数学九年级下册7.5 解直角三角形同步训练题

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考察题型一 已知一锐角，求另一锐角
1．如图，在中，，，分别为，的中点，连接，．若，则的值为
A．B．C．D．
【详解】解：在中，，，分别为，的中点，
，，
，
，
在中，，
设，，
，
．
故本题选：．
考察题型二 已知两边，解直角三角形
1．将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，则的值等于
A．2B．C．D．
【详解】解：如图，
由题意可知：，
，
．
故本题选：．
2．如图，在中，，过点作，垂足为点，过作交于点，若，，则的值为
A．B．C．D．
【详解】解：中，，
，，
，，
，，
．
故本题选：．
3．如图，在中，平分，于点，，若，，则的值为
A．5B．C．3D．
【详解】解：如图，延长交于点，
平分，于点，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故本题选：．
4．如图，在中，，，为上一点且，于，连结，则
A．B．C．D．
【详解】解：，
，
，
，
在中，，
设，则，
，
，
．
故本题选：．
5．如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，则 ．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
，
，
．
故本题答案为：．
6．在中，，，垂足为，，则
A．B．C．D．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
，
．
故本题选：．
7．如图，在中，和是的高，且交于点，已知，，，那么的正切值是 ．
【详解】解：令，
在中，，
在中，，
则，解得：，
，
，
又，，
．
在中，，
．
故本题答案为：．
8．如图，在中，，点、分别在、上，、交于，若，，则的值为
A．B．C．D．
【详解】解：如图，过作，交的延长线于，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，解得：，
，
．
故本题选：．
考察题型三 已知一边和一锐角，解直角三角形
1．如图，在中，，，点是上一点，连接．若，，则的长为
A．2B．C．3D．
【详解】解：，，，
，，
，
，，
．
故本题选：．
2．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是 （结果精确到，参考数据，，）．
【详解】解：如图，过点作于，过点作于，
在中，，，
，
在中，，，
，
，即与尺上沿的交点在尺上的读数是．
故本题答案为：2.7．
3．如图，在中，于点．若，，，为边的中点，则的值为
A．B．C．D．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
为边的中点，
，
，
．
故本题选：．
4．在中，，是边上的高，如果，，那么的长为
A．B．C．D．
【详解】解：在中，，是边上的高，，，
，
，
，，，
，
，即，
．
故本题选：．
5．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作交于点，若，，则的长为 ．
【详解】解：，，
设，，
，
是的中点，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，解得：，
．
故本题答案为：15．
6．如图，在中，，，，，垂足为点，是的中点，连接并延长，交边于点．
（1）求的值；
（2）求的值．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
是中点，
，
，
，
；
（2）如图，过作，
，，
，
，
令，，则，
，
．
考察题型四 借助辅助线构造直角三角形，解决网格问题
1．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点，则的值为
A．1B．C．D．2
【详解】解：如图，连接，
由正方形的性质可得：，，，
．
故本题选：．
2．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值是
A．B．C．D．
【详解】解：如图，连接，
由题意可得：，，，
，
是直角三角形，
，
．
故本题选：．
3．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是
A．B．C．D．
【详解】解：如图，延长到，连接，
，，，
，
，
．
故本题选：．
4．如图，点、、在正方形网格的格点上，
A．B．C．D．
【详解】解：如图，取格点，连接交于，则，
设，则，，，，
在中，，
．
故本题选：．
5．如图，点、、、均在正方形网格的格点上，线段、相交于点，则的正切值是
A．B．C．D．2
【详解】解：如图，取格点，连接，，
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
．
故本题选：．
考察题型五 借助辅助线构造直角三角形，解一般三角形
1．等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角的正弦值为 ．
【详解】解： 如图， 作于点，
则，
，
，
．
故本题选：．
2．如图，在四边形中，，，，对角线平分，，则的面积为 ．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，
对角线平分．，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故本题答案为：9．
3．题目：“在中，，，，求的长度．”对于其答案，甲答：的长度为14，乙答：的长度为5，丙答：的长度为4，则正确的是
A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整
【详解】解：由题意可得：不是直角三角形；
①当是锐角三角形时，
如图，过点作，垂足为，
，
，，
在中，，
，
在中，，在中，，
；
②当是钝角三角形时，
如图，过点作，垂足为，
，
，，
在中，，
，
，
，
在中，，
．
故本题选：．
4．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为
A．B．12C．D．6
【详解】解：如图，过点作，垂足为，
在中，，，
，
在中，，
，
平分，
，
，
，
，
．
故本题选：．
5．如图，在中，，，点是上一点，连接．若，，则 ．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，即，解得：，
，
，，
可设，则，，
，
，解得：，
，，
，
．
故本题答案为：．
6．已知等腰三角形两腰上的中线相互垂直，那么其顶角的正弦值为 ．
【详解】解：如图，过作，
设，
是中线，
，
是重心，，
，
，，即，
是中线，，
，
，
，
，
，解得：，
，
．
故本题答案为：．
7．如图，在中，，，．
（1）求的长．
（2）若点在边上，且，求的值．
【详解】解：（1）如图，过点作，垂足为，
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）如图，过点作，垂足为，连接，
，，
，
在中，，
，
设，则，
，
，解得：，
，，
由（1）得：，
，
在中，．
考察题型六 借助辅助线构造直角三角形，用等面积法解决问题
1．如图，在中，，，点是延长线上一点，．
（1）求点到的距离；
（2）求的值．
【详解】解：（1）如图，作于点，
设，
在中，，
，
，
在中，，
，
．
，
，
，
；即点到的距离为3；
（2）如图，作于点，
由（1）可得：，，
在中，，
在中，，
，
，
，
在中，，
．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在轴负半轴上，且．
（1）求的长及的正弦值．
（2）若点在轴正半轴上，且．点是轴上的动点，当时，求点坐标．
【详解】解：（1）点，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
（2）如图，过点作于，
设点的坐标为，则，
在中，由勾股定理得：，
点在轴正半轴上，且，
在中，由勾股定理得：，
在中，，即，
，
在中，，，
，
又，，
，
由三角形的面积公式得：，
，
整理得：，
解得：，，
点的坐标为，或，．
考察题型七 借助辅助线，解决倍角问题
1．阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到，所以．类比这种方法，请你计算的值为
A．B．C．D．
【详解】解：如图，在中，，，延长使，连接，
，
设，则，
，
在中，．
故本题选：．
2．如图，在中，，，，则的值为 ．
A．B．C．D．
【详解】解：如图，取中点，连接，过点作交于点，
，，，
，
，
为中点，
，，
，
，
，
，
．
故本题答案为：．
1．如图，在四边形中，，对角线、相交于点，，，，则的长为 ．
【详解】解：如图，过点作于点，过作于点，
，，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，，
，，
又，
．
，
，
，
设，，
，即，
，
，，
，
又，，
，
，
，
又，
，
．
故本题答案为：．
2．如图，在中，，，点的坐标是，，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为
A．B．C．D．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，，过点作轴的垂线交轴于，与过点作轴的垂线相交于点，
由旋转可知：，，，
，
点是的中点，
，
点是点、点的旋转中心，点也是点、点的旋转中心，
，
，
又，，
△△，
，
点是点、点的旋转中心，
点是旋转到的旋转中心，
，，
，
，，
，
，，
在中，由于，
故设，则，
由勾股定理得：，
即，解得：（舍去负值），
即，
，
，
，
点，，
点，，
中点的坐标为，．
故本题选：．
3．如图，直线，等边的三个顶点分别在直线、、上，如果直线、间的距离与直线、的距离之比为，那么与直线夹角的正切值是 ．
【详解】解：如图，过点作于点，然后把绕点顺时针旋转得到，过点作于点，交于点，过点作于点，
由题意可得：，
设，则，则，，
由旋转可知：，
，即，
，
，
，
又，
，
，
，
又是等边三角形，
，
，
．
故本题答案为：．
4．如图，，长度为2的线段在射线上滑动，点在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点，过点作，垂足为，则的最大值为 ．
【详解】解：如图1中，连接，过点作于，于，过点作于，
的两个内角的角平分线相交于点，，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
当的值最小时，的值最大，
如图2中，过点作，使得，作点关于直线的对称点，连接交于，连接交于，截取，此时的值最小，最小值的长，
由图1可知：，
在中，，，，
，
的最小值，
的最大值．
故本题答案为：．
5．如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是
A．B．C．D．
【详解】解：如图，作的外接圆，连接，，，取的中点，连接，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
当与相切时，的值最大，此时的值最大，
是等边三角形，，
，
，
是切线，是半径，
，
，
过点作于点，于点，于点，
，
，
，
，
，
设，，则有，，
①，②，
解得：，，
，
．
故本题选：．