线l过点P(0,1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分．
(1)求直线l的方程；
(2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积．
【解析】(1)∵点B在直线l1上，∴可设B(a,8－2a)．
又P(0,1)是AB的中点，∴A(－a,2a－6)．
∵点A在直线l2上，∴－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即B(4,0)．
故直线l的方程是x＋4y－4＝0.
(2)由(1)，知A(－4,2)．
又AD∥l1，∴kAD＝eq \f(2－m,－4－0)＝－2，∴m＝－6.
点A到直线l1的距离d＝eq \f(|2×－4＋2－8|,\r(22＋12))＝eq \f(14\r(5),5)，
|AD|＝ eq \r(－4－02＋2＋62)＝4eq \r(5)，
∴S△ABD＝eq \f(1,2)|AD|·d＝eq \f(1,2)×4eq \r(5)×eq \f(14\r(5),5)＝28.
30、如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
【解析】设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝eq \r(2)，|BC|＝eq \r(2)b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝eq \f(|1＋0－b|,\r(2))＝eq \f(|b－1|,\r(2))＝eq \f(b－1,\r(2))(b>1)，
由梯形的面积公式得eq \f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq \f(b－1,\r(2))＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b>1，∴b＝3.
从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
31、已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
【解析】(1)法一：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0))⇒交点P(2,1)，
当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，
即kx－y＋1－2k＝0，
∴eq \f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq \f(4,3)，
∴l的方程为y－1＝eq \f(4,3)(x－2)，即4x－3y－5＝0.
而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，
故所求l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
法二：经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴eq \f(|52＋λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或eq \f(1,2)，
∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交点P(2,1)，
过P任意作直线l，设d为A到l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，
∴dmax＝|PA|＝eq \r(10).
课程标准
核心素养
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
2.探索并掌握两点间的距离公式.
3.探索并掌握点到直线的距离公式.
4.会求两条平行直线间的距离.
直观想象、数学抽象、数学运算
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))