全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 20实际应用之区间顶点最值（含答案解析版）

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（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）．
∴．
解得：．
∴y＝﹣2x+80；
（2）设日销售利润为w元．
w＝（x﹣10）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+100x﹣800
＝﹣2（x2﹣50x+625）﹣800+1250
＝﹣2（x﹣25）2+450．
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）w＝（x﹣10﹣m）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+（100+2m）x﹣800﹣80m．
∵最大利润为392元，
∴＝392．
整理得：m2﹣60m+116＝0．
（m﹣2）（m﹣58）＝0．
解得：m1＝2，m2＝58．
当m＝58时，x＝﹣＝54，
∴每盒糖果的利润＝54﹣10﹣58＝﹣14（元）．
∴舍去．
答：m＝2．
例2【图象型】 3.（2024•温江区校级自主招生）某商场购进一批衣服，每件的进价为80元，出于营销考虑，要求每件衣服的售价不低于80元且不高于150元，在销售过程中发现该衣服每周的销售量y（件）与每件衣服的售价x（元）之间满足的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式及x的取值范围；
（2）若商场每周销售该衣服获得的利润为1100元，则每件衣服的售价是多少元？
（3）设该商场每周销售这种衣服所获得的利润为w元，则将该衣服的销售单价定为多少元时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设函数关系式为：y＝kx+b，
代入坐标（50，150），（100，100），得
，
解得，
即y关于x的函数关系式为y＝﹣x+200（80≤x≤150）；
（2）根据题意有：y×（x﹣80）＝（﹣x+200）（x﹣80）＝1100，
方程整理得x2﹣280x+17100＝0，
解得x＝90，或x＝190（舍去），
答：每件衣服的售价为90元；
（3）根据题意，有：w＝y×（x﹣80）
＝（﹣x+200）（x﹣80），
整理，得w＝﹣x2+280x﹣16000，
化为顶点式为：w＝﹣（x﹣140）2+3600，
∵﹣1＜0，80≤x≤150，
∴二次函数w＝﹣x2+280x﹣16000有最大值，且当x＝140时，取最大值，
即w最大＝3600，
即当售价为140元每件时，才能获得最大利润，最大利润为3600元．
对应练习：
1.水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果的售价降低0.1元，每天可多售出5千克，张阿姨决定降价销售．
（1）若这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量是 （100+50x） 千克（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利150元，张阿姨需将每千克的售价降低多少元？
（3）求张阿姨每天盈利y（元）与每千克售价a（元）之间的函数关系式，并求出每千克售价多少元时，每天盈利最大？
【解答】解：（1）∵这种水果的售价降低0.1元，每天可多售出5千克，
∴若这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量＝100+×5＝（100+50x）千克．
故答案为：（100+50x）；
（2）设这种水果每千克的售价降低m元，则每千克的销售利润为（4﹣m﹣2）＝（2﹣m）元，每天的销售量为（100+50m）千克，
依题意得：（2﹣m）（100+50m）＝150，
整理得：m2﹣1＝0，
解得：m1＝1，m2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：张阿姨需将每千克的售价降低1元；
（3）依题意得：y＝（a﹣2）（100+×5）＝﹣50a2+400a﹣600（2≤a≤4）．
y＝﹣50a2+400a﹣600＝﹣50（a﹣4）2+200，
∵﹣50＜0，
∴当a＝4时，y取得最大值，最大值为200．
∴当每千克售价为4元时，每天盈利最大．
2.某商场购进一批单价为10元的日用品，若按每件20元的价格销售，每月能卖出20件，若按每件30元的价格销售，每月能卖出10件．假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数．
（1）试求y与x之间的函数关系．
（2）在不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
3．（2024秋•武鸣区期中）江南的丝绸以其质地细腻、工艺精湛而闻名．现有一种丝绸制成的丝巾，每条成本50元，出于营销考虑，要求每条丝巾的售价不低于60元且不高于110元，销售一段时间发现，每天的销售数量y（条）与销售单价x（元/条）满足一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）请求出y与x的函数解析式；
（2）设该店每天销售丝巾所获得的利润为w元．写出w与x的函数解析式；
（3）将该商品销售单价定为多少元时，才能使得当天所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
∵经过（70，80），（90，40），
∴，
解得：，
∴y＝﹣2x+220（60≤x≤110）；
（2）w＝（x﹣50）（﹣2x+220）
＝﹣2x2+320x﹣11000；
（3）∵﹣2＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
∵60≤x≤110，抛物线的对称轴为直线：x＝﹣＝80，
∴当x＝80时，w最大，w最大＝30×60＝1800．
答：将该商品销售单价定为80元时，才能使得当天所获利润最大，最大利润是1800元．
4．（2024秋•北辰区期中）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件．销售价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．
（1）当销售价为每件60元时，月销量为 400 件，月销售利润为 8000 元：
（2）求y与x的函数关系式，w与x的函数关系式，写出x的取值范围；
（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【解答】解：（1）一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件．销售价每涨1元，月销售量就减少10件．当销售价为每件60元时，得：
月销量为500﹣（60﹣50）×10＝400（件），
月销售利润为（60﹣40）×400＝8000（元），
故答案为：400，8000；
（2）由题意可得：y＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，
∴﹣10x+1000＞0，
解得：x＜100，
∴50≤x＜100，
∴w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+1000（50≤x＜100），
w与x的函数关系式为w＝﹣10x2+1400x﹣40000（50≤x＜100）；
（3）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000（50≤x＜100），
∴当x＝70时，w最大，最大值为9000，
∴当销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元．
5．（2024秋•钢城区期中）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为80元的“吉祥龙”公仔，由于销售火爆，公仔的销售单价一直上涨到每个125元，此时每天可售出75个．物价部门规定，商品利润不得超过进价的50%，同时市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．
（1）设这种“吉祥龙”公仔的销售单价为x元，销售量为y个，求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）那么销售单价应降低多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）由题意得：y＝75+5（125﹣x）＝﹣5x+700，
∵商品利润不得超过进价的50%，
即x≤（1+50%）×80＝120，
故y＝﹣5x+700（x≤120）；
（2）设每天所获销售利润为w元，x≤120，
则w＝y（x﹣80）＝（﹣5x+700）（x﹣80）＝﹣5（x﹣110）2+4500≤4500，
即当x＝110元（降低了15元）每天所获销售利润最大，最大利润是4500元，
即单价降低15元时，每天所获销售利润最大，最大利润是4500元．
6．（2024秋•丰台区校级期中）2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系：
y＝﹣2x+180（30≤x≤50）．
（1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为w（元），则w与x的函数关系式为 w＝﹣2x2+240x﹣5400 ；
（2）求当销售单价为多少元时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）该网店每周销售该礼盒所获利润为w＝（x﹣30）（﹣2x+180），
∴w＝﹣2x2+240x﹣5400．
故答案为：w＝﹣2x2+240x﹣5400．
（2）由题意，∵w＝﹣2x2+240x﹣5400＝﹣2（x2﹣120x+3600）+1800＝﹣2（x﹣60）2+1800，
又30≤x≤50，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝60，
∴当x＝50时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大＝﹣2 （50﹣60）2+1800＝1600（元）．
7．（2024秋•北京期中）我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒售价为每盒x元（x≥100），每小时的销售利润为w元．
（1）求w关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？
（3）当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润．
【解答】解：（1）由题意得，y＝40+2（150﹣x）即y＝340﹣2x（100≤x＜150），
∴w＝（x﹣100）（340﹣2x）即w＝﹣2x2+540x﹣3400（100≤x＜150）
（2）由题意得，（x﹣100）（340﹣2x）＝2400，
整理得x2﹣270x+18200＝0，
解得x1＝140，x2＝130，
∵要让利顾客，
∴x＝130，
答：销售价应定为每件130元；
（3）w＝（x﹣100）（340﹣2x）
＝340x﹣34000﹣2x2+200x
＝﹣2x2+540x﹣34000
＝﹣2（x﹣135）2+2450（100≤x＜150）
∵﹣2＜0，
∴当x＝135时，w有最大值，w最大＝2450，
答：销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元．
8．（2024秋•昆明期中）“秋风响，蟹脚痒”，秋风送爽之时，正是蟹肥膏红之日．某品牌大闸蟹的进价为每只20元，售价为每只30元，每天可卖出180只．商家决定采取适当的涨价措施，经调查发现：如果每只大闸蟹的售价每上涨1元，则每天就会少卖出10只，但每只售价不能高于35元．设每只大闸蟹的售价上涨x元，每天的销售总利润为y元．
（1）用含x的式子表示：涨价后每只大闸蟹的利润是 （10+x） 元，每天的销售量为 （180﹣10x） 只；
（2）写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（3）每只大闸蟹的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）涨价后每只大闸蟹的利润＝（30+x）﹣20＝（10+x）元，每天的销售量为（180﹣10x）只，
故答案为：（10+x），（180﹣10x）；
（2）y＝（10+x）（180﹣10x）
＝1800﹣100x+180x﹣10x2
＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5）；
（3）∵﹣10＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
∴当x＝﹣＝4时，y最大，
∵0≤x≤5，
∴当x＝4时，y最大＝14×140＝1960（元），
∴每只大闸蟹的售价为34元时，每天可获得最大利润，最大利润是1960元．
答：每只大闸蟹的售价为34元时，每天可获得最大利润，最大利润是1960元．
9．（2024秋•河东区期中）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元，则每件商品利润 （20﹣x） 元，每星期可售出 （300+2x） 件；（用含x的代数式表示）
（2）若每星期售出商品的利润为y元，则y与x的函数关系式 y＝﹣20x2+100x+6000 ；
（3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设每件降价x元，则每件商品利润为：60﹣x﹣40＝20﹣x（元），每星期可售出：（300+20x）件，
故答案为：（20﹣x）；（300+20x）；
（2）y＝（20﹣x）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000．
因为降价要确保盈利，所以40＜60﹣x≤60（或40＜60﹣x＜60也可）．
解得0≤x＜20；
故答案为：y＝﹣20x2+100x+6000；
（3）当x＝﹣＝﹣＝2.5元时，y有最大值，y＝＝6125元，
即当降价2.5元时，利润最大且为6125元．
10．（2024秋•西岗区期中）某果农销售每箱成本为40元的红富士苹果，市场调查发现，若每箱以60元的价格销售，平均每天销售20箱，若每箱苹果售价每降低5元，平均每天多销售10箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）每箱苹果的销售价为多少元时，该果农每天获得利润最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1），
∴平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y＝140﹣2x（40＜x≤60）；
（2）设该果农每天获得的利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣40）•y＝（x﹣40）（140﹣2x）＝﹣2x2+220x﹣5600＝﹣2（x﹣55）2+450，
∵﹣2＜0，
∴w有最大值，
当x＝55时，w有最大值为450元．
答：每箱苹果售价为55元时，该果农每天获得利润最大，最大利润为450元．
11．（2024秋•江夏区校级期中）某超市销售一种成本为20元/件的商品，若某个月的第x天（x为整数）的售价与销量的相关信息如下表所示：
设销售该商品的日销售利润为y元．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？
（3）如果超市每销售一件商品，就捐赠m元给希望工程，若仅在第15天销售利润额达到最大值，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（80﹣x﹣20）（40+4x）＝﹣4x2+200x+2400，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣4x2+200x+2400；
（2）y＝﹣4x2+200x+2400＝﹣4（x﹣25）2+4900，
∵﹣4＜0，1≤x≤30，
∴抛物线开口向下，
当x＝25时，y取得最大值为4900，
∴销售该商品第25天时，日销售利润最大，最大日销售利润4900元；
（3）设捐赠后的销售利润为y′元，
由题意得：y′＝﹣4x2+200x+2400﹣m（40+4x）＝﹣4x2+（200﹣4m）x+2400﹣40m，
∴对称轴为直线x＝﹣＝25﹣，
∵仅在第15天销售利润额达到最大值，
∴14.5＜25﹣m＜15.5，
解得19＜m＜21．
∴m的取值范围为19＜m＜21．
12．（2024秋•工业园区校级期中）某商品零售店预售2025年亚洲冬季运动会吉祥物．该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元，每天销售吉祥物的利润为W元．
（1）求出W与x的函数关系式；
（2）该零售店如何定价，才能使得每天的利润W最大，并求出最大利润．
【解答】解：（1）由题意，∵售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个，
∴每天销售吉祥物的利润为W＝（50﹣x﹣30）（100+10x）＝﹣10（x﹣5）2+2250（0＜x≤20）；
（2）由题意，∵W＝﹣10（x﹣5）2+2250，且﹣10＜0，
∴当x＝5时，W有最大值，且最大值为2250，此时定价为：50﹣5＝45（元）．
13．（2024秋•浏阳市期中）某宾馆有80个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加5元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得40元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出30元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有x间且全部用于出租储存货物．
（1）用含x的式子表示下列各量：
①供游客居住的房间数是 （80﹣x） 间；
②每个房间每天的定价是 （200+5x） 元；
③该宾馆每天的总利润w是 [（80﹣x）（200+5x﹣30）+40x]或化简为（﹣5x2+270x+13600） 元；
（2）若游客居住每天带来的那部分总利润为12600元时，求空闲房间每天储存货物获得的总利润是多少元？
（3）该宾馆计划接受100吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天的总利润w最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）①有80个房间供游客居住，空闲房间有x间，则供游客居住的房间数是（80﹣x）间；
②空闲房间有x间，则每个房间每天的定价每增加5x元，故每个房间每天的定价是（200+5x）元；
③空闲房间有x间，则空闲房间每天储存货物可获得40x元的利润，游客居住房间每个房间每天可获得（200+5x﹣30）元的利润，故该宾馆每天的总利润w是[（80﹣x）（200+5x﹣30）+40x]＝﹣5x2+270x+13600元；
故答案为：①（80﹣x）；②（200+5x）；③[（80﹣x）（200+5x﹣30）+40x]或化简为（﹣5x2+270x+13600）．
（2）游客居住每天带来的那部分总利润为（80﹣x）（200+5x﹣30）＝﹣5x2+230x+13600＝12600，
解得：x1＝50，x2＝﹣4（舍），
∴空闲房间每天储存货物获得的总利润是40×50＝2000元．
（3）∵该宾馆计划接受100吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，且宾馆有80个房间供游客居住，
故3x≥100，且x≤80，
故x的取值范围为，
由（1）得w＝﹣5x2+270x+13600＝﹣5（x﹣27）2+17245，
∵﹣5＜0，且二次函数对称轴为x＝27，
∴当（x为整数）时，w随x的增大而减小，
∴当x＝34时，w最大，最大值为﹣5×（34﹣27）2+17245＝17000，
此时，每间房价定价为200+5×34＝370元，宾馆每天的总利润最大为17000元．销售单价x/元
…
12
14
16
18
20
…
销售量y/盒
…
56
52
48
44
40
…
销售单价x（元/条）
…
70
90
100
…
每天销售数量y（条）
…
80
40
20
…
第x天
售价（元/件）
日销售量（件）
1≤x≤30
80﹣x
40+4x