2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题04 二次函数的实际应用60题专练（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题04 二次函数的实际应用60题专练（含解析），共103页。试卷主要包含了之间的关系如图所示，综合与实践，之间的关系如表格所示等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
1．（2024•北仑区一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间与地铁到停止线的距离之间的表格信息：
当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考：
（1）依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法；
（2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 二次 函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例” ．请你选择合适的数据求出该函数的表达式；
（3）地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．
（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间）
【分析】（1）根据描点，连线，画出函数图象即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（3）将代入，解方程即可求出的值，再用即可得出结论．
【解答】解：（1）描点，连线，如图：
（2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的二次函数，
设，将点代入得：，
将，代入中，
得：，
解得：，
该函数的表达式为；
故答案为：二次；
（3）依题意，当时，，
解得：，
，
地铁的停靠时间为28秒．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌掌握二次函数性质是解题的关键．
2．（2024•官渡区一模）“有一种叫云南的生活”融和了丰富的多元文化、多彩的自然风光和独特的民俗风情．在云南，风里有花香，舌尖亦能有花香．“鲜花饼”是云南有名的特产，南屏街某商店销售“鲜花饼”，进价为20元盒，经市场调查发现：该鲜花饼的销售量（盒与销售价（元盒）之间的关系如图所示．规定售价不低于成本，不高于成本的2.5倍．
（1）求关于的函数解析式；
（2）求销售该鲜花饼获得的利润的最大值．
【分析】（1）根据题意分和两种情况，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设该店日获利润为元，然后表示出，利用二次函数的增减性求解即可．
【解答】解：（1）当时，设与的函数解析式为，
根据题意，得，
解得，
；
当时，
故与的函数解析式为；
（2）设该店日获利润为元，当时，
，
，
抛物线开口向下，
当时，有最大值，最大值为4000；
当时，，
，
随的增大而增大，
当时取得最大值，最大值为6000，
综上所述，销售该鲜花饼获得的利润的最大值为6000元．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
3．（2024•新吴区一模）天气渐热，某商家购进一种冰镇饮料，每瓶进价是4元，并规定每瓶售价不得少于6元，日销售量不低于40瓶．根据以往销售经验发现，当每瓶售价定为6元时，日销售量为60瓶，每瓶售价每提高1元，日销售量减少5瓶．设每瓶售价为元，日销售量为瓶．
（1）当时， 50 ；
（2）当每瓶售价定为多少元时，日销售利润（元最大？最大利润是多少？
（3）判断命题：“日销售额最大时，日销售利润不是最大”是 命题（填“真”或“假” ，并说明理由．
【分析】（1）根据每瓶售价每提高1元，日销售量减少5瓶，当时，售价提高2元，则日销售量减少10瓶，即可得出结论；
（2）根据每瓶利润日销售量总利润，可得关于的关系式，再根据题意求出自变量的取值范围，由二次函数性质可得答案；
（3）设日销售额为元，根据日销售额销售单价销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出取最大值时的值，再求出此时的利润即可判断．
【解答】解：（1），
故答案为：50；
（2）由题意可得，，
则，
每瓶售价不得少于6元，日销售量不低于40瓶，
，
解得，
，
当 时，有最大值，最大利润为240，
答：当每瓶售价定为10元时，日销售利润（元最大，最大利润是240元；
（3）设日销售额为元，
则，
，，
当时，日销售额有最大值为405元，
而此时日销售利润为225元，不是最大，
所以原命题是真命题，
故答案为：真．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，解决问题的关键是弄清题意，列出函数解析式并求出的取值范围．
4．（2024•滨海县校级模拟）综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近，，，，五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
数据整理：
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
模型建立
（2）分析数据的变化规律，探究出日销售量与售价之间的关系式．
拓广应用
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中．
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
【分析】（1）根据销售单价从小到大排列即可；
（2）用待定系数法求出日销售量与售价之间的关系即可；
（3）①根据每天获得400元的利润，列出一元二次方程，解方程即可；
②设每天获得的利润为元，依据题意得，依据一元二次方程的性质分析即可．
【解答】解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表：
故答案为：18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；
（2）观察表格可知销售量是售价的一次函数；
设销售量为盆，售价为元，，
把，代入得：
，
解得：，
；
（3）①每天获得400元的利润，
，
解得 或，
要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②设每天获得的利润为元．
根据题意得：，
，
当时，取最大值450，
售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和一次函数关系式是解题的关键．
5．（2024•江阴市一模）某商店以30元件的进价购进了某种商品，这种商品在60天内的日销售价（单位：元件）与时间（单位：天）之间的关系如表格所示：
日销售量（单位：件）与时间（单位：天）之间的函数表达式为，其中为整数．
（1）求第30天的销售利润；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
日销售利润（日销售价进价）日销售量
【分析】（1）求出第30天的销售价格和销售量，用（销售价格成本）销售量求解即可；
（2）该商品的日销售利润为元，然后分和两种情况，由日销售利润（日销售价进价）日销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值，最后比较即可得出结论．
【解答】解：（1）当时，日销售价格为（元，
日销售量为（件，
日销售利润为（元，
答：第30天的销售利润为750元；
（2）该商品的日销售利润为元，
当时，，
，
当时，有最大值，最大值为800；
当时，，
，
当时，有最大值，最大值为590，
，
商品在第20天的日销售利润最大，最大日销售利润是800元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键写出日销售利润与销售天数的关系式，利用二次函数的性质解决最值问题．
6．（2024•崂山区一模）某商场新进一批拼装玩具，每件玩具进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高0.5元，日销售量减少5件．设每件售价为元，日销售量为件．
（1）当时， 400 件；
（2）当每件售价定为多少元时，日销售利润（元最大？最大利润是多少？
（3）当日销售利润不低于6000元时，求每件玩具售价的取值范围．
【分析】（1）根据“每件售价每提高0.5元，日销售量减少5件”求解即可；
（2）根据“销售利润（售价成本）销量”列关系式，并根据函数的性质求最值；
（3）先求出当元时，的值，再根据开口方向确定时，自变量的取值范围．
【解答】解：（1）当时，（件，
故答案为：400；
（2）根据题意得：，
，
，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
由题意，
解得，
当时，取最大值，最大值为12250，
答：当每件售价定为65元时，日销售利润（元最大，最大利润是12250元；
（3）当元时，，
解得，，
，
开口向下，
当时，，
又，
，
答：当日销售利润不低于6000元时，每件玩具售价的取值范围为．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
7．（2024•龙湖区校级一模）某企业设计了一款工艺品，每件成本是50元，为了合理定价，投成市场进行式销，据调查，销售单价是100元时，每天销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5伴，但要求销售单价不得低于成本．
设销售单价元，销售利润元．
（1）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（2）该企业要使每天的销售利润不低于4000元，求出销售单价的取值范围？
【分析】（1）根据“利润（售价成本）销售量”列出函数解析式，根据利用二次函数图象的性质进行求解即可；
（2）令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质得出销售利润不低于4000元时销售单价的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得：
，
，
抛物线开口向下，
，对称轴是直线，
当时，；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；
（2）当时，
，
解得，，
由函数的图象和性质可得当时，每天的销售利润不低于4000元，
销售单价的取值范围为．
【点评】此题题考查二次函数的实际应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
8．（2024•抚州一模）如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心．
（1）求水管的长度；
（2）若在喷水池中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端恰好碰到水柱，求景观射灯与之间的水平距离；
（3）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要升高多少？
【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为．用顶点式设出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得二次项的系数，即可得到抛物线的解析式，取，求得的值即为水管的长度；
（2）取，代入（1）得到的抛物线解析式，求得合适的值，即可求得景观射灯与之间的水平距离；
（3）根据喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，可得新的抛物线的解析式的二次项系数，对称轴与（1）中的解析式中的二次项系数和对称轴完全相同，进而把代入可得顶点的纵坐标．取，求得水管顶端与轴的交点，减去3.2即为水管要升高的长度．
【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为，点的坐标为．
设抛物线的解析式为：．
把点的坐标代入得：．
解得：．
．
当时，．
水管的长度为；
（2）当时，．
．
．
解得：，（不合题意，舍去）．
景观射灯与之间的水平距离为7 ．
答：景观射灯与之间的水平距离为．
（3）设升高水管后，水柱所在的抛物线的解析式为．
经过点，
．
解得：．
．
当时，．
．
答：水管要升高．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：若所求的二次函数中有最高点（最低点），一般设函数解析式为顶点式，求解析式计算比较简便．
9．（2024•黔南州一模）如图1是某公园喷水头喷出的水柱．如图2是其示意图，点处有一个喷水头，距离喷水头的处有一棵高度是的树，距离这棵树的处有一面高的围墙（点，，在同一直线上）．建立如图2所示的平面直角坐标系．已知浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系．
某次喷水浇灌时，测得与的几组数据如下：
（1）根据上述数据，求这些数据满足的函数关系式．
（2）判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由．
（3）在另一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出所满足的关系式．
【分析】（1）依据题意，由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）依据题意，把代入（1）中解析式求出的值与2.3比较即可；
（3）根据题意可知当时，当时以及对称轴直线即可求出的范围．
【解答】解：（1）由题意，根据抛物线过原点，设抛物线解析式为，
把，和，代入得：，
解得，
抛物线解析式为；
（2）由题意，当时，．
，
喷水头喷出的水柱能越过这棵树；
（3）喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，
当时，，
即，
，
喷水头喷出的水柱不会浇到墙外，
当时，，
解，
，
抛物线对称轴为，
喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，
对称轴所在直线在围墙与喷水头中点的左侧．
，
．
．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式和函数性质的应用．
10．（2024•衢州一模）综合与实践
【分析】（1）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可；
（2）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可．
【解答】解：（1）思路1：设，则，
，
，，
当时，；
思路2：设，则，
，
，
当时，，
，
矩形种植园面积最大为；
（2）图示如下：
同（1）可分别求得：
思路，则，
，
，
当时，有最大值，最大值为50；
思路，则，
，
，，
当时，有最大值，最大值为48，
，
矩形种植园面积最大为，此时，．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，关键是函数性质的应用．
11．（2024•湖北模拟）如图1，公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，．
（1）求水线最高点与点之间的水平距离；
（2）当喷水口在处时，
①求水线的最大高度；
②身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由．
【分析】（1）以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系．易得喷水口在处的抛物线经过点和，那么可得抛物线的对称轴，结合点的坐标可得水线最高点与点之间的水平距离；
（2）①根据抛物线上下平移，对称轴不变以及经过点和点求得当喷水口在处时的水线所在的抛物线的解析式，水线的最大高度即为对称轴与抛物线交点的纵坐标到轴的距离；
②取，代入①得到的抛物线解析式，求得对应的的值，即可判断出为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件．
【解答】解：以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系．
（1），
点坐标为，点坐标为．
所得抛物线的对称轴为：直线．
，
点的坐标为．
水线最高点与点之间的水平距离为：；
（2）①设喷水口在处时，喷出的抛物线形水线的解析式为．
经过点，，对称轴与过点的抛物线的对称轴相同，
．
解得：．
．
当时，．
答：水线的最大高度为；
②当时，
．
．
．
，．
为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：在同一个抛物线上的两个点的坐标为，，，，那么该抛物线的对称轴为：直线；抛物线上下平移，对称轴不变．
12．（2024•碑林区校级模拟）2022年北京冬奥会的成功举办让更多的人参与到了冰雪运动中来
如图①是某处滑雪大跳台的实景图，建立如图②所示的平面直角坐标系，其中段可以近似的看作抛物线：的一部分，轴，点在轴上，点在轴上，且．某滑雪爱好者在一次滑雪比赛中沿斜坡加速至处腾空而起，近似地沿抛物线运动，在空中完成翻滚动作，着陆在段上，已知当他运行的水平距离为2米时，达到离地面的最大高度为9米．
（1）点的坐标为 ；
（2）求该滑雪爱好者腾空后的抛物线的表达式；
（3）若此次滑雪评分细则规定：当运动员的腾空高度与段之间的竖直最大距离不少于6米时，则该运动员在“腾空高度分”就可以给满分．请通过计算说明该滑雪爱好者的“腾空高度分”是否能得到满分．
【分析】（1）先求出点坐标，再求出点坐标；
（2）用待定系数法求解析式即可；
（3）设抛物线上一点，作轴，交抛物线于，设，则，从而得出，由函数性质求出的最大值与6比较即可．
【解答】解：（1），
当时，，
，
则，
故答案为：；
（2）由题意知，顶点为，
设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得，
抛物线的表达式为；
（3）设抛物线上一点，作轴，交抛物线于，
设，则，
，
，
当时，最大，最大值为，
，
该滑雪爱好者的“腾空高度分”能得到满分．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是关键．
13．（2024•兰州模拟）如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥方案设计．深安黄河大桥主拱形呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连．如图2所示，建立平面直角坐标系，吊杆到原点的水平距离，吊杆到原点的水平距离，且，主拱形离桥面的距离与水平距离近似满足二次函数关系，其对称轴为直线．
（1）求的长度；
（2）求主拱形到桥面的最大高度的长．
【分析】（1）因为，，且，所以其对称轴为直线，可得的长；
（2）将（1）求得的值代入该二次函数，已知对称轴，可得点坐标，将点代入该二次函数，解得的值，可得该二次函数的表达式，可得主拱形到桥面的最大高度的长．
【解答】解：（1）由题意得，其对称轴为直线，即，，
答：的长度为；
（2），
，
直线是其对称轴，
，
将点代入函数，
得，，
解得：，
，
，即，
答：主拱形到桥面的最大高度的长为．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，关键是掌握二次函数的对称轴．
14．（2024•安阳模拟）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同．若设每月的销售量为件，售价为元件，每月的总利润为元．
（1）当售价在元件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
（2）当售价在元件时，每月的销售量与售价的关系如图所示．小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠为整数）元，若要保证小丽每月获利仍随的增大而增大，请你帮她计算的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大．
【分析】（1）根据总利润单件的利润销售量求解即可；
（2）首先求出当售价在元时每月销售量与售价的关系式，再根据小丽每月获利仍随的增大而增大，求出的取值范围，再根据函数的性质求出最大值．
【解答】解：（1）当售价在元时，总利润，
，
当时，总利润最多，为（元，
每月的总利润最多是1200元；
（2）当售价在元时，设每月销售量，
，
解得
每月销售量，
每月的总利润，
二次函数的对称轴为直线，
，且要保证小丽每月获利仍随的增大而增大，
，
解得，
的最小值是30，
此时，
当时，取得最大值，最大值为200元，
的最小值是30，此时售价为70元时，她每月获利最大．
【点评】本题考查了一次函数应用和二次函数的应用，解题关键是理清题意，列出函数关系式．
15．（2024•许昌一模）如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点离地面的距离为9米，以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）暑期来临之际，该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于地面上方2米．设条幅与的水平距离为米，求出的取值范围．
【分析】（1）根据矩形的性质，求出，点的坐标，进而求出点的坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时的的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）矩形，米，米，
米，米，
，，
抛物线的对称轴为，
，
设抛物线的解析式为：，把代入，得：，
解得：，
；
（2）由题意，当时：，
解得：，
当时，，
．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键．
16．（2024•合肥模拟）为了丰富学生的课余生活，加强同学们户外锻炼的意识，学校举办了排球赛．如图，已知学校排球场的长度为18米，位于球场中线处球网的高度为2.24米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方1.7米的点向正前方做抛物线运动，当排球运行至离点的水平距离为5米时，到达最高点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）这名队员发球后，当球上升的最大高度为3.7米时，他此次发球是否会过网？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，对方距球网1米的点处站有一队员，她起跳后够到的最大高度为2.02米，则这次她是否可以拦网成功（假设她够到球一定拦网成功）？请通过计算说明．
【分析】（1）根据题意，抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为，把代入解析式计算即可．
（2）根据题意，当时，求对应的函数值，与在2.02米比较，计算解答即可．
【解答】解：（1）他此次发球会过网，理由如下：
根据题意，抛物线的顶点坐标，
设抛物线的解析式为，
把代入解析式，得，
解得．
．
，点为中点，
．
将代入解析式得，．
，
他此次发球会过网．
（2）这次她可以拦网成功；理由如下：
（米．
把代入，
得，
，
故她可以拦网成功．
【点评】本题考查了抛物线的应用，熟练掌握顶点式抛物线解析式的确定，把生活问题转化为函数值的大小比较是解题的关键．
17．（2024•焦作一模）根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1．以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：，把点、的坐标代入可得和的值，即可得到抛物线的解析式；
任务2．若有盏灯笼，则有个间隔，根据间隔的总长度列出不等式，即可求得的取值范围，进而可得的值；
任务3．最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标点的横坐标灯笼之间的间隔灯笼的半径长，把相关数值代入计算即可得到最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【解答】解：任务1．如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系．
正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，矩形的宽为，高为，抛物线形拱的高为．
拱顶的坐标为，点的坐标为．
设抛物线的解析式为：．
．
解得：．
；
任务2．
设灯笼数量有盏，那么间隔有个．
．
解得：．
悬挂灯笼的数量为双数，
灯笼数量为4个；
任务3．
灯笼数量有4个，
灯笼之间的间隔有5个．
矩形的宽为10 ，每个灯笼的直径为1 ．
灯笼的半径是0.5 ，每个间隔的长度为：．
由题意得：点的横坐标为，
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为：．
答：最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为．
【点评】本题考查二次函数的应用．根据生活常识得到若在大门挂灯笼，有个灯笼就有个间隔是解决本题的易错点．
18．（2024•邯郸模拟）图1是两层喷泉景观的效果图，图2是其示意图，两层喷泉落在直径为的圆内，喷泉的水流均看作抛物线的一部分，下层喷泉的喷水口设在圆心处，落地点与圆心的水平距离为，水流的最高点距离地面；上层喷泉的喷水口设在圆心的正上方，且水流经过下层喷泉水流的最高点，以圆心为原点，过圆心的一条水平线为轴，中心线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系，设水流的高度为（单位：，水流距离中心线的水平距离为（单位；．
（1）求图3中下层喷泉所对应抛物线的函数解析式；（不必写的取值范围）
（2）当图3中上层喷泉所对应抛物线的函数解析式为时，视觉效果最佳．
①试推算，应满足的数量关系；
②结合实际环境．要求上层喷泉的水流最大高度不低于，且不高于，求出的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①把代入抛物线的函数解析式为即可得出结论；②把①的结论代入得，求出抛物线的最大高度，求出的取值范围，然后令和3.45，求出的值，再确定取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知，的顶点为，
设下层喷泉所对应抛物线的函数解析式为，
将代入解析式得：，
解得，
下层喷泉所对应抛物线的函数解析式为；
（2）①上层喷泉所对应抛物线经过下层喷泉所对应抛物线的顶点，
，
整理得：，
，应满足的数量关系是（形式不唯一）；
②由①得，，
抛物线的最大高度，
抛物线的对称轴介于0和1之间，
即，
，
令，即，
解得（舍去），，
令，即，
解得（舍去），，
的取值范围为．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
19．（2024•安康一模）某山体的隧道截面近似于抛物线，隧道最高点距离地面，隧道地面宽．如图，以为轴，为坐标原点构建平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）现要在抛物线型隧道内安装一个矩形屏，屏长为，宽为，若矩形同屏的一个顶点在抛物线上且长边需平行于．求屏底边距离地面的最大高度．
【分析】（1）根据题意用待定系数法求函数解析式；
（2）画出图形，求出点横坐标，再代入（1）中解析式求出的值，再减去0.5即可．
【解答】解：（1）根据题意，为抛物线的顶点，点坐标为，，，
设抛物线解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）如图所示：
由题意可知，，，，
由（1）知，抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为，
当时，，
，
屏底边距离地面的最大高度为．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
20．（2024•东营一模）城市吉祥物是城市形象的重要视觉符号，承载着城市的文化内涵、价值理念和人文情怀，是一座城市的形象图腾．为宣传东营城市文化，展示东营城市风采，东营市文化局和旅游局对接多家专业设计公司，最终确定“河东东”“海营营”为东营市城市吉祥物．一时间“河东东”“海营营”套装的销售日益火爆，据调查某特许零售店“河东东”“海营营”套装每盒进价7元，售价12元．
（1）商店老板计划首月销售320盒，经过首月试销售，老板发现单盒“河东东”“海营营”套装售价每增长2元，月销量就将减少10盒．若老板希望“河东东”“海营营”套装月销量不低于300盒，则每盒售价最高为多少元？
（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量300盒增加了盒，于是月销售利润达到了2100元，求的值；
（3）在（1）的条件下，当每盒售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润为多少？
【分析】（1）设每盒“河东东”“海营营”套装的售价为元，则月销量为盒，根据月销量不低于300盒，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）利用月销售利润每盒的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论；
（3）设月销售利润为元，根据月利润每盒的利润销售量列出函数解析式，在（1）的条件下由函数的性质求最值．
【解答】（1）设每盒“河东东”“海营营”套装的售价为元，则月销量为盒，
依题意得：，
解得：，
答：每盒售价最高为16元：
（2）依题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去）；
答：的值为2；
（3）设月销售利润为元，
根据题意得：
，
对称轴为，
，，
当时，有最大值，最大值为2700，
当每盒售价为16元时，月销售利润最大，最大利润为2700元．
【点评】本题考查了二次函数、一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程（3）找准等量关系，正确列出函数解析式．
21．（2024•长安区一模）2023年5月28日，商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图1，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车从机翼两侧向斜上方喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．当两辆消防车喷水口、的水平距离为80米时，两条水柱恰好在抛物线的顶点处相遇，此时相遇点距地面20米，喷水口、距地面均为4米．如图2，以地面两辆消防车所在的直线为轴，过点所在的铅直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）写出点、的坐标，并求出抛物线的关系式；
（2）两辆消防车同时向后移动相同的距离，此时两个水柱的交点记为，若，请求出两辆消防车移动的距离．
【分析】（1）根据、的水平距离为80米可得点的横坐标为40，根据喷水口、距地面均为4米可得点的纵坐标为4；根据点距地面20米，点在轴可得点的坐标；用顶点式表示出二次函数解析式，把点的坐标代入可得的值，即可求出抛物线的关系式；
（2）两个水柱的交点在轴，根据，可得点的坐标，设右侧消防车向后移动了米，则平移的后抛物线为：，把点的坐标代入可得的值即为平移的距离．
【解答】解：（1）、的水平距离为80米，
点的横坐标为40．
喷水口、距地面均为4米，
点的纵坐标为4．
点的坐标为．
点距地面20米，点在轴，
点的坐标为．
，．
由题意得：为抛物线的顶点，设．
将点代入得：，
解得：．
；
（2）
同时移动后两条水柱形成的抛物线关于轴对称，
就是平移后任意一条抛物线与轴的交点．
，，
．
设右侧消防车向后移动了米，
则平移的后抛物线为：．
将点代入上式，
解得：或（舍去）．
答：要使，两辆消防车应同时向后移动10米．
【点评】本题考查二次函数的应用；用到的知识点为：若二次函数可以判断出顶点坐标，用顶点式表示出二次函数的解析式，计算比较简便；二次函数左右平移，只改变自变量的值，左加右减．
22．（2024•黔南州一模）如图1为某公园的圆形喷水池，小玲学习了二次函数后，受到该图启发设计了一种新的喷水池，它的截面示意图如图2所示，为水池中心，喷头、之间的距离为18米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其高为1.75米．
（1）在图2中，以点为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，并求右边这条抛物线的函数解析式．
（2）如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点向四周喷射抛物线形水柱且满足以下四个条件：不能碰到图2中的水柱；落水点，的间距为；水柱的最高点与点的高度差为；从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．
（1）在建立的坐标系中，求落水点的坐标；
（2）求出喷水装置的高度．
【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为，抛物线经过的点的坐标为．用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入后可得的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）①易得点和点的纵坐标为1.75，取，代入（1）中得到的抛物线解析式中，可得点的横坐标，根据可得点的横坐标，即可判断点的坐标；
②根据从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱可得坐标系右侧上方的抛物线的二次项系数为，那么坐标系右侧上方的抛物线解析式可设为：．判断出的最大值，根据水柱的最高点与点的高度差为可得的值，进而根据该抛物线经过点可得的值，的值即为的长度．
【解答】解：（1）由题意得：右边这条抛物线的顶点坐标为：，抛物线经过的点的坐标为．
设右边这条抛物线的解析式为：．
把点的坐标代入得：．
解得：．
右边这条抛物线的函数解析式为：；
（2）
①为1.75米，
点和点的纵坐标为1.75．
．
解得：（不合题意，舍去），．
点的坐标为：．
，
点的坐标为；
②设喷水装置的高度为 ．
点的坐标为．
坐标系右侧上方的抛物线解析式可设为：．
．
水柱的最高点与点的高度差为，
．
解得：（取正值）．
．
经过点，
．
解得：．
．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数的图象的形状相同，开口方向相同，则二次函数的二次项的系数相同；二次函数的顶点坐标为，则二次函数的解析式表示为，计算比较简便．
23．（2024•东莞市校级一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系：，已知，，落点的水平距离是，竖直高度是．
（1）点的坐标是 ，点的坐标是 ；
（2）求满足的函数关系；
（3）运动员再次起跳，运动员的竖直高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系：，问：运动员这次起跳着陆点的水平距离 第一次着陆点的水平距离（填“大于”、“小于”或“等于” ．
【分析】（1）根据题意可知直接求出，坐标；
（2）把，坐标代入，用待定系数法求函数解析式即可；
（3）求出直线的解析式，再解方程求出直线和抛物线交点的横坐标与40比较即可．
【解答】解：（1）根据题意得，，，
故答案为：，；
（2）把，代入得：
，
解得
所以二次函数的表达式为；
（3）设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，
整理得，
解得（负值舍去），
，
故答案为：小于．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据抛物线上的点求出二次函数的关系式是解题关键．
24．（2024•利川市校级模拟）某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量（件与每件商品的日销售价（元之间的关系如图中的折线所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）若日销售单价（元为整数，则当日销售单价（元为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；
（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价的取值范围．
【分析】（1）设，分两种情况用待定系数法可得答案；
（2）设销售利润为元，根据总利润等于每件利润乘以销售量，分两种情况列函数关系式，求出的最大值，即可得到答案；
（3）结合（2）可得，即可解得的范围．
【解答】解：（1）设，
当时，把，代入得：
，
解得，
；
当时，把，代入得：
，
解得，
；
综上所述，；
（2）设销售利润为元，则：
①当时，
，
时，元；
②当时，
，
为整数，
或43时，取最大值，元，
，
当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元；
（3）由（2）知，当时，该商品每天的最大销售利润为1000元；
只有在时，每天的销售利润才可能不低于1200元；
，
．
【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
25．（2024•安顺一模）学校操场上有部分同学在玩丢沙包游戏，佳佳通过游戏得到启发编制了一道数学题，如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1米长，佳佳在点处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线的一部分，亮亮恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
（1）求抛物线的函数解析式：
（2）若佳佳向前跑1米，再竖直向上跳0.5米，刚好接到沙包，求出此时的值；
（3）若佳佳发现在轴上方1米的高度上，且到点水平距离不超过1米的范围内可以接到沙包，请直接写出符合条件的的取值范围．
【分析】（1）把代入，即可求得二次函数中二次项的系数，也就求得了二次函数解析式；
（2）根据（1）求出的值，再把代入求出的值；
（3）佳佳在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到回传回来的沙包，那么抛物线需要经过连接点和的线段，把和代入，可得的值，进而可得的取值范围．
【解答】解：（1）把代入得，，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）对于，
当时，，
，
，
抛物线，
佳佳向前跑1米，再竖直向上跳0.5米，此时佳佳坐标为，
把代入得，
，
解得；
（3）佳佳在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到回传回来的沙包，
抛物线需要经过连接点和的线段．
①抛物线经过点．
，
解得：；
②抛物线经过点．
，
解得：，
的取值范围是．
【点评】本题考查二次函数的应用．根据所给条件判断出二次函数解析式的形式是解决本题的关键．
26．（2024•桐柏县一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，但不影响抛物线的形状，水柱落地点与点在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高米，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，高度为3米．以为原点，所在的直线为轴，水管所在的直线为轴，建立如图的直角坐标系．
（1）求水柱高度与距离池中心的水平距离的函数表达式；
（2）求水柱落地点到水池中心的距离．
（3）受场地的限时，喷水池的最大半径为2.5米，为了不让水喷到外面，喷头高度至少降低多少米？
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为，把代入解析式求出即可；
（2）令，解方程即可；
（3）根据题意在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，设柱高度与距离池中心的水平距离的函数表达式为，先把代入解析式求出的值，再令求出的值，再用减去的值即可．
【解答】解：（1）根据题意知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入解析式得，，
解得，
水柱高度与距离池中心的水平距离的函数表达式为；
（2）令，则，
解得，（舍去），
，
，
水柱落地点到水池中心的距离为；
（3）由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
水柱高度与距离池中心的水平距离的函数表达式为，
把代入解析式得：，
解得，
水柱高度与距离池中心的水平距离的函数表达式为，
当时，，
（米，
喷头高度至少降低米．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
27．（2024•元谋县一模）云南地处高原环境，日照长，昼夜温差大，利于糖分积累，是著名的蓝莓产区，小李家今年种植的蓝莓喜获丰收，采摘上市15天全部销售完，小李对销售情况进行统计后发现，在该蓝莓上市第天取整数）时，日销售量（单位：千克）与之间的函数关系式为，蓝莓价格（单位：元千克）与之间的函数关系如图所示．
（1）当时，求与之间的函数关系式；
（2）设日销售额元，当时，求的最大值．
【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据日销售额售价销售量列出函数解析式，由函数的性质求最值．
【解答】解：（1）当时，设与之间的函数关系式为，
把，代入，得，
解得，
当时，与之间的函数关系式为；
（2）当时，，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为6000，
的最大值为6000元．
【点评】本题考查一次函数和二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
28．（2024•镇平县一模）某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动．跳绳时，绳摇到最高处时的形状是抛物线．正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点的水平距离为1米的点处，绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如果身高为1.75米的王老师也想参加跳绳，小明和小强站原地正常摇绳的情况下，问绳子能否顺利从王老师头顶越过？请说明理由；
（3）如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳，他站在，之间，且离点的距离为米，当绳子摇到最高处时，在什么范围内，绳子能顺利越过他头顶？请结合图象，直接写出的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法，把，代入，求出、的值，即可得到该抛物线的解析式；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为1.8米，据此即可得到答案；
（3）令，求出的值，即为的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知，、、、，
把，代入得，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）能，理由如下：
，
抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时的高度为1.8米，
，
绳子能顺利从他头顶越过；
（3）令，则，
解得：，，
．
【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
29．（2024•陕西二模）如图，在一个斜坡上架设两个塔柱，（可看作两条竖直的线段），塔柱间挂起的电缆线下垂弧度可以近似看成抛物线的形状．两根塔柱的高度满足，塔柱与之间的水平距离为，且两个塔柱底端点与点的高度差为．以点为坐标原点，为单位长度构建平面直角坐标系．
（1）求点，，的坐标．
（2）经测量得知：，段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线一样，且电缆线距离斜坡面竖直高度至少为时，才符合设计安全要求．请结合所学知识判断上述电缆的架设是否符合安全要求？并说明理由．
【分析】（1）如图，设交轴于点，过点作，垂足为，分别求出与点、、相关线段的长，然后根据点的坐标特征写出坐标即可；
（2）如图，作轴，交抛物线于点，交于点，用待定系数法分别求出、所挂电缆线抛物线和直线的解析式，设、的坐标，计算出的长度，然后根据二次函数的性质求出的最小值，然后和15.5米比较即可作出判断．
【解答】解：（1）如图1，设交轴于点，过点作，垂足为，
由题意可知，米，
米，
米，
，
（米，
（米，
，，；
（2）这种电缆线的架设符合要求，理由如下：
如图2，作轴，交抛物线于点，交于点，
、段所挂电缆线的形状与抛物线一样，
设、所挂电缆线抛物线的解析式为，
抛物线过点，，
，
解得，
所以抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
直线过点，，
，
解得，
所以直线的解析式为，
设点，则，
，
，
，
，
当时，有最小值为18，
，
这种电缆线的架设符合要求．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是点的坐标和对应线段的长度的相互转换、用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质等知识．
30．（2024•杭州模拟）【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：与飞行时间（单位：的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：与飞行时间（单位：的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
【建立模型】
任务1：求关于的函数表达式．
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为，当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，．
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为时，求水火箭飞行的水平距离．
任务3：当水火箭落到内（包括端点，，求发射台高度的取值范围．
【分析】任务1：易得抛物线的顶点坐标为，用顶点式设出抛物线解析式，把代入后可求得的值，即可求得抛物线解析式；
任务2：用含的式子表示出，代入任务1得到的函数解析式可得关于的函数解析式，水火箭落地，那么高度为0，函数值取0可求得相应的的值，找到符合题意的解即可；
任务3：设的长度为．那么水火箭的抛物线解析式为．把点、的坐标代入函数解析式可得的值，进而可得也就是的取值范围．
【解答】解：任务二次函数经过点，，
抛物线的顶点坐标为．
设抛物线解析式为：．
抛物线经过点，
．
解得：．
关于的函数表达式为：；
任务，
．
．
当水火箭落地（高度为时，．
解得：（不合题意，舍去），．
答：水火箭飞行的水平距离为36米；
任务3：设的长度为．
水火箭的抛物线解析式为．
①当抛物线经过点时．
，
点的坐标为．
．
解得：．
②当抛物线经过点时．
，．
．
点的坐标为，．
．
解得：．
水火箭落到内（包括端点，，
．
．
答：发射台高度的取值范围为：．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数经过点，，，，抛物线的对称轴为直线；二次函数上下平移，只改变常数项，上加下减．
31．（2024•梁园区校级模拟）某农户用喷枪将斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是抛物线．经测量，处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距水平线的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由．
【分析】（1）根据抛物线解析式为，为抛物线的顶点，得到抛物线顶点式，由是抛物线与轴交点，将点代入解析式，求解出待定系数即可；
（2）连接，过点作，根据题意点、、点横坐标5，得，由．即可求出，从而得到，然后另代入（1）中求解出的解析式中，得到，比较与即可．
【解答】解：（1）过顶点坐标，
设抛物线解析式为：，
又抛物线过点，
将点代入解析式，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）不能，理由：
如图，过点作，由题意得点、、的横坐标5，即，
，
，
，
，
，
当时，，
，
处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶．
【点评】本题考查了二次函数的应用喷水问题，解直角三角形斜坡问题，熟练掌握二次函数待定系数法求解析式、读懂题意、把实际问题转化为数学问题和熟记二次函数的顶点式是解题的关键．
32．（2024•汕头校级模拟）某商店销售一种进价50元件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件是售价（元件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表：
（1）求出关于售价的函数关系式；
（2）设商店销售该商品每天获得的利润为（元，求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
【分析】（1）设，代入两组数据可得、的值，即得关于售价的函数关系式；
（2）利润销售量件利润，可得与的关系式，可解得当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大．
【解答】解：（1）设，
由题意得，，
解得：，，
答：关于售价的函数关系式为：；
（2）由题意得，，
当时，有最大值为1250，
答：当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，关键是正确解方程组．
33．（2024•天宁区校级模拟）常州市著名旅游景区“中华恐龙园”应疫情防控要求，严格控制每日来访旅客人数．已知于219年春节长假期间，共接待游客达20万人次，而在2021年春节长假期间，接待游客仅达16.2万人次．
（1）则“中华恐龙园”2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均减少率为 ；
（2）“中华恐龙园”景区内一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促前活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【分析】（1）设年平均减少率为，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设每杯售价定为元，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【解答】解：（1）设年平均减少率为，由题意得：
，
解得：，（舍去）．
故答案为：；
（2）设每杯售价定为元，由题意得：
，
解得：，．
为了能让顾客获得最大优惠，故取20．
答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键．
34．（2024•蒲城县模拟）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度为8米，棚顶最高点距离地面高度为4米．以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若借助横梁在大棚正中建一个2米高的门到地面的距离为2米），求横梁的长度是多少米？（结果保留根号）
【分析】（1）由题意得，、、，设两点式函数表达式，代入点，可得该抛物线的函数表达式；
（2）到地面的距离为2米，即、两点的纵坐标为2，令，求得、的横坐标，可得横梁的长度．
【解答】解：（1）由题意得，、、，
设该抛物线的函数表达式为，代入点，
得，
解得：，
，
答：该抛物线的函数表达式为；
（2）到地面的距离为2米，
、两点的纵坐标为2，
令，则，
解得：，，
，、，，
，
答：横梁的长度是米．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，关键是掌握两点式函数表达式．
35．（2024•泗县一模）如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，已知喷水口喷出最远的水柱是抛物线，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注抛物线水柱的宽度忽略）
（1）求该洒水车喷水能达到的最远距离的长；
（2）如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点．
（ⅰ）求的长；
（ⅱ）如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求的取值范围．
【分析】（1）把点代入，求出，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则抛物线是由抛物线向左平移6个单位得到的，由点坐标可得点的坐标；
根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案；
【解答】解：（1）把点代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得（负值舍去），
，，
，
答：该洒水车喷水能达到的最远距离的长为；
（2）抛物线的对称轴为直线，
的对称点为，
将抛物线向左平移使其经过点，
抛物线是由抛物线向左平移6个单位得到的，
点是点向左平移6个单位得到的，
，，即，，
；
，
的纵坐标为1，
，
解得，（舍去），
，
时，随的增大而减小，
当时，要使，则，
时，随的增大而增大，且时，，
当时要使，则，
，该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，
的最大值为，
下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是，
的取值范围为．
【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
36．（2024•深圳模拟）【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心有一喷水管，从点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点（喷水口）在轴上，轴上的点为水柱的最外落水点．
素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间．
素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
【项目任务】
任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点到水柱的最外落水点水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部处，木杆高米，距离喷水口米．求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是米时，不会被水淋到，求的取值范围．
任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（直接写出答案，精确到0.1米）．
【分析】（1）抛物线经过的点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为：，把点、、的坐标代入抛物线，求得，，的值，即可得到水柱所在抛物线的函数解析式；
（2）取农民的身高，求得的值即为这位农民与喷水口的水平距离，即可求得的取值范围；
（3）薄膜所在平面可看成是一条直线，解析式可设为：，求得此直线与抛物线相切时的值，进而把直线向右平移0.1米，得到新的直线解析式，取，即可求得薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离．
【解答】解：任务一、设水柱所在抛物线的函数解析式为：．
由题意得：抛物线经过的点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
．
解得：．
水柱所在抛物线的函数解析式为：；
任务二、当时，．
，
．
解得：，．
．
任务三、
薄膜所在平面可看成是一条直线．
薄膜所在平面和地面的夹角是，
薄膜所在平面的直线解析式为：．
当薄膜所在直线与水柱所在抛物线相切时，
．
．
．
只有一个交点，
．
．
．
．
直线与轴的交点为．
过点于点，且，过点作，交轴于点．
．
由题意得：，
新的直线解析式为：．
当时，．
答：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为8.4米．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：直线与轴轴）的夹角为，直线解析式的比例系数的绝对值等于1；二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减．
37．（2024•石阡县模拟）某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图．
（1）若．
①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为时，离地面的高度为．请直接写出该球在运行过程中离地面的最大高度；
②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为，求该球运行路线的解析式，及此球落地点离发球机的水平距离；
（2）球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为至之间（包含端点）是最佳接球区间，若，直接写出当满足什么条件时，距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球．
【分析】（1）①根据发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为时，离地面的高度为，得到抛物线经过，从而有对称轴为直线，根据题意得到顶点坐标，即可求出最大高度；
②根据发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为，得到顶点坐标，再根据对称轴和顶点坐标列出方程组，求出函数解析式，将代入函数解析式即可得到结果；
（2）当时，一次函数解析式为，由函数解析式可得顶点为，将顶点代入一次函数解析式得到的值，根据由篮球运行到离地面高度为至之间（包含端点）时最佳接球区间且距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下，即可求出的取值范围．
【解答】解：（1）①当时，抛物线的顶点在直线上移动，
发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为时，离地面的高度为，
抛物线经过，
抛物线具有对称性，
对称轴为直线，
由抛物线的顶点在直线上，把代入，
抛物线的顶点为，
出球口离地面高1米，
该球在运行过程中离地面的最大高度为；
②发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为，
抛物线顶点的纵坐标为2，
把代入，得，
抛物线的顶点为，
由顶点为，得，
解得，
抛物线的解析式为，
把代入，
得，
解得，（不合题意，舍去），
此球落地点离发球机的水平距离为；
（2）当时，一次函数解析式为，
由抛物线，对称轴为直线，
得抛物线的顶点为，
把代入，
得，
整理得，
抛物线的解析式为，
由篮球运行到离地面高度为至之间（包含端点）时最佳接球区间，
且距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下，
得将代入，得，
解得，
将代入，得，
解得，
当时，距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球．
【点评】本题考查了二次函数的应用，本题的关键是灵活运用抛物线的对称轴和条件中顶点的特点解题．
38．（2023•黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元件．设第个生产周期设备的售价为万元件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．
（1）求，的值；
（2）设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且与满足关系式．
①当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当时，若有且只有3个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求出，的值即可；
（2）①当时，根据利润（售价成本）设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值；
②求出时关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论．
【解答】解：（1）把时，；时，代入得：
，
解得，；
（2）①设第个生产周期创造的利润为万元，
由（1）知，当时，，
，
，，
当时，取得最大值，最大值为405，
工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；
②当时，，
，
，
则与的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于万元，
当，15时，
当，16时，，
的取值范围．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
39．（2024•台州模拟）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观．为保持绿道地面干燥，水柱要喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．
（1）出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？（结果保留一位小数）
（2）河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；
①河水降至离地平面距离为多少时，水柱刚好落在坝面上？
②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为米，喷水口离地平面的最小高度随着的变化而变化，直接写出与的关系式
【分析】（1）以点为坐标原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，取，求得的值即为护栏的最大高度；
（2）①求出线段的解析式，与（1）中求得的抛物线的解析式组成方程组求解，即可求得河水降至离地平面距离为多少时，水柱刚好落在坝面；
②易得平移后的抛物线解析式为：．根据坝中水面离地平面距离为米，可得此时水面与的交点坐标，代入平移后的抛物线解析式，整理可得与的关系式．
【解答】解：以点为坐标原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，则点的坐标为．
（1）①由题意得：二次函数的顶点坐标为．
设该二次函数的解析式为：．
经过原点，
．
解得：．
该二次函数的解析式为：．
当时，．
答：护栏的最大高度为1.3米；
（2）①设点的横坐标为，则．
米，坝面的坡比为，
．
点的坐标为．
设的解析式为．
．
解得：．
．
．
解得：（不合题意，舍去），．
当时，．
河水降至离地平面距离为米时，水柱刚好落在坝面上；
②如图，当水柱刚好不落在坝面上时，抛物线向上平移米，水面离地面米．此时水面与的交点为，，设平移后的抛物线解析式为：．
．
．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：若能判断出二次函数的顶点坐标，用顶点式表示出二次函数，求二次函数的解析式比较简便；二次函数上下平移，只改变函数值，上加下减．
40．（2024•建昌县一模）某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图，相关信息如下：
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
（1）求抛物线和抛物线的解析式；
（2）当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留
（3）当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体的深度．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：，把点的坐标代入可得的值，即可求得抛物线的解析式；设抛物线的解析式为：，把点的坐标代入可得的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）根据、、、的坐标可得男士杯中液体深度为时，最上层表面圆的半径为，若女士杯中的液体深度为，那么（1）中求得的函数解析式的纵坐标为9，即可求得的值，也就是女士杯中液体最上层表面圆的半径的平方，两者液体最上层表面圆面积之差，把相关数值代入化简即可；
（3）男士杯子中液体最上层表面圆的半径的平方可分为在点以下和在之间两种情况，进而根据两者液体最上层表面圆面积相差列出方程即可求得相应的的值，减去5即为液体的深度．
【解答】解：（1）点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴，
设抛物线的解析式为：，
将点，代入，得：
，
解得：．
抛物线的解析式为：．
设抛物线的解析式为：，
将点，代入，得：
，
解得：．
抛物线的解析式为：．
答：抛物线的解析式为：；抛物线的解析式为：；
（2）设男士杯中的液体与女士杯中的液体最上层表面圆的半径分别为 ， ，
由题可知，当男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为时，．
在抛物线中：将代入解析式得：
．
．
．
两者液体最上层表面圆面积之差为．
答：两者液体最上层表面圆面积之差为；
（3）设男士杯中的液体与女士杯中的液体最上层表面圆的半径分别为 ， ，
当时，，．
，．
．
．
解得：．
此时深度为：．
当时，时，，
．
．
解得：．
此时深度为：．
综上所述：杯中液体深度为或．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数的对称轴为轴，与轴的交点为，可设所求的二次函数解析式为．在本题中，注意求得和即可，不用特地求出和的值．
41．（2024•余姚市一模）根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1．设的长为 ，则的长为，根据四边形的面积为列出方程求解后进而根据得到和合适的解；
任务2．根据可得和的长度，根据垂直平分可得和的长度，即可判断出点、、的坐标，进而可得点、、的坐标，那么可设抛物线的函数表达式为：，把点的坐标代入可得的值，即可求得抛物线的函数表达式；
任务3．根据平行线分线段成比例定理可得的长度，加上的长度即为的长度，易得的长度，那么长方形的面积，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：任务1．
设的长为 ，则的长为，根据题意得：
．
解得：，．
，
， ．
任务2．
， ，
， ．
点的坐标为，，．
由题意得：点的坐标为，，．
设抛物线的函数表达式为：．
经过点，
．
解得：．
抛物线的函数表达式为：；
任务3．
，
．
．
解得：．
由题意得：，
．
．
长方形纸片的面积．
答：至少选择面积为1200 的长方形纸片．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：对角线互相垂直的四边形的面积对角线的积；抛物线的对称轴为轴，一次项系数为0．
42．（2024•市南区一模）某工厂生产某种玩具的成本价为20元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式同时销售该玩具．电商销售：售价为30元件；门店销售：第一天售价为50元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元，该方式每天还需支付租金、人工等固定费用455元．已知两种销售方式第天的销售数量（件均满足．（1）直接写出门店销售方式每天的售价（元件）与的函数关系式；
（2）该玩具销售过程中，在第几天获得的利润总和（元最大？利润总和最大是多少？
（3）该玩具销售过程中，哪些天门店销售的利润不低于电商销售的利润？
【分析】（1）门店销售方式每天的售价第一天的售价，把相关数值代入化简即可；
（2）利润总和电商销售的利润门店销售的利润电商销售每个玩具的利润销售数量门店销售每个玩具的利润销售数量固定费用，进而根据二次函数的二次项的比例系数，判断出符合实际情况的天数及最大利润总和；
（3）根据门店销售的利润不低于电商销售的利润列出不等式，根据二次函数与不等式的关系判断出相应的天数即可．
【解答】解：（1）；
（2）
．
，
当时，有最大值．
天数为正整数，
该玩具销售过程中，在第30天或第31天时，获得的利润总和（元最大．利润总和最大（元．
答：该玩具销售过程中，在第30天或第31天时，获得的利润总和（元最大，利润总和最大为820元；
（3）．
．
设．
当时，．
．
．
解得，．
如图所示：当时，．
答：第6、7、8、9、10、11、12、13、14、15天时，门店销售的利润不低于电商销售的利润．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数的比例系数小于0，当时，二次函数有最大值．函数值不小于0，看函数图象与轴的交点及轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
43．（2024•新乡一模）数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一．某种植大户对自己的温室大棚进行改造时，先将大门进行了装修，如图2所示，该大门门头示意图由矩形和抛物线形组成，测得，，．以水平线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系．
（1）求此门头抛物线部分的表达式；
（2）改造时，为了加固，要在棚内梁的四等分点，处焊接两排镀锌管支撑大棚，已知定制的每根镀锌管成品长，问是否需要截取，截取多少？
【分析】（1）根据线段的中点定义可得，从而可得点的坐标为，再根据已知易得：顶点的坐标为，然后设此门头抛物线部分的表达式为：，再把代入中进行计算，即可解答．
（2）过点作，交抛物线于点，根据题意可得：，从而可得，然后把代入中，进行计算可求出点的坐标为，从而求出的长，即可解答．
【解答】解：（1）点是的中点，
，
，
点的坐标为，
，
顶点的坐标为，
设此门头抛物线部分的表达式为：，
把代入中得：，
解答：，
此门头抛物线部分的表达式为：；
（2）如图：过点作，交抛物线于点，
由题意得：，
点，是的四等分点，
，
当时，，
点的坐标为：，
，
，
，
需要截取，截取．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
44．（2024•武汉模拟）问题提出
在2024年中考即将到来之际，学校准备开展“百日誓师，指战中考”活动，小星同学对会场进行装饰．
如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．
（1）建立模型如图2，直接写出两墙、的高度，抛物线的顶点坐标；
解决问题
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由待定系数法求出函数表达式，当时，，即可求解；
（3）设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，得到，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为，
则，
解得：；
则抛物线的表达式为：，
则点，即（米，
当时，，
即顶点坐标为：；
（2）设抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
当时，（米，
即点到地面的距离为2.25米；
（3）由题意知，点、纵坐标均为3，则右侧抛物线关于、对称，
则抛物线的顶点的横坐标为：，
则抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
整理得：；
当时，即，
解得：（不合题意的值已舍去）；
当时，
同理可得：，
故的取值范围为：．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值．
45．（2024•海淀区校级模拟）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．
请解决以下问题：
（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
（2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 7.0 米（精确到；
（3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可；
（3）把代入关系式，计算出的值与4.5比较即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米；
根据图象设二次函数的解析式为，
将代入得，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得或（舍去），
所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米，
故答案为：2，；
（3）当时，，
答：游船没有被喷泉淋到的危险．
【点评】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
46．（2024•河南一模）信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千湖之市”．其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶与起拱线相距4米，桥孔宽6米．
（1）若以起拱点为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标．
（2）河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题．额定载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形（如图，当船宽为3米时．①求吃水线上船高约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围．
【分析】（1）易得抛物线经过点，，那么抛物线的对称轴是直线，所以拱顶坐标为，为抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把代入可得的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）①水深2米，桥墩高3米，可得在下方1米．所以把截面矩形放在抛物线的正中间，可得点的横坐标，把横坐标代入（1）中得到的抛物线解析式，可得点的纵坐标，加上起拱线下面的部分可得吃水线上船高约多少米时，可以恰好通过此桥；
（3）涝季水面会再往上升1米，船也向上升1米，那么吃水线上船高就要减少1米．
【解答】解：（1）由题意得：抛物线经过点，，
抛物线的对称轴为．
拱顶的坐标为，为抛物线的顶点．
设抛物线解析式为：．
经过点，
．
解得：．
抛物线的函数表达式为：，顶点坐标为；
（2）①如图，把船放在抛物线的正中间．
水深2米，桥墩高3米，
在起拱线下方1米处．
米，米，
点的横坐标为：．
当时，．
吃水线上船高约为（米．
答：吃水线上船高约为4米；
②涝季水面上升1米，
船也会上升1米．
船高应不超过米．
答：此时吃水线上船高的设计范围应不超过3米．
【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意判断出截面在抛物线中的位置是解决本题的关键．
47．（2024•孝南区一模）园林基地计划投资种植花卉及树木，已知种植树木的利润与投资量成正比例关系，种植花卉的利润与投资量的平方成正比例关系，并根据市场调查与预测，得到了表格中的数据．
（1）请根据表格填空：利润与投资量的函数关系式为 ；
利润与投资量的函数关系式为 ；
（2）如果这个基地计划以6万元资金全部投入种植花卉和树木，设投入种植花卉的金额为万元，种植花卉和树木共获利万元，求出关于的函数关系式，并求该基地至少获得多少利润？基地能获取的最大利润是多少？
（3）若该基地想获利不低于12万，在（2）的条件下，请直接写出投资种植花卉的金额的范围．
【分析】（1）根据题意设、，将表格中数据分别代入求解可得；
（2）由种植花卉万元，则投入种植树木万元，根据“总利润花卉利润树木利润”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可；
（3）根据获利不低于12万，列出方程求解可得．
【解答】解：（1）设，把代入得，
解得，
故利润关于投资量的函数关系式是；
设，把代入得，
解得，
故利润关于投资量的函数关系式是：；
故答案为：，；
（2）因为种植花卉万元，则投入种植树木万元，
，
，，
当时，的最小值是10，
，
当时，随的增大而增大
，
当时，的最大值是18，
答：该基地至少获得10万元利润，他能获取的最大利润是18万元；
（3）由题意得，，
解得或4，
，，
当利润不低于12万元时，的取值范围是或．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．
48．（2024•钦州一模）问题探究
（1）如图1，在菱形中，，，点为边的中点，为边上一点，且，连接、、，求的面积；
问题解决
（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形休闲广场，，米，米．按照规划要求，点、分别在边、上，满足米，连接、、，其中为健身休闲区，其他区域为景观绿化区，为了使绿化面积尽可能大，希望健身休闲区的面积尽可能小，那么按此要求修建的这个健身休闲区是否存在最小面积？若存在，求出最小面积及此时的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交的延长线于点，如何根据即可得出答案；
（2）由题意可知四边形是矩形，设米，则米，米，米，可得，然后化为顶点式即可求得结果．
【解答】解：（1）如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交的延长线于点，
，
在菱形中，，点为边的中点，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
．
（2），
四边形是矩形，
米，米，
设米，则米，米，米，
．
当时，的最小值为750．
按此要求修建的这个健身休闲区存在最小面积，最小面积为750平方米，此时的长为10米．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，割补法求图形面积，特殊角三角函数值的应用和利用二次函数求最值，灵活运用割补法和将的最小值转化为求二次函数的最值是解题关键．
49．（2024•高新区校级二模）如图，某粮仓的横截面由抛物线的一段和矩形构成．以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中，米，米．若抛物线的表达式为，为平行于地面的一排除湿板．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）已知除湿板与地面间的距离为6.8米，若除湿板上方需安装一排与地面平行的隔热板，且隔热板与除湿板相距1.95米，求隔热板的最小长度．
【分析】（1）根据已知易得：点的坐标为，点的坐标为，然后利用待定系数法求函数解析式即可解答；
（2）根据题意可得：隔热板与地面间的距离为8.75米，然后把代入中进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）米，米，
点的坐标为，点的坐标为，
把，代入中得：
，
解得：，
该抛物线的表达式为：；
（2）由题意得：隔热板与地面间的距离（米，
当时，，
解得：，，
（米，
隔热板的最小长度为10米．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
50．（2023•无锡）某景区旅游商店以20元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元，不高于45元．经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元之间的函数关系如图所示．
（1）求关于的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润（销售价格采购价格）销售量】
【分析】（1）由图象可知，分两种情况：当时，当时，分别利用待定系数法求解即可；
（2）设销售利润为元，再根据销售利润（销售价格采购价格）销售量列出与的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）当时，设函数表达式为，
将，代入解析式得，，
解得，
函数表达式为：；
当时，设函数表达式为：，
将，代入解析式得，，
解得，
函数表达式为：，
综上，与的函数表达式为：；
（2）设利润为元，当时，，
在范围内，随着的增大而增大，
当时，取得最大值为400；
当时，，
当时，取得最大值为450；
，
当销售价格为35元时，利润最大为450元．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．
51．（2024•北京一模）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出的值为 11.25 ，直接写出满足的函数关系式： ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则 （填“”“ ”或“” ；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【分析】（1）待定系数法求出解析式，即可；
（2）分别求出两个解析式当时，的值，进行比较即可；
（3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可．
【解答】解：（1）由表格可知，图象过点，，，
，
，
，
解得：，
；
故答案为：11.25，，
，
当时：，
解得：或（不合题意，舍去）；
米；
，
当时：，
解得：或（不合题意，舍去）；
，
，
故答案为：；
（3），
，
，
，
当时，，
，
即她在水面上无法完成此动作，
她当天的比赛不能成功完成此动作．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
52．（2024•唐山一模）为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图2为喷水口喷水的横截面，该喷水口离地竖直高度为．可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其中，．其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，喷水口到绿化带的水平距离为（单位：．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）通过计算求点的坐标；
（3）绿化带右侧（图中点的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围．
【分析】（1）易得上边缘的抛物线顶点的坐标为，用顶点式设出抛物线解析式，把点的坐标代入可得二次项系数的值，即可求得上边缘的抛物线的解析式，取，求得相对应的的正值，求得点的坐标即可求得的长度；
（2）求得点在上边缘的抛物线上的对称点，即可判断出下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移几个单位长度得到的，就能求得下边缘的抛物线解析式，取，求得相对应的的正值，即可求得点的坐标；
（3）要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线恰好经过点；不会淋湿行人，那么上边缘抛物线恰好经过人行道的左边缘，求出相关的的值，即可求得的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点的坐标为．
设上边缘的抛物线解析式为：．
经过点，
．
解得：．
上边缘的抛物线解析式为：．
当时，．
．
解得：，．
点在轴正半轴，
．
喷出水的最大射程长6 ；
（2）点在上边缘抛物线抛物线的对称点的坐标为．
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位长度得到．
下边缘的抛物线解析式为：．
当时，．
解得：，．
点在轴的正半轴，
点的坐标为；
（3）由题意得：点的纵坐标为0.5．
若上边缘抛物线恰好经过点，则．
．
解得：，．
点在第一象限，
．
点的坐标为，．
．
，
．
若上边缘的抛物线恰好经过人行道的左边缘．则：．
．
解得：，．
距离为正数，
．
的取值范围为：．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数左右平移，只改变自变量的值，左加右减．第三问理解“喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人”与二次函数的关系是解决本题的难点．
53．（2024•广平县模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围．
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标；
（3）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得，（舍去），
喷出水的最大射程为；
（2）对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
点的坐标为；
（3），
点的纵坐标为0.5，
，
解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述，的取值范围是．
【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
54．（2024•驻马店一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
【解答】解：（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
（2）根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
△，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点评】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
55．（2024•梁溪区校级模拟）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品每千克生产成本（单位：元）与产量（单位：之间的函数关系；线段表示该产品销售价（单位：元）与产量（单位：之间的函数关系，已知，．
（1）求线段所表示的与之间的函数表达式；
（2）若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）若，该产品获得的利润最大利润是 1200元 ．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）先求出时，与之间的函数关系式，再根据：总利润销售量（售价成本）列出函数关系式，配方后根据二次函数性质可得其最值情况；
（3）用含的式子表示出与之间的函数关系式，根据：总利润销售量（售价成本）列出函数关系式，再结合判断其最值情况．
【解答】解：（1）设线段所表示的与之间的函数关系式为，
根据题意，得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）若，设与之间的函数关系式为，
根据题意，得：，
解得：，
这个函数的表达式为：，
设产量为时，获得的利润为元，根据题意，得：
，
当时，取得最大值，最大值为1350，
答：若，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润是1350元；
（3）设，由题意得：，解得：，
这个函数的表达式为：，
，
，
，，
，即该抛物线对称轴在轴左侧，
当时，随的增大而增大，
当时，的值最大，元．
时，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润为1200元．
故答案为：1200元．
【点评】本题主要考查待定系数求一次函数解析式及二次函数的实际应用能力，根据相等关系列出函数关系式，熟练根据二次函数的性质判断函数的最值情况是解题的关键．
56．（2024•西城区校级模拟）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米，下面的表中记录了与的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为米，则 1.5 ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
【分析】（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象即可得出结论；
（3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：
（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为，此时最高，
即，
故答案为：1.5；
（3）根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，得，
抛物线的解析式为：，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于，
，
解得，
水管高度至少向上调节米，
（米，
公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到米才能符合要求．
【点评】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
57．（2024•海淀区校级模拟）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在下面网格（图中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为米，则 1.5 ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
【分析】（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象即可得出结论；
（3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：
（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为，此时最高，
即，
故答案为：1.5．
（3）根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，得，
抛物线的解析式为：，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于，
，
解得，
水管高度至少向上调节1.6米，
（米，
公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求．
【点评】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
58．（2023•贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为，待定系数法求解即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接交于点，则点即为所求；
（3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得的取值范围即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，
把点代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）作点关于轴的对称点，连接交于点，则点即为所求；
把代入，得：
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
，
令，得，
点的坐标为；
（3），
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，得：
，
解得：，
，
当时，
由，得：
，
，
解得：，
；
由，得：
，
，
；
当时，都成立；
当时，得：
，
解得：，
都成立；
综上所述，的取值范围为．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
59．（2024•东湖区校级模拟）综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系．
（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离与竖直高度的几组数据如表：
根据上述数据，求出关于的关系式；
（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点到入水点的水平距离的长；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点到水面的高度为，从到达到最高点开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作．
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成动作，则的取值范围是 ．
【分析】（1）设二次函数的关系为，代入，，，算出、、的值，即可得到函数表达式；
（2）把代入，即可求出结果；
（3）①把二次函数整理为，得，把代入，计算的值，再与1.6比较即可得到结果；
②求得顶点为，得，把代入，得，由，列不等式即可求出的取值范围．
【解答】（1）解：由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系，
设二次函数的关系为，
代入，，，
得，
解得，
关于的关系式为；
（2）把代入，
得，
解得，（不合题意，舍去），
运动员甲从起点到入水点的水平距离的长为2米；
（3）①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下：
由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为，
整理得，
得运动员甲起跳后达到最高点到水面的高度为，即，
把代入，
得，
解得，（不合题意，舍去），
，
运动员甲不能成功完成此动作；
②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为，
得顶点为，
得，
得，
把代入，
得，
由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的动作，得，
则，即，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，本题的关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质解题．
60．（2024•雁塔区校级三模）已知四边形为一块板材，，，米，米，现需从中裁剪一个等腰三角形零件，，其中顶点、、分别在边、及上．
（1）如图1，若剪裁要求，当点与点重合时，求的长；
（2）如图2，若剪裁要求，为了节省材料，能否裁出一个面积最小的等腰？若能裁出，请求出面积的最小值；若不能裁出，请说明理由．
【分析】（1）设长米，作于点，证明，可得米，米，根据，可得长米，进而根据长41米列出方程即可求得的值，也就是的长；
（2）延长、交于点，作交于点，于点，交于点．根据的长度可得的长度，进而可得的长度为42米．类比（1）可得，那么，．设，，则，根据的长度为42米列出方程，整理后用表示出．作于点，用表示出，的长，根据勾股定理可得，作于点，根据的三角函数值可得，进而表示出的面积，求出最小值即可．
【解答】解：（1）设长米，过点作于点．
．
．
，
．
．
，
．
又，
．
（米，（米．
，
（米．
米，
．
解得：．
的长为米；
（2）
延长、交于点，作交于点，于点，交于点．
．
，，
，，．
是等边三角形，．
，．
，．
．
，
．
．
又，
．
，．
设，．
．
，
．
米，
（米．
（米．
．
．
米．
作于点．
．
（米．
（米，米．
．
作于点．
．
，
．
．
．
当时，最小，最小值为：（平方米）．
答：为了节省材料，能裁出一个面积最小的等腰，面积的最小值为平方米．
【点评】本题综合考查二次函数的应用．用未知数表示出等腰三角形的腰长和腰上的高是解决本题第二问的关键．
（秒
0
4
8
12
16
20
24
（米
256
196
144
100
64
36
16
售价（元盆）
日销售量（盆
20
50
30
30
18
54
22
46
26
38
售价（元盆）
18




日销售量（盆





售价（元盆）
18
20
22
26
30
日销售量（盆
54
50
46
38
30
第天为整数）
日销售价（元件）
40
0
2
6
10
12
14
16
0
0.88
2.16
2.80
2.88
2.80
2.56
矩形种植园最大面积探究
情境
实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种值园的面积为．

分析
要探究面积的最大值，首先应将另一边用含的代数式表示，从而得到关于的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究
思考一：将墙的一部分用来替代篱笆
按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）
思考二：将墙的全部用来替代篱笆
按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）
解决问题
（1）根据分析，分别求出两种方案中的的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少．
类比应用
（2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）．
设计小区大门灯笼的悬挂方案
素材1
图1是某小区的正门，图2是正门的示意图，小航查阅相关资料获得以下信息：①正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，②矩形的宽为，高为，抛物线形拱的高为．

素材2
为迎接龙年春节，拟在图1正门抛物线形拱上悬挂直径为的灯笼，如图3．为了美观，要求悬挂灯笼的数量为双数，且平均分布，间隔在之间．

问题解决
任务1
确定抛物线形拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂数量
给出符合所有悬挂条件的灯笼数量．
任务3
拟定设计方案
根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
飞行时间
0
2
4
6
8
飞行高度
0
10
16
18
16
售价（元件）
55
65
销售量（件天）
90
70
素材
内容
素材1
如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分：
杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2
图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段，，抛物线（实线部分），线段，线段绕轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形．
素材3
已知，图2坐标系中，，记为，，，，，，，，．
如何制作简易风筝？
素材1
图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段，作为骨架，垂直平分且，并按的比例固定骨架，骨架与共消耗竹条，四边形的面积为．

素材2
考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．如图2，现以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离，，三点分别为，，的，，三点绘制抛物线（建立如图的直角坐标系）．以下部分的蒙面设计为，点在延长线上且．
素材3
从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），长方形各边均与骨架平行（或垂直）．
问题解决
任务1
确定骨架长度
求骨架和的长度．
任务2
确定蒙面形状
求抛物线的函数表达式．
任务3
选择纸张大小
至少选择面积为多少的长方形纸片？
（米
0
1
2
3
4
（米
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
投资量（万元）
2
种植树木利润（万元）
4
种植花卉利润（万元）
2
水平距离
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度
10
10
10
6.25
（米
0
1
2
3
4
（米
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
（米
0
1
2
3
4
（米
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
水平距离
0
1
1.5
竖直高度
10
10
6.25