全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 24实际应用之面积问题（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 24实际应用之面积问题（含答案解析版），共23页。试卷主要包含了，养殖场的总面积为ym2等内容，欢迎下载使用。
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
（3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，AE＝HG＝AD＝x m，
DC＝AB＝（200﹣x）＝（100﹣x）m，
故y＝x（100﹣x）＝﹣x2+100x，
自变量x的取值范围为：28≤x＜80；
（2）由题意可得：
∵y＝﹣x2+100x＝﹣（ x2﹣80x）＝﹣（ x﹣40）2+2000，
又∵28≤x＜80，
∴当x＝40时，y有最大值，最大值为2000平方米；
（3）由题意得，S矩形EAGH＝AG•AE＝（100﹣x）x＝﹣x2+25x，S矩形DEFC＝DC•DE＝（100﹣x）•x＝﹣x2+50x，
设安装成本为w元，则w＝40（﹣x2+25x）+20（﹣x2+50x）＝﹣25x2+2000x，
令w＝30000，则﹣25x2+2000x＝30000，
解得x＝60或20，
∵28≤x＜80，
∴60≤x＜80时，安装成本不超过30000元．
对应练习：
1.（2023秋•宁津县期末）如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），菜园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为39m．（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，说明理由．
（2）因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．
【解答】解：（1）设AB的长为x m，则BC的长为（60﹣3x）m，
根据题意得：x（60﹣3x）＝252，
解得x＝6或x＝14，
当x＝6时，BC＝60﹣18＝42＞39，舍去；
当x＝14时，BC＝60﹣42＝18＜39，满足题意，
∴花园面积可能是252m2，此时边AB长为14m；
（2）设AB的长为x m，菜园面积为y m2，
由题意得：y＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x＝﹣3（x﹣10）2+300，
∵﹣3＜0，
∴当x＜10时，y随x的增大而增大，
∵x≤8，
∴当x＝8时，y最大，最大值为288．
答：该菜园面积的最大值为288平方米．
2．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线ABC表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF（细线表示篱笆，小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段BA的延长线上（如图2），点E在线段BC的延长线上．
（1）当点D在线段AB上时，
①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；
（2）当点D在线段BA延长线上，DF为多少时，小型农场DBEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
【解答】解：（1）①设DF的长为x米，
∵点D在线段AB上，
∴EF＝14﹣2x﹣（x﹣1）＝（15﹣3x）米，
∵AB＝3，
∴EF≤3，即15﹣3x≤3，
∴x≥4；
②设DF的长为x米，根据题意得：
x（15﹣3x）＝12，
解得：x1＝4，x2＝1（此时点D不在线段AB上，舍去），
∴x＝4，
答：小型农场的长DF为4米；
（2）设小型农场DBEF的面积为S，DF的长为x米，
点D在线段BA的延长线上，此时x＜4，
则S＝（15﹣3x+3）x＝﹣x2+9x＝﹣（x﹣3）2+，
∵a＝﹣＜0，3＜4，
∴x＝3时，S有最大值，S最大值＝，
∴x＝3时，S最大值＝（平方米）；
∴小型农场的宽DF为3米时，小型农场DBEF的面积最大，最大面积为平方米．
3．（2024春•宝安区校级月考）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 x2﹣60x+800 m2，花卉B的种植面积是 ﹣x2+30x m2，花卉C的种植面积是 ﹣x2+20x m2，
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
【解答】解：（1）根据题意可知：
花卉A的种植面积是：（40﹣x）（20﹣x）＝（x2﹣60x+800）m2；
花卉B的种植面积是：（40﹣10﹣x）x＝（﹣x2+30x）m2；
花卉C的种植面积是：x（20﹣x）＝（﹣x2+20x）m2；
故答案为：x2﹣60x+800；﹣x2+30x；﹣x2+20x．
（2）∵A，B两种种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种种花卉的总产值分别是2（x2﹣60x+800）百元、3×（﹣x2+30x）百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴2（x2﹣60x+800）＝3×（﹣x2+30x），
解得：x＝32（舍去）或x＝10，
∴育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等．
4．（2024•项城市模拟）如图是某校田径运动场的示意图，其中AB和CD为直线跑道，两端为半圆形跑道．
（1）如果田径运动场的总长为400m，其中AB＝CD＝100m，试计算矩形ABCD内部操场的面积．
（2）①如果田径运动场的总长为300m，要使矩形ABCD内部操场的面积最大，直线跑道应设计为多长？操场的最大面积是多少？
②小明测量发现，学校田径运动场的总长为300m，直线跑道AB＝CD＝50m，请判断这与①中的计算结果是否一致，并给出一种可能的原因．
【解答】解：（1）∵田径运动场的总长为400m，其中AB＝CD＝100m，
∴两个半圆的周长为：400﹣2×100＝200（m），
∴直径AD＝（m），
∴矩形ABCD内部操场的面积：100×＝（m2），
答：矩形ABCD内部操场的面积为m2．
（2）①设AB＝CD＝x米，则AD＝（m），
∴操场的面积是：x＝（﹣x2+150），
当x＝﹣＝75时，操场的面积最大，
即75××75＝（m2），
因此，直线跑道应设计为75米时，操场的面积最大，为平方米，
答：直线跑道应设计为75米时，操场的面积最大，为平方米．
②计算结果与①中的计算结果不一致．原因不唯一，合理即可．如：受实际场地限制，或为了方便展开50米赛跑．
5．（2024春•西安期中）如图是某学校操场一角，在长为（3a+5b）米，宽为（4a﹣b）米的长方形场地中间，有并排两个大小一样的篮球场，两个篮球场中间以及篮球场与长方形场地边沿的距离都为b米．
（1）求这两个篮球场的占地面积；
（2）若篮球场每平方米造价为200元，其余场地每平方米造价50元，求整个长方形场地的造价．
【解答】解：（1）（3a+5b﹣3b）（4a﹣b﹣2b）
＝（3a+2b）（4a﹣3b）
＝（12a2﹣ab﹣6b2）平方米．
故这两个篮球场的占地面积是（12a2﹣ab﹣6b2）平方米；
（2）（3a+5b）（4a﹣b）＝（12a2+17ab﹣5b2）平方米，
（12a2+17ab﹣5b2）﹣（12a2﹣ab﹣6b2）
＝12a2+17ab﹣5b2﹣12a2+ab+6b2
＝（18ab+b2）平方米，
200（12a2﹣ab﹣6b2）+50（18ab+b2）
＝2400a2﹣200ab﹣1200b2+900ab+50b2
＝（2400a2+700ab﹣1150b2）元．
故整个长方形场地的造价（2400a2+700ab﹣1150b2）元．
6．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
【解答】解：（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
y＝2×（EH+AD）×20x+2×（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；
（2）EF＝（20﹣2x）米，EH＝（30﹣2x）米，
参考（1），由题意得：y＝（30+30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；
（3）S甲＝2×（EH+AD）×x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，
故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000，
∵﹣400＜0，
∴随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
7．（2024秋•杭州期中）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图），养殖场的总面积为ym2．
（1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【解答】解：（1）由题意，∵较小矩形的宽为x m，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，
∴较大矩形的宽为2x m．
∴矩形养殖场的长为3x m，矩形养殖场的宽为（24﹣3x） m＝（8﹣x） m．
∴养殖场的总面积为y＝3x（8﹣x）＝﹣3x2+24x．
∵墙的长度为10，
∴0＜3x≤10，
∴0＜x≤．
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣3x2+24x（0＜x≤）．
（2）由题意，∵y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∴当x＜4时，y随x的增大而增大．
又∵0＜x≤，
∴当x＝时，y取最大值，最大值为：﹣3（﹣4）2+48＝．
答：当x为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
8.（2024秋•长乐区期中）如图，郑老师准备在学校劳动基地，利用围墙MN和60m长的篱笆围成一个长方形菜园ABCD，菜园的一边AD靠墙不用篱笆，一边AB的长为n米．
（1）用代数式表示长方形类园ABCD的面积；
（2）再自主选择m的3个不同取值，并计算长方形的面积，补充完成下表：
（3）猜想当n取什么值时，长方形菜园ABCD的面积最大？最大值是多少？
【解答】解：（1）根据题意，得BC＝60﹣2n，
∴长方形菜园ABCD的面积为 n（60﹣2n）m2．
（2）由题意，当n＝20时，长方形的面积为400；当n＝15时，长方形的面积为450；当n＝10时，长方形的面积为400；（答案不唯一）
故答案为：20，400；15，450；10，400．（答案不唯一）
（3）由题意，长方形菜园ABCD的面积＝n（60﹣2n）＝﹣2n2+60n＝﹣2（n﹣15）2+450，
∴当n＝15时，长方形菜园ABCD的面积最大．
答：当n＝15时，长方形菜园ABCD的面积最大，最大面积是 450m2．
9．（2024秋•市南区校级月考）阅读材料：我们都知道a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
于是，﹣2x2+40x+5＝﹣2（x2﹣20x）+5
＝﹣2（x2﹣2•x•10+102﹣102）+5
＝﹣2[（x﹣10）2﹣100]+5
＝﹣2（x﹣10）2+205．
又因为a2≥0，所以，（x﹣10）2≥0，﹣2（x﹣10）2≤0，﹣2（x﹣10）2+205≤205．
所以，﹣2x2+40x+5有最大值205．
如图，某农户准备用长34米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG．设AB＝x米．
（1）请用含x的代数式表示BC的长 32﹣2x （直接写出结果）；
（2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，①请用含x的代数式直接表示出S：S＝ ﹣2x2+32x﹣1 ；
②山羊的活动范围的面积S能否达到95平方米？能，就求出x的值，不能请说明理由．
（3）求出山羊活动范围面积S的最大值．
【解答】解：（1）依题意得AB＝DC＝x，EF＝FG＝1
∵AB+DC+BC+EF+FG＝34，
∴2x+BC+2＝34，
∴BC＝32﹣2x；
故答案为：32﹣2x；
（2）①依题意得：S＝S长方形ABCD﹣S正方形CEFG，
S＝x（32﹣2x）﹣1，
S＝﹣2x2+32x﹣1．
故答案为：﹣2x2+32x﹣1；
②能．
当S＝95时，﹣2x2+32x﹣1＝95，
∴x2﹣16x+48＝0，
解得x＝4或12；
（3）S＝﹣2x2+32x﹣1
＝﹣2（x2﹣16x+64）+127
＝﹣2（x﹣8）2+127
又因为﹣2＜0，
所以，（x﹣8）2≥0，﹣2（x﹣8）2≤0，﹣2（x﹣8）2+127≤127，
所以，山羊活动范围ABGFE面积S的最大值是127平方米．
10．（2024秋•无锡期中）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m．求当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？并写出最大值为多少．
【解答】解：设矩形养殖场的总面积是y m2，
∵较小矩形的宽为x m，
较大矩形的宽为2x m，长为＝（8﹣x）m，
∵墙的长度为13m，
∴0＜x≤，
根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当x＝4时，y取最大值，最大值为48，
答：当x＝4时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为48m2．
11．（2024秋•工业园区期中）如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边AB的长为x米，平行于墙的边BC长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米．
（1）当x＝10米时，y＝ 40 米，S＝ 400 平方米；
（2）求S与x之间的函数表达式；
（3）围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得：当x＝10米时，y＝60﹣2x＝60﹣2×10＝40（米），S＝xy＝10×40＝400（平方米）．
故答案为：40，400；
（2）根据题意得：S＝xy＝x（60﹣2x），
∴S＝﹣2x2+60x．
∵，
∴9≤x＜30，
∴S与x之间的函数表达式为S＝﹣2x2+60x（9≤x＜30）；
（3）S＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝15时，S取得最大值，最大值为450，
∴围成的矩形花圃存在最大面积，这个最大面积是450平方米，此时x的值为15．
12．（2024秋•东莞市期中）如图，若篱笆（虚线部分）的长度为16m，当所围成矩形ABCD的面积是60m2时（墙足够长）．
（1）求矩形的长是多少？
（2）当矩形的长是多少矩形的面积w有最大值？最大值是多少？
【解答】解：（1）设矩形的一条边长为xm，则另一条边长为（16﹣x）m，
由题意得：x（16﹣x）＝60，
解得：x1＝6，x2＝10，
∴16﹣x＝10或6．
∵6＜10，
∴矩形的长为10m．
答：矩形的长是10m．
（2）根据题意，得：w＝x（16﹣x）＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣8）2+64，
∵a＝﹣1＜0，
∴w有最大值，
∴当x＝8时，w取得最大值64，
答：当矩形的长是8m时，矩形的面积w有最大值，最大值是64m2．
13．（2024秋•蜀山区校级期中）如图，用长为12m的铝合金材料做一个如图所示的窗框AEFD（不包含BC、GH），其中三个S1＝S2＝S3．
（1）若AB＝x m，用含有x的式子表示AE的长，并求出x的取值范围；
（2）求窗框AEFD的面积y关于x的解析式，并求出面积的最大值．
【解答】解：（1）∵S2＝S3，
∴BG＝CG＝BC，
设BG＝b m，则BC＝2b m，
∵S2＝S1，
∴BE•b＝x•2b，
∴BE＝2x，
∴AE＝AB+BE＝x+2x＝3x（m）；
∵3×2x+2x＝8x＜12，
解得x＜，
∴x的取值范围为0＜x＜；
由（1）知，AE+DF+GH＝3x+3x+2x＝8x，
∴AD＝＝4﹣x，
∴y＝AD•AE＝（4﹣x）•3x＝﹣8x2+12x＝﹣8（x﹣）2+，
∵﹣8＜0，
∴当x＝时，y有最大值，此时最大值为m2．
∴y关于x的解析式为y＝﹣8x2+12x，面积的最大值为m2．
14．（2024秋•河西区期中）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤a，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了20米木栏．
（Ⅰ）若a＝5米，所围成的矩形菜园的面积为32平方米，求利用旧墙AD的长；
（Ⅱ）若a＝12米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【解答】解：（1）设AB＝x米，则BC＝（20﹣2x）米，由题意得：
x（20﹣2x）＝32，
解得：x1＝2，x2＝8，
当x＝2时，20﹣2x＝16＞5，不合题意舍去；
当x＝8时，20﹣2x＝4＜5，
答：AD的长为8米；
（2）设BC＝x米，则
S＝x（20﹣x）
＝﹣（x﹣10）2+50，（0＜x≤12）
∴x＝10时，S的最大值是50．
答：当x＝10时，矩形菜园ABCD面积的最大值为50平方米．
15．（2024秋•和平区期中）用一条长40cm的绳子围成一个矩形．
（Ⅰ）若围成的矩形面积为75cm2，求该矩形的长和宽．
（II）能围成一个面积为101cm2的矩形吗？若能，求出它的长和宽．若不能，请求出能围成矩形的最大面积．
【解答】解：（Ⅰ）设矩形的长为x cm，则宽为（20﹣x）cm，
∴x（20﹣x）＝75，
∴x2﹣20x+75＝0，
∴x1＝5，x2＝15，
当x＝5时，20﹣x＝20﹣5＝15（cm），
当x＝15时，20﹣x＝20﹣15＝5（cm），
∴矩形的长为15cm，宽为5cm；
（II）不能围成一个面积为101cm2的矩形，理由如下：
设矩形的长为n cm，则宽为（20﹣n）cm，
∴n（20﹣n）＝101，
∴n2﹣20n+101＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣20）2﹣4×1×101＝﹣4＜0，
∴n2﹣20n+101＝0没有实数根，
∴不能围成一个面积为101cm2的矩形；
又设矩形的长为t cm，则宽为（20﹣t）cm，设矩形的面积为y cm2，
∴y＝t（20﹣t）＝﹣t2+20t＝﹣（t﹣10）2+100，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，即当t＝10时，y有最大值100，
∴此时长为10cm，宽为20﹣t＝10cm，得到面积最大的矩形，最大面积为100cm2．
16．（2024秋•海珠区校级期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x米．
（1）设苗圃园的面积为y，求y与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，
x＞0，30﹣2x≤18，
0＜x≤6；
（2）设这个苗圃园的面积为S平方米，
由题意可得，
S＝x（30﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+，
∵平行于墙的一边长＞0米，且不大于18米，
∴0≤30﹣2x≤18，
解得，6≤x≤15，
∴当x＝时，S取得最大值，此时S＝，
答：当x＝时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米．
17．（2024秋•乐清市校级期中）如图是一块篱笆围成的矩形土地ABCD，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开，已知篱笆的总长为90米（厚度不计）．设AB＝x米，AD＝y米．
（1）用含有x的代数式表示y．
（2）设矩形土地ABCD面积为S平方米，当16≤x≤20时，求S的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，3x+2y＝90，
整理得y＝x+45；
（2）根据题意得S＝x（x+45）＝（x﹣15）2+337.5，
∵a＝，开口向下，
∵16≤x≤20，
∴当x＝16时，S取得最大值，S＝336．
18．（2024秋•丰台区校级期中）如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为x米．
（1）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积为 ﹣2x2+4x+16 平方米，若改造后的苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，求此时x的值；
（2）若使得改造后的面积最大，求此时的x值．
【解答】解：（1）苗圃AEFG的面积＝（4﹣x）（4+2x）＝﹣2x2+4x+16，
故答案为：﹣2x2+4x+16；
根据题意可得：﹣2x2+4x+16＝16，
解得：x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去），
答：BE的长为2米；
（2）∵苗圃AEFG的面积＝﹣2x2+4x+16＝﹣2（x﹣1）2+18≤18，
即x＝1时，使得改造后的面积最大．
19．（2024秋•朝阳区校级月考）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙（墙足够长），另外三边围栏材料的总长为80米．设垂直于墙的一边AB的长为x米，车棚面积为S平方米．当车棚的面积最大时，求出AB的长．
【解答】解：垂直于墙的一边AB的长为x米，车棚面积为S平方米，
S＝AB•BC＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
当x＝20时，S取最大值为800平方米．
答：面积最大时，AB的长为20米．
20．（2024秋•莒县期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．
（1）设垂直墙的一边为x米，则平行墙的一边为 （120﹣3x） 米．
（2）要使花园面积最大，求此时x的值并求出其最大面积S．
【解答】解：（1）设垂直墙的一边为x米，则平行墙的一边为（120﹣3x）米，
故答案为：（120﹣3x）；
（2）依题意得：
S＝x（120﹣3x）
＝﹣3x2+120x
＝﹣3（x2﹣40x）
＝﹣3（x2﹣40x+400﹣400）
＝﹣3（x﹣20）2+1200，
∴当x＝20时，最大面积S为1200平方米．
21．（2024秋•东城区校级期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边DC和DA足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB和BC两边），设AB＝x m，则S矩形ABCD＝y m2．
（1）求y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当AB多长时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？
【解答】解：（1）∵AB＝x m，
∴BC＝（28﹣x）m，
∴y＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x，
∵28﹣x＞0，
∴x＜28，
∴y与x的关系式为y＝﹣x2+28x（0＜x＜28）；
（2）y＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵﹣1＜0，0＜x＜28，
∴当x＝14时，y有最大值，最大值为196，
答：当AB＝14m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是196m2．
22．（2024秋•硚口区期中）如图，某植物园有一块足够大的空地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边利用一堵墙的矩形ABCD花圃，墙长为6米，其中边AD大于或等于墙长，中间用篱笆隔开．设BC的长为x米，AB的长为y米，矩形ABCD花圃的面积为s米2．
（1）直接写出y关于x，s关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围；
（2）当BC的长为多少时，矩形ABCD花圃的面积最大？最大面积为多少？
【解答】解：（1）由题意，∵BC＝x（米），
∴AB＝＝（米）．
∴S＝BC•AB＝x（）＝﹣（x2﹣18x）＝﹣（x﹣9）2+54．
∵AB＝＞0，
∴x＜18．
又∵BC＝AD＝x≥6，
∴6≤x＜18．
（2）由（1）s＝﹣（x﹣9）2+54，
∴当x＝9时，s取最大值为54．
答：当BC的长为9米时，矩形ABCD花圃的面积最大，最大面积为54米2．
23．（2023秋•淮滨县期末）阅读材料题：
我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2﹣6≥﹣6．
∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣ 2 ）2+ 1 ；
（2）代数式﹣x2﹣2x+2025有最 大 （填“大”或“小”）值为 2026 ；
（3）如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是40m，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
【解答】解：（1）x2﹣4x+56＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
故答案为：2，1；
（2）∵﹣x2﹣2x+2025＝﹣（x2+2x+！）+2026＝﹣（x+1）2+2026，
又∵（x+1）2≥0，
∴﹣（x+1）2≤0，
∴﹣（x+1）2+2026≤2026，
∴﹣x2﹣2x+2025的最大值为2025，
故答案为：大，2026；
（3）设矩形花圃的宽为x m，则长为（40﹣2x）m，
∴矩形的面积S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x＝﹣2（x2﹣20x）＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝10时，S有最大值200（m2），此时，40﹣2x＝20（m），
∴当花圃的宽为10m，长为20m时花圃面积最大，最大面积为200m2．
24．如图，小明用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形ABCD的边AD长为x米，矩形的面积为S平方米．
（1）写出S与x的函数关系式；
（2）如果要围成192平方米的场地，AD的长是 6米或16米 ．
（3）当x取何值时，S有最大值？并求出最大值．
【解答】解：（1）由题意得：
S＝x[40﹣x﹣（x﹣2）+2]＝﹣2x2+44x，
∵，
∴2＜x＜21，
∴S与x的函数关系式为S＝﹣2x2+44x （2＜x＜21）；
（2）令S＝192得：﹣2x2+44x＝192，
∴（x﹣6）（x﹣16）＝0，
∴x1＝6，x2＝16；
∴AD的长是6米或16米时，可以围成192平方米的场地．
（3）∵S＝﹣2x2+44x，
＝﹣2 （x﹣11）2+242，
∴当x＝11时，S有最大值，最大值为242平方米．
25．如图，用长20m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？[设园子的宽为x（m），面积为S（m2），可列式计算]
【解答】解：设园子的宽为x m，面积为S m2，
则园子的宽为（20﹣2x）（m），
根据题意得S＝x•（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，
配方得：S＝﹣2（x﹣5）2+50，
答：当x＝5时，面积最大，最大面积是50m2．
答：当园子的宽为5m时面积最大，最大面积为50m2．
26．（2024秋•马尾区期中）如图，计划用长为80米的绳子围一个矩形围栏，其中一面是墙（墙足够长）．设矩形围栏与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边为y（单位：m），面积为S（单位：m2）．
（1）直接写出y与x，S与x之间的函数关系（不要求写出x的取值范围）；
（2）当x为何值时，矩形围栏的面积S能达到801（m2）吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
【解答】解：（1）由劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田可得：
2x+y＝80，
∴y＝﹣2x+80，
∵S＝xy，
∴S＝x（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x；
∵y≤42，
∴﹣2x+80≤42，
∴x≥19，
∴19≤x＜40；
（2）不能，
理由：当S＝801时，﹣2x2+80x＝801，
∴2x2﹣80x+801＝0，
∵Δ＝802﹣4×2×801＝﹣8＜0，
∴原方程无实数根，
∴矩形围栏的面积S能达到801m2．
AB的长n
25
20
15
10
5
长方形的面积
250
400
450
400
250