2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题06 二次函数中特殊三角形的存在性（八大题型）60题专练（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题06 二次函数中特殊三角形的存在性（八大题型）60题专练（含解析），共173页。试卷主要包含了综合与探究，如图，抛物线与直线相交于，两点，【概念感知】，，过点作轴的平行线交于，交轴于等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
特殊三角形的讨论问题，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了特殊三角形的性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角比的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想。虽部分特殊三角形的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形本身的性质入手，结合边、
角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。
一：等腰三角形的存在性
根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意．
解题思路：
（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；
（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）
（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．
二：直角三角形的存在性
在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。
解题思路：
（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；
（2）计算出相应的边长等信息；
（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．
三：等腰直角三角形的存在性
既要结合等腰三角形的性质，又要结合直角三角形的性质。需要分类讨论哪个角是直角。
四：相似三角形的存在性
相似三角形存在性问题，分类讨论步骤：
第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角；
要先确定已知三角形是否有直角，或确定锐角（借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出）
①若有已知的相等角，则其顶点对应；
②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。
第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标：
①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小；
②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似来列方程求解。
题型一：等腰三角形的存在性
1．（2024•运城模拟）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限抛物线上的一个动点，若点的横坐标为，连接，，，．
（1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
（2）当四边形的面积有最大值时，求出的值．
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程得到或，求得，，；设直线的解析式为，把（2），代入即可得到直线的解析式为；
（2）如图，过作轴的垂线交于，设，则，根据三角形的面积公式得到四边形的面积，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到，设，求得，当，得到，或，；当时，则点在的垂直平分线上，作的垂直平分线交轴于，交于，则，过作于，根据相似三角形的性质得到，．
【解答】解：（1）令，得，
解得或，
，，
令，得，
；
设直线的解析式为，
把（2），代入得，
解得，
直线的解析式为；
（2）如图，过作轴的垂线交于，
设，则，
四边形的面积，
，
当时，四边形的面积最大，
当四边形的面积最大时，的值为2；
（3），
，
，
设，
，
当，
，
解得或，
，或，；
当时，则点在的垂直平分线上，
作的垂直平分线交轴于，交于，则，
过作于，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
综上所述，，或，或，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（2024•青岛一模）如图1，已知二次函数的图象与轴交于点．与轴交于点，，点坐标为，连接、．
（1）请直接写出二次函数的表达式；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）如图2，若点在线段上运动（不与点，重合），过点作，交于点，当面积最大时，求此时点的坐标；
（4）若点在轴上运动，当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）由抛物线表达式为，得点的坐标为，从而求得，，，所以，即可得为直角三角形；
（3）设点的坐标为，则，过点作轴于点，根据三角形相似对应边成比例求得，构建二次函数，根据函数解析式求得即可；
（4）分别以、两点为圆心，长为半径画弧，与轴交于三个点，由的垂直平分线与轴交于一个点，即可求得点的坐标．
【解答】解：（1）二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为，
，
解得．
抛物线表达式为：；
（2）为直角三角形，
理由如下：
由抛物线表达式为，
点的坐标为，
，，，
，
，
为直角三角形；
（3）为直角三角形，．
．
，
．
设点的坐标为，则，
，
，
，
，，
，
，
当时，面积最大是5，
点坐标为，
当面积最大时，点坐标为；
（4）由（3）知，，
①以为圆心，以长为半径作圆，交轴于，此时的坐标为，
②以为圆心，以长为半径作圆，交轴于，此时的坐标为，或，，
③作的垂直平分线交于，交轴于，
，
，即，
，
此时的坐标为，
综上，若点在轴上运动，当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，点的坐标分别为或，或或，．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质以及函数的最值等是解题的关键．
3．（2024•辽宁一模）如图1，正方形的顶点，的坐标分别为，，顶点，在第一象限．点从点出发，沿正方形按方向运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为，的面积（平方单位）．
（1）正方形的边长为 10 ；
（2）当点由点运动到点时，过点作轴交轴于点，已知随着点在上运动时，的面积与时间之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示），
求：①点，两点的运动速度为 ；
②关于的函数关系式为 ；
（3）当点由点运动到点时，经探究发现的面积是关于时间的二次函数，其中与部分对应取值如下表：
求：的值及关于的函数关系式．
（4）在（2）的条件下若存在2个时刻，对应的的形状是以为腰的等腰三角形，点沿正方形按方向运动时直接写出当时，的面积的值．
【分析】（1）由，的坐标分别为，，根据勾股定理计算即可得出答案；
（2）①由图2可知，当时，，此时点从点移动到点，即点从点移动到点用了，结合进行计算即可；②由题意得，，，则，计算出，则，再由计算即可；
（3）先求出点的坐标，从而得出的值，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（4）分两种情况：当时，当时，利用等腰三角形的性质、勾股定理等知识，建立方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1），的坐标分别为，，
，
正方形的边长为10，
故答案为：10；
（2）①由图2可知，当时，，此时点从点移动到点，
点从点移动到点用了，
由（1）得：，
，
、两点的速度为1单位秒，
故答案为：1单位秒；
②如图1，
，
由题意得：，，，
，
，
，
，
即；
（3）由题意可得：
由题意可得：时，点运动到点处，，
，
过点作轴于，过点作轴交于点，如图2，
，
则，
，
，四边形为矩形，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，的坐标分别为，，
，，，
，，，
，，
点坐标，
，
设关于的函数关系式为，
，
由②①，③②得：，
解得：，
；
（4）解：由题意得：，，，
，
，
，
，
，
当时，作于，如图3，
，
则，四边形是矩形，
，
，
解得：；
当时，，
，
解得：，
综上可得：，，
，
，
当时，．
【点评】本题考查了二次函数的应用、勾股定理、等腰三角形的定义及性质、坐标与图形、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合的思想是解此题的关键．
4．（2024•康县一模）如图，抛物线与直线相交于，两点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；
（2）点为轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）把抛物线沿它的对称轴向下平移个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的图象与性质，即可得出答案；
（2）设，根据是以为底边的等腰三角形可得，然后利用两点距离公式构建关于的方程，然后求解即可；
（3）先求直线解析式，然后设平移后的抛物线解析式为，联立方程组，化简得，根据抛物线与直线始终有交点得出△即可求解．
【解答】解：（1）抛物线与直线相交于，两点，
，
解得，
，
顶点坐标为，；
（2）设，
是以为底边的等腰三角形，
，即，
，
解得，
点的坐标为，；
（3）设平移后的函数解析式为，
设直线解析式为，
把，代入，得：
，
解得，
，
联立得：，
整理：，
抛物线与直线始终有交点，
△，
，
的最大值为．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
5．（2024•澄海区校级模拟）如图，点、在轴正半轴上，点、在轴正半轴上，且，，，过、、三点的抛物线上有一点，使得．
（1）求过、、三点的抛物线的解析式．
（2）求点的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，把点，，代入函数解析式，求出，，的值即可；
（2）过点作轴于点，设，证明，得，代入相关数据得，求出的值，再进行判断即可；
（3）由得对称轴为直线，设，分，，三种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1），，
，，，
、、三点在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）过点作轴于点，如图1，
，
，
，
，
，
又，
，
，
设，
，，
，，
，
解得或，
经检验，是原方程的解，是增根，
，
，
点的坐标为；
（3）由知，抛物线的对称轴为直线，如图2，
设点，
，，
，，，
是等腰三角形，
分三种情况讨论：
①当时，即，
，
解得，
点的坐标为；
②当时，即，
，
解得或
点的坐标为或；
③当时，即，
，
解得或，
点的坐标为或
点坐标为时，，，三点共线，不能组成三角形，故舍去，
综上，点的坐标为或或或．
【点评】本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合等知识以及等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
6．（2024•仁和区一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接．当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点的坐标为，则点的坐标为，则，进而求解；
（3）当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点的坐标为，再分、、三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得，
故抛物线的表达式为①；
（2）四边形为平行四边形；理由如下：
对于，令，
解得或4，令，则，
故点的坐标为，点，
设直线的表达式为，则，
解得，
故直线的表达式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
则，
，
故有最大值，当时，的最大值为，
此时点的坐标为；
，，
故四边形为平行四边形；
（3）在轴上存在点，使得为等腰三角形；理由如下：
是的中点，则点，
由点、的坐标，同理可得，直线的表达式为，
过点作轴于点，
则，故，
而．
，
则直线和直线关于直线对称，如图2，
故设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式并解得，
故直线的表达式为②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点的坐标为，
设点的坐标为，
由点、的坐标得：，
同理可得，当时，即，
解得；
当时，即，方程无解；
当时，即，
解得；
故点的坐标为或或．
【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，解答本题的关键要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
7．（2024•即墨区一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）先求出直线解析式为，设则，根据转化成顶点式即可得到，．
（3）分两种情况进行讨论①为等腰三角形，且以为底边，②为等腰三角形，且以为底边，得到点的坐标即可．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，，，
，解得，
二次函数解析式为：，
（2）设直线的解析式为：，则，解得，
直线的解析式为：，
如图1，作轴于点，交于点，
设，则，
，
，
，
当时，的面积最大，
，．
（3）抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
设，
①为等腰三角形，且以为底边，
，
，
解得，，
或．
②为等腰三角形，且以为底边，
，
，
，
解得，，
或．
综上所述，点的坐标为或或或．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键．
8 ．（2023•青海）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果；
（2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果；
（3）设，表示出和，根据列出方程求得的值，进而求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
，
；
（2）如图，
连接，
，
，
，，
由得，
，，
，
；
（3）设，
由得，
，
，
．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
9．（2024•浦东新区二模）在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过点、两点，顶点为点．
（1）求、的值；
（2）如果点在抛物线的对称轴上，射线平分，求点的坐标；
（3）将抛物线平移，使得新抛物线的顶点在射线上，抛物线与轴交于点，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明△为等腰直角三角形，则点在上，点代入上式得：，即可求解；
（3）当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解．
【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于点、点，
则点、的坐标分别为：、，
则，解得：，
即，；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为，则其对称轴为直线，
作点关于直线的对称点，交于点，
平分，
则，
过点作轴的平行线交于点，连接，
，
则，则为等腰直角三角形，
同理可得：△为等腰直角三角形，
则△为等腰直角三角形，则点在上，
设点，，则，
则点，，
由点、的坐标得，直线的表达，
将点代入上式得：，
解得：，
则点，；
（3）设点，
则抛物线的表达式为：，
当时，，
即点，
由点、、的坐标得，，，，
当时，
则，
解得：（舍去）或，
则抛物线的表达式为：；
当或时，
则或，
解得：（不合题意的值已舍去），
即抛物线的表达式为：，
综上，抛物线的表达式为：或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、解直角三角形、等腰三角形的性质等，分类求解是解题的关键．
10．（2024•金州区一模）【概念感知】
两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异族二次函数”．
【概念理解】
如图1，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点为线段的中点，二次函数与是“异族二次函数”，其图象经过点．
（1）求二次函数的解析式；
【拓展应用】
（2）如图2，直线，交抛物线于，，当四边形为平行四边形时，求直线的解析式；
（3）如图3，点为轴上一点，过点作轴的垂线分别交抛物线，于点，，连接，，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【分析】（1）先求得，，再求得的中点，将代入，即可求得答案；
（2）方法一：根据题意可得抛物线可以由抛物线向右移动1个单位，再向上移动1个单位得到，再根据平行四边形性质可得，，运用待定系数法即可求得直线的解析式；方法二：设点，根据平行四边形性质可得点，代入，即可求得、的坐标，运用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）设，则，，利用两点间距离公式得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）在中，令，得：，
，
令，得，
解得：，，
，，
的中点的坐标是，
二次函数与是“异族二次函数”，
，，
将代入，得：，
解得：，
二次函数的解析式为；
（2）方法一：
抛物线，
抛物线，
抛物线的顶点为，，抛物线的顶点为，，
抛物线与抛物线的值相同，
抛物线可以由抛物线向右移动1个单位，再向上移动1个单位得到，
四边形为平行四边形，，，
，，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为：；
方法二：
设点，
四边形为平行四边形，
，，
，，
点的坐标为，
将点代入，
得：，
解得：，
，，
同理可得：直线的解析式为：；
（3）设，则，，
，
，
，
，
当时，，
解得：（舍去）或，
；
当时，，
解得：（舍去）或，
；
当时，，
解得：（舍去）或，
；
综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰三角形性质，两点间距离公式等，理解并应用新定义“异族二次函数”是解题关键．
11．（2024•济南一模）如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点的横坐标为，过点作轴于点，与交于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，判断点是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）求的最大值；
（4）如果是等腰三角形，直接写出点的横坐标的值．
【分析】（1）两点式设出解析式，将点代入求出解析式即可；
（2）根据旋转的性质，求出的坐标，进行判断即可；
（3）设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，将转化为二次函数求最值即可；
（4）分，，，三种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，
设抛物线的解析式为，
把，代入，得：，
，
；
（2）不在抛物线上；理由如下：
过点作轴，，
旋转，
，，
，
△，
，，
，，
，，
，
，
，当时，，
不在抛物线上；
（3），，
设直线，将代入，得：，
；
设点坐标为，则点坐标为，点坐标为．
，．，．
．
当时，取最大值，最大值为．
（4），，，
，，，
当是等腰三角形时，分三种情况，
①时，则：，
解得：（舍，（舍，；
②时，则：，
解得：（舍，；
③时，则：，
解得：（舍，（舍，；
综上：，，．
【点评】本题考查待定系数法求解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，二次函数的综合应用．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键．
12．（2024•微山县一模）如图，顶点坐标为的抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，当的周长最小时，求点的坐标；
（3）过点作轴于点，交直线于点，连接．在点运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）作点关于抛物线对称轴得对称点，连接交于点，此时的周长最小，即可求解；
（3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）如下图，作点关于抛物线对称轴得对称点，连接交于点，此时的周长最小，
理由：为最小，
由点的对称性知，点的对称点的坐标为：；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，
由点、、的坐标得，，，同理可得：，
当时，
则，
解得：（舍去）或2，
即点；
当或时，
同理可得：或，
解得：（舍去）或或2.5；
综上，点的坐标为：，或或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
13．（2024•库尔勒市一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，并与轴交于另一点．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）求点坐标；
（3）设是抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．
①若点在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的值；若不存在，请说明理由；
②当点运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点的坐标及等腰的面积．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）令，解得：（舍去）或1，即可求解；
（3）①设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案；
②求出的垂直平分线的解析式，用方程组求出点的坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）令，
解得：（舍去）或1，
即点；
（3）①存在，理由：
如图2中，
点在抛物线上，
且轴，
设点的坐标为，
同理可设点的坐标为，
又点在第一象限，
，
，
，
当时，
线段的长度的最大值为；
②解：如图3中，
由题意知，点在线段的垂直平分线上，
又由①知，，
的中垂线同时也是的平分线，
设点的坐标为，
又点在抛物线上，于是有，
，
解得，
点的坐标为：，或，，
若点的坐标为：，，此时点在第一象限，
在和中，，
，
，
；
若点的坐标为，，此时点在第三象限，
同理可得：．
综上所述的面积为：或．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
14．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分、两种情况，列出等式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）令，则或3，则点，
由点、知，直线的表达式为：，
过点作轴的平行线交于点，则，
则，则，
则，
设点，则点，
则，
即的最大值为：，此时点；
（3）平移后的抛物线的表达式为：，
则点，设点，，
则，，，
当时，则，
解得：，
则点的坐标为，；
当时，则，
解得：或，
则点的坐标为：，或，；
综上，点的坐标为：，或，或，．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
15．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标；
（3）过点作轴的垂线，交直线于点，交直线于点．试探究：是否存在常数，使得始终成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设，则，，，分两种情况讨论：当时，；当时，，或，；
（3）设，，联立方程整理得，根据根与系数的关系可知，，直线的解析式为，直线的解析式为，求出，，，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，则，再由，结合根与系数的关系整理得方程，解得或．
【解答】解：（1）将、代入，
，
解得，
；
（2）设，
，，
，，，
当时，，
，
或，
；
当时，，
解得或，
，或，；
综上所述：点坐标为或，或，；
（3）存在常数，使得始终成立，理由如下：
设，，
联立方程，
整理得，
，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
，，，，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
题型二：直角三角形的存在性
16．（2024•安庆一模）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）点为直线上的任意一点，过点作轴的垂线与此抛物线交于点．
①若点在第一象限，连接、，求面积的最大值；
②此抛物线对称轴与直线交于点，连接，若为直角三角形，请直接写出点坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由的面积，即可求解；
②根据题意可分和两种情况，当时，可知轴，则可求得点纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标；当时，可求得直线解析式，联立直线和抛物线解析式可求得点的横坐标，代入直线可求得点的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：，
则，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）①由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则的面积，
则面积的最大值为；
②由题意知轴，则，
为直角三角形，分和两种情况，
当时，即轴，则、的纵坐标相同，
点纵坐标为1，
点在抛物线上，
，解得，即点的横坐标为，
点在直线上，
当时，，当时，，
点坐标为，或，；
当时，
，，
直线解析式为，
直线解析式为，
，
直线与抛物线的交点即为点，
联立直线与抛物线解析式有，解得或，
当时，，当时，，
点坐标为或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为，或，或或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及待定系数法、直角三角形的判定及性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，分类求解是解题的关键．
17．（2024•任城区一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，在对称轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）将点、、代入，即可求解；
（2）当时，证明，得到，即可求解；当时，同理可解；
（3）证明，即可求解．
【解答】（1）将点、、代入，
得，解得：，
；
（2）存在，理由：
过点作轴的垂线，在上存在点，使是直角三角形若存在；理由如下：
，点在上，
如图2，当时，
过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图3，当时，
过点作轴交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
综上所述：是直角三角形时，点坐标为或；
（3）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，
，
，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
此时，．
【点评】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键．
18．（2024•凉州区一模）抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）过点作于点，．
①求点的坐标；
②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法可得；
（2）①求出，设，可得，，由，知，解得；
②设，可得，，，分三种情况：当为斜边时，，当为斜边时，，当为斜边时，，分别解方程可得答案．
【解答】解：（1）把和代入得：
，
解得，
；
（2）①如图：
在中，令得，
，
设，则，，
，
，，
，
，
解得，
；
②如图：
由①得：，，
设，
，，，
当为斜边时，，
，
化简得，
解得（与重合，舍去）或，
；
当为斜边时，，
，
解得，
；
当为斜边时，，
，
解得（舍去），
综上所述，的坐标为或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
19．（2024•德阳模拟）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，进而分别令，，解方程即可求解；
（2）根据题意，对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（3）存在点使最小，作点关于的对称点，连接交于点，连接，求得直线的解析式，直线的解析式为，联立方程即可求解．
【解答】解：（1）将代入，
即，
解得：，
，
令，则，
令，则，
解得：，，，；
（2）存在点，使是直角三角形，
，对称轴为直线，
设，
，，
，，，
①当时，，
，
解得：；
②当时，，
解得：；
③当时，，
解得：或，
综上所述：，，，；
（3）存在点使最小，理由如下：
作点关于的对称点，连接交于点，连接，
由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，有最小值，
，，
，
，
由对称性可知，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得：，
，．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．（2023•烟台）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求直线及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
【分析】（1）根据对称轴，，得到点及的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组
，即可得到点的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组
，即可得到点的坐标；
（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点、、三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．
【解答】（1）解：抛物线的对称轴，，
，，
将代入直线，得，
解得，
直线的解析式为；
将，代入，得
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）存在点，
直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点，
当时，，
，
①当时，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标为；
②当时，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，解得或，
点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或；
（3）如图，在上取点，使，连接，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
当点、、三点共线时，的值最小，即为线段的长，
，，
，
的最小值为．
【点评】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
21．（2024•广安二模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，，求四边形的面积的最大值．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把，代入，求出和的值，即可得出函数解析式；
（2）由四边形的面积，即可求解；
（3）当斜边为时，由，列出等式即可求解；当斜边为、时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
该二次函数的解析式．
（2）如图：连接，，
，，
，，
则，
设，则，
，
则，
四边形的面积，
，
当时，四边形的面积最大为16；
（3）存在，理由：
设，，
，，
，
同理可得：，，
当斜边为时，，
则，
解得：；
，或，；
当斜边为时，，
即，
解得：，
，；
当斜边为时，，
即，
解得：，
，；
综上，的坐标为，或，或，或，．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质是解题的关键．
22．（2024•金山区二模）已知：抛物线经过点、，顶点为．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点在直线上，且点在轴右侧．
①若点平移后得到的点在轴上，求此时抛物线的解析式；
②若平移后的抛物线与轴相交于点，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①设点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是，由平移的性质知，，即可求解；
②如果，即轴不合题意；如果，证明，得到，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
，
故抛物线的解析式为，
顶点的坐标是；
（2）①设直线的解析式是，
则，解得：，
直线的解析式是，
设点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是，
点平移后得到的点在轴上，
抛物线向上平移了3个单位，
，即，
此时抛物线的解析式是；
②抛物线与轴的交点是，
如果，即轴不合题意，
如果，
，，
，
，
，
作轴于点，则，
，
，，
，
解得：（不合题意，舍去）或1，
，
则此时抛物线的解析式是．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到图象的平移、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键．
23．（2024•宿豫区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，已知，，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是抛物线上任意一点，若，求点的坐标；
（3）点是抛物线上任意一点，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可得到结论；
（2）点在上方时，延长与轴相交于点，作于点，先求出，再利用等积法求出，勾股定理求出，则，得到，再证明，则，即可得到，得到点，利用待定系数法求出直线的解析式为，与抛物线解析式联立，进一步即可得到点的坐标；当点在下方时，同理可得到点的坐标；
（3）分三种情况：①当点为直角顶点时，②当点为直角顶点时，③当点为直角顶点时，分别求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线的函数表达式为，
将，，代入得，
，
解得：，
所以抛物线的函数表达式为；
（2）当点在上方时，延长与轴相交于点，作于点，
，令，则，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，将，代入得，，
解得，
直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），
点的坐标是；
当点在下方时，设交轴于，
，，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，将，代入得，，
解得，
直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），
点的坐标是，；
综上，点的坐标是或，；
（3）①当点为直角顶点时，眼馋交轴于，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
同理得直线的解析式为，
联立得，解得或（舍去），
点的坐标是；
②当点为直角顶点时，设交轴于，
同理得，
直线的解析式为，
联立得，解得或（舍去），
点的坐标是；
③当点为直角顶点时，过点作轴于，过点作于，
，，
，
，
，
，
，
设，
，解得或，
点的坐标是，或，．
综上，点的坐标是或或，或，．
【点评】此题是二次函数综合题，考查了一次函数的性质、勾股定理、等腰直角三角形、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
24．（2024•双峰县模拟）如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线在第四象限上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．当时，求点坐标；
（3）若抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，直接写出点的坐标．
【分析】（1）先由点在直线上求出点的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）可设出点坐标，则可表示出、的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于点坐标的方程，则可求得点坐标；
（3）设点，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）点在直线上，
，
，
把、、三点坐标代入抛物线解析式可得，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）设，则，，
则，，
，
，
解得或，
但当时，与重合不合题意，舍去，
；
（3）设点，
，，
，，，
是以为直角边的直角三角形，
或，
或，
解得或，
的坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用点坐标分别表示出和的长是解题关键．
25．（2024•滨州一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值
【分析】（1）根据对称轴，，得到点及的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组
，即可得到点的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组
，即可得到点的坐标；
（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点、、三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．
【解答】（1）解：抛物线的对称轴，，
，，
将，代入，得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形；理由如下：
直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点，
当时，，
，
①当时，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
联立得，
解得或，
点的坐标为；
②当时，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
联立得：，
解得或，
点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或；
（3）如图，在上取点，使，连接，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
当点、、三点共线时，的值最小，即为线段的长，
，，
，
的最小值为．
【点评】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
26．（2024•仓山区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为，抛物线的对称轴为直线，连接直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为第一象限内抛物线上一动点，连接，交直线于点，连接，如图2所示，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）若点为对称轴上一点，是否存在以，，为顶点的直角三角形，若存在，直接写出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明，则，而，即可求解；
（3）分三种情况：当时，；当时，；当时，分别进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点，
点坐标为，抛物线的对称轴为直线，则点，
设抛物线的表达式为：，
即，
即，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）过点作轴交于点，过点作轴交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，即，
设点，则点，
则，
轴，
，
，
和同高，
，
即的最大值为；
（3）存在以，，为顶点的直角三角形；理由如下：
设点，
由点、的坐标得：
，
，
，
当时，，即：，
解得：，，
点的坐标为或；
当 时，，即：，
解得：，
点的坐标为；
当时，，即：，
解得：，
点的坐标为，；
综上，点的坐标为或或或，．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析 式、二次函数与三角形面积的综合题、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定及性质、直角三角形的存在问题，分类讨论是解决问题的关键．
27．（2024•荆州模拟）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值．
【分析】（1）求出、的坐标，将点、的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；
（2）求出抛物线的顶点坐标及对称轴，设，分，， 三种情况讨论求解即可；
（3）依据题意，分两种情况，分别求解即可．
【解答】（1）直线，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为、，
将点、的坐标分别代入抛物线表达式得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）在该抛物线的对称轴上存在点，使以，，为顶点的三角形为直角三角形；理由如下：
，抛物线顶点的坐标为，对称轴为直线，
设，
又，
，，，
当时，，
，
解得，
点坐标为；
当时，则，
点坐标为；
当时，此时直角三角形不存在，
综上，点坐标为或；
（3）图象翻折后点的对应点的坐标为，
①当直线经过点时，与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时，，三点共线，；
②当直线 与该“”形状的图象在，两点之间（不包含点的部分只有一个交点时，直线 与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，由题意得，向下翻折的那部分抛物线在翻折后的解析式为：
，令，△ ，
解得：，
综上所述，的值为或．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质，解答本题的关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度不大．
题型三：等腰直角三角形的存在性
28．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求出抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）点是抛物线对称轴右侧图象上的一点，过点作的垂线交轴于点，作抛物线关于直线对称抛物线，则关于直线的对称点为，若为等腰直角三角形，求出抛物线的解析式．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当为等腰直角三角形时，则，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，其顶点为：，
如下图，设交于点，
若为等腰直角三角形时，
则，
设点，
则，
解得：（舍去）或5，
即点的横坐标为5，
而原抛物线的对称轴为直线，
则新抛物线的对称轴为直线，
则新抛物线的顶点坐标为：，
则抛物线的解析式为：．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的对称、等腰直角三角形的性质等，综合性强，难度适中．
29．（2024•凉州区二模）如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为．
（1）填空： ， ， ；
（2）在图1中，若点在轴上方的抛物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求的值；
（3）如图2，若点在抛物线的对称轴上，连接、，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点，代入，可得，，可得抛物线的解析式，令解方程可得点的坐标，即可得的值；
（2）连接，由点的横坐标为得，根据面积和可得四边形的面积，利用二次函数的性质可得其最大值；
（3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点的坐标列方程求得的值，即可得点的坐标．
【解答】解：（1）将点，代入得，
，解得，
抛物线的解析式：，
，则，解得或1，
，
，
故答案为：3，，；
（2）连接，
，轴交抛物线于点，
点的纵坐标为，
，解得或4，
，
点的横坐标为，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
的值为；
（3），
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为2，
分三种情况：
①当为直角顶点时，，如图2，过作轴，过作于，过作于，
，
是等腰直角三角形，且，，
，
，
，
，
，，点的横坐标为2，
，
，解得或或
点的坐标为，或，或，或，；
②当为直角顶点时，，如图3，过作轴，过作于，过作于，
同理，
，
，，点的横坐标为2，
，
，解得或，
点的坐标为，或，；
如图5，
同理，
，，
，，点的横坐标为2，
，
，解得或，
点的坐标为，或，；
③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于，
同理，
，，
，，点的横坐标为2，
，，
，
，解得或5或3，
点的坐标为或或；
综上所述，点的坐标是，或，或，或，或，或，或或或．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用二次函数的性质，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
30．（2024•高唐县一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由面积，即可求解；
（3）当为直角时，则点与点重合，不符合题意；当为直角时，即，即可求解；当为直角时，证明，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）过点作轴的平行线交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
则面积，
，
故函数有最大值，
此时，
则点，；
（3）当为直角时，
则点与点重合，不符合题意；
当为直角时，
即，
则点和点或重合，
故点的坐标为：或，
当和重合时，也符合题意，则点，
当为直角时，
如下图：设点，点，
过点作轴的平行线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，
，，
，
，
，
且，
即且，
解得：，
当时，即，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点，，
综上，点的坐标为：或或或，．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算，分类求解是解题的关键．
31．（2024•咸丰县模拟）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为．
（1）求点，，的坐标，并直接写出直线的函数解析式．
（2）若，求的值．
（3）在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据函数图象的特点求、、的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由题可知，则，，再由，得到方程，求出的值即可；
（3）先求出，，，当时，，解得或（舍；当时，，解得或（舍．
【解答】解：（1）当时，，
解得或，
，，
当时，，
，
设直线的解析式为，
将点代入可得，
解得，
直线的解析式为；
（2）点的横坐标为，
，则，，
，，
，
，
解得（舍或；
（3）存在使得为等腰直角三角形，理由如下：
由（2）可得，，，，
当时，，即，
解得或（舍；
当时，，即，
解得或（舍；
综上所述：的值为3或2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
题型四：相似三角形的存在性
32．（2024•金平区校级一模）如图，二次函数交轴于点和交轴于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，在第一象限有一点，到点距离为2，线段与的夹角为，且，连接，求的长度；
（3）对称轴交抛物线于点，交交于点，在对称轴的右侧有一动直线垂直于轴，交线段于点，交抛物线手点，动直线在沿轴正方向移动到点的过程中，是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）把和代入抛物线解析式得出二元一次方程组，解方程组得出、的值，即可得出二次函数的解析式；
（2）证明，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）由平行线的性质得出，当时，，则，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）二次函数交轴于点和，
把、代入，得：，
解得：，
二次函数的表达式为：；
（2）二次函数交交轴于点，
对于，当，则，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
在和中，
，，
，
，
，
；
（3）存在，如图：
，
点，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
所在直线的表达式为：，
将代入得：，
点，
由题意得：，
，
与有共同的顶点，且在的内部，
，
只有时，，
，
、，
，
设点为，则为，
，
，，
，
解得：，
当，时，，
点的坐标为：．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
33．（2024•东莞市一模）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为．当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明，得到，即可求解；
（3）当点在轴时，以、、为顶点的三角形与相似，存在、两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点在轴上时，同理可解．
【解答】解：（1）把代入，得：，
．
把代入得：，
，
将、代入得：
，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如右图，分别过点、点作轴的平行线，交直线于点和点，
设点，
则，
当时，
，，
，
，
，
，
则，
，
解得，，
点坐标为或；
（3）存在，理由：
由题意得，点，
由点、、的坐标得，，，
则，则，，，
当点在轴时，
以、、为顶点的三角形与相似，
当时，
则，
则，
则点；
当时，
此时，点、重合且符合题意，
故点；
当点在轴上时，
只有，
则，
则点，
综上，点的坐标为或或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，分类求解是解题的关键．
34．（2024•亳州一模）已知抛物线经过点和．
（1）试确定该抛物线的函数表达式；
（2）如图，设该抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），其顶点为，对称轴为，与轴交于点．
①求证：是直角三角形；
②在上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由点、、的坐标得，，，，即可求解；
②，，为顶点的三角形与相似，则或，即或，即可求解．
【解答】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）①证明：令，则或5，
即点、的坐标分别为：、，
则抛物线的对称轴为直线，当时，，
则点，
由点、、的坐标得，，，，
即，
则是直角三角形；
②解：存在，理由：
，，为顶点的三角形与相似，
则或，
由点的坐标得：，
则或，
设点，
则或，
解得：或，
则点的坐标为：或或或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形、勾股定理的运用等，分类求解是解题的关键．
35．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点，为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．
（1）直接写出抛物线和直线的解析式；
（2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
（3）当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点坐标代入求，进而得到抛物线的解析式；设直线的解析式为，将、两点坐标代入求解即可得到直线的解析式．
（2）由题可得坐标，分别求出，，，对等腰三角形中相等的边界线分类讨论，进而列方程求解．
（3）对点在点左右两侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而得到点，点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入得，，
，
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的表达式为．
（2）点在直线上，且，
点的坐标为，
，，
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得；
②若，则，
即，
解得或（舍去）；
③若，则，
即，
解得或（舍去）．
综上，或或．
（3）点与点相对应，
或，
①若点在点的左侧，
则，
当，即时，
直线的表达式为，
，
解得或（舍去），
，即，
，即，
解得，
，
当，即时，
，
，即，
解得（舍去）．
当，即时，
，，
，即，
解得，（负值舍去），
，．
②若点在点的右侧，
则，，
当，即时，
直线的表达式为，
，
解得或（舍去），
，
，即，
解得，
，
当，即时，
，，
，即，
解得或（舍去），
，
综上，，或，或，或，．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等相关知识．
36．（2024•青海一模）如图，二次函数的对称轴是直线，图象与轴相交于点和点，交轴于点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）点是对称轴上一点，当时，求点的坐标（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明 是等腰直角三角形，，则，即可求解；
（3）点和点关于对称轴对称，则点的坐标是，点关于轴的对称点，由，得到，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
二次函数的解析式是；
（2）设对称轴与轴交于点，
由（1）及已知得，，
是等腰直角三角形，
又点在对称轴上，且，
是等腰直角三角形，，
，
当点在轴上方时，坐标是，
当点在轴下方时，坐标是，
综上，点的坐标是或；
（3）存在，理由：
点和点关于对称轴 对称，
点的坐标是，
点关于轴的对称点，
，
，
解得：，，
，，
点的坐标是或 或．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、等腰直角三角形的性质、点的对称等，分类求解是解题的关键．
37．（2024•虹口区二模）新定义：已知抛物线（其中，我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．
已知抛物线的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．
（1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．
【分析】（1）将点的坐标代入得：，即可求解；
（2）当四边形为平行四边形，则，即，即可求解；
（3）由得到，即，即可求解．
【解答】解：（1）将点的坐标代入得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点，
则的表达式为：．
则和轴的交点，
则抛物线的对称轴为直线，
当时，，
即的顶点的坐标为：，
当时，，
故抛物线的对称轴和的交点，
点在点的上方，
故，
解得：，
则，
四边形为平行四边形，
则，即，
解得：，
即点；
（3）点在抛物线上，
当时，，
即点，
点、点、、，
则，
同理可得：，
，，
，
则，即，
解得：或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
38．（2024•安溪县模拟）已知抛物线与轴只有一个公共点．
（1）求的值；
（2）若将抛物线向右平移1个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为．
①试问：抛物线上是否存在这样的点，使得？
②若直线与抛物线交于，，，，点关于抛物线的对称轴的对称点记为与不重合），轴交直线于点，直线与直线交于点，求的值．
【分析】（1）由△，即可求解；
（2）①由点、、的坐标知，为等腰直角三角形，当时，则也为等腰直角三角形，即可求解；
②设点、点，则点，求出点、的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）△，
解得：；
（2）①，
则点；
，则抛物线与，
则点、，
由点、、的坐标知，为等腰直角三角形，
当时，则也为等腰直角三角形，
如下图：
而点、，
根据抛物线的对称性，则点；
②如下图：
设点、点，则点，
联立抛物线和的表达式得：，
整理得：，
则，，
将点坐标代入一次函数表达式得：，
即，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
则点，，
同理可得：点，，
则，
同理可得：，
，
则，
则．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到根和系数的关系、三角形相似等，数据处理和数形结合是解题的关键．
39．（2024•苏州一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，，，其中，且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求面积的最大值；
（3）当时，是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由面积，即可求解；
（3）以、、为顶点的三角形与相似时，或3，即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
，
则点、的坐标分别为：、；
则抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设交于点，
设点，则点，
则面积，
当点在轴上方时，则面积，
，故面积有最大值，
当时，面积最大值为：；
当点在轴上方时，则面积，
，
在时，面积随的增大而增大，
当时，面积最大，最大值为24，
综上，面最大值24．
（3）存在，理由：
设点，则点，
在中，，
则以、、为顶点的三角形与相似时，
或3，
即或，
解得：（舍去）或14或或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用涉及到三角形相似、解直角三角形、面积的计算等知识，分类求解是解题的关键．
40．（2024•雁塔区校级四模）已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．
（1）求此二次函数表达式和点、点的坐标；
（2）点为第四象限内抛物线上一动点，将抛物线平移得到抛物线抛物线，使得抛物线的顶点为点，抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线交轴于点．是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，请你写出平移过程，并说明理由．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）以点、、为顶点的三角形与相似时，或3，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
令，则或3，
即点、的坐标分别为：、；
（2）设点，
则平移后的抛物线表达式为：，
则点，
则，，
在中，，
则以点、、为顶点的三角形与相似时，
或3，
即或3，
解得：（舍去）或，
则点，，
抛物线的顶点坐标为：，
平移的过程为：将向左平移个单位向上平移即可．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、三角形相似、解直角三角形等，综合性强，难度适中．
41．（2023•乐至县）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是抛物线在第二象限内的点，过点作轴的平行线与直线交于点，求的长的最大值；
（3）点是线段上的动点，点是抛物线在第一象限内的动点，连结交轴于点．是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）首先求得、点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设，则，，进而表示出的长；接下来用含的二次函数表示，根据二次函数的性质，即可解答；
（3）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可．
【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于、两点，
，，
抛物线经过、两点．
，
解得，
；
（2）设，
作轴，与直线交于点，
，解得，
，，
，
当时，的长的最大值为4；
（3）设，
，，
，
分两种情况：
①当时，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
或3（舍去），
，
，，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立解得或（不合题意，舍去）
点的坐标为，；
②当时，过点作于，
，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，解得，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，，
同理得直线的解析式为，
联立解得或（不合题意，舍去）
点的坐标为，；
综上，点的坐标为，或，．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质等知识与方法，解本题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题．利用相似三角形的判定得出关于的方程是解题关键，第（3）问中，注意要分类讨论，以防遗漏．
42．（2024•恩施市校级一模）如图，抛物线交轴于，，交轴于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线上找点，使为以为腰的等腰三角形，求点的坐标．
（3）在抛物线上是否存在异于的点，过点作于，使与相似？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先确定，设交点式，然后把点坐标代入求出即可得到抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法确定直线的解析式为，设，讨论：当时，利用两点间的距离公式得到，当时，利用两点的距离公式得到，然后分别解方程求出即可得到满足条件的点坐标；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，由于，与相似，则只有，设直线交轴于，作于，则，证明，利用相似比得到，在中利用勾股定理可计算出，则，再利用待定系数法确定直线的解析式为，然后解方程组可得到点坐标．过点与直线垂直的直线交抛物线于，作于，则△，易得直线的解析式为，解方程组点坐标．
【解答】解：（1），，
，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线的解析式为，即；
（2），
设直线的解析式为：，
把，代入得，解得，
直线的解析式为，
设，
为以为腰的等腰三角形，
或，
当时，即，解得，，此时点坐标为，，，，
当时，即，解得（舍去），，此时点坐标为，
综上所述，满足条件的点坐标为，，，，；
（3），，，
，
为直角三角形，，
，
，
与相似，
，
平分，
设直线交轴于，作于，则，
，
，
，
在中，，
，解得（舍去）或，
，
设直线的解析式为，
把，得，解得，
直线的解析式为，
解方程组，解得或，
，．
过点与直线垂直的直线交抛物线于，作于，
则，
△，
易得直线的解析式为，
解方程组得或，
，．
综上所述，点坐标为，或，．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；能运用两点间的距离公式和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
43．（2024•阳泉模拟）综合与探究
如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接，作直线．
（1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的表达式．
（2）如图1，若点是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为，过点分别作轴、轴的垂线，交直线于点，，试探究线段长的最大值．
（3）如图2，若点是二次函数图象上的一个动点，直线与轴交于点，连接，在点运动的过程中，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对于，当时，，令，即可求解；
（2）证明，而，即可求解；
（3）当以，，为顶点的三角形与相似时，存在或，求出点的坐标为：或，进而求解．
【解答】解：（1）对于，当时，，
令，则或8，
即点、、的坐标分别为：、、，
由点、的坐标得，直线的表达式为：；
（2）由的表达式知，，
则，
则，
设点，则点，
则，
，
故有最大值，当时，的最大值为4，
则的最大值为：；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，则点，
由点、、、的坐标得，，，，，，，
则，
当以，，为顶点的三角形与相似时，
存在或，
即或，
即或，
解得：或8，
即点的坐标为：或，
由点、的坐标得，直线的表达式为：或，
联立和抛物线的表达式得：或，
解得：（舍去）或或，
即点的坐标为：或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似等，分类求解是解题的关键．
44．（2024•龙江县一模）综合与探究：
如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），与轴交于点，顶点为，直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①点的坐标为 ；
② ；
③点在抛物线上，，则的取值范围是 ；
（3）若点在直线上，且，求的值；
（4）在第四象限内存在点，使与相似，且为的直角边，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）先求出点、的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；
（2）由函数的图象和性质，即可求解；
（3）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，分别利用相似三角形性质求解即可；
（4）分两种情况：当时，当时，分别运用相似三角形性质和三角函数定义进行计算即可．
【解答】解：（1），令，得，
解得：，
，
，
，
，
，
在中，，
．
把，代入抛物线中，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）①联立抛物线表达式和得：，
解得：（舍去）或6，
故点的坐标为；
②由抛物线的表达式知，点，
由点、、的坐标得，，，，
则，
则为直角三角形，
则；
③由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为，
当时，，
则的取值范围是；
故答案为：；90；；
（3）令，
解得：，，
，
，
．
在中，，
①当点在线段上时，如图1，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
轴，
轴，
，
，即，
，
；
②当点在线段的延长线上时，如图2，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
轴，
轴，
，
，即，
，
，
综上所述，的值为或；
（4）当时，
，，
，
，
，
，，
，
，
即，
点在直线上，
由点、坐标得，直线的解析式为，
设，
如图3，过点作轴于点，则，，
，
，
在中，，
或，
或，
或，
或，
或，
或8，
点的坐标为或；
当时，如图4，过点作轴于点，
，
，
，
，
设，，则，
或，
或，
，
或，
或，
在中，，
或，
或8，
点的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，两点间距离公式，勾股定理，直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，三角函数定义等，涉及知识点较多，难度较大，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．
45．（2023•武汉）抛物线交轴于，两点在的左边），交轴于点．
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接，若与相似，求的值；
（3）如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线（异于直线交抛物线于，两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【分析】（1）分别令、为0，解方程即可求得点、、的坐标；
（2）分两种情况：①若△△ 时，可得，由平行线的判定可得，即轴，点与的纵坐标相同，建立方程求解即可．②若△△ 时，过 作轴于点．可证得△，，即，解方程即可求得答案；
（3）由题意知抛物线，联立方程求解即可得．根据中点坐标公式可得．设，，可得直线的解析式为．将点的坐标代入可得．同理，直线的解析式为；直线的解析式为．联立方程组求解可得，．代入，整理得，比较系数可得，，故点在定直线上．
【解答】解：（1）当时，，
解得：，，
当时，，
，，．
（2）是直线与抛物线的交点，
．
①如图，若△△时．
则，
．
，
．
解得：（舍去）或．
②如图，若△△时．
过 作轴于点．
，
，，
，
又，
△，
，
，，
，．
，，
，
，
解得：（舍去）或，
综上，符合题意的的值为2或；
（3）点在一条定直线上．
由题意知抛物线，
直线的解析式为，
．
是的中点，
．
设，，直线的解析式为．
则，
解得：，
直线的解析式为．
直线经过点，
．
同理，直线的解析式为；直线的解析式为．
联立，得，
直线与相交于点，
．
解得：，
，
，．
设点在直线上，则，
整理得，，
比较系数，得，
，．
当，时，无论，为何值时，等式恒成立．
点在定直线上．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题．
46 ．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的交点为点，和点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点，在轴正半轴上，，点在线段上，．以线段，为邻边作矩形，连接，设．
①连接，当与相似时，求的值；
②当点与点重合时，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到线段，连接，，将绕点按顺时针方向旋转后得到△，点，的对应点分别为、，连接．当△的边与线段垂直时，请直接写出点的横坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①利用已知条件用含的代数式表示出点，，，的坐标，进而得到线段的长度，利用分类讨论的思想方法和相似三角形的性质，列出关于的方程，解方程即可得出结论；
②利用已知条件，点的坐标的特征，平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质求得，和的长，利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答，利用旋转的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得相应线段的长度即可得出结论．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，与轴的交点为点，，
，
解得：，
此抛物线的解析式为；
（2）①令，则，
解得：或，
，，
．
，，，
，．
四边形为矩形，
，，
，，，，，，
．
Ⅰ．当时，
，
，
；
Ⅱ．当时，
，
，
．
综上，当与相似时，的值为或；
②点与点重合，
．
，，，，
．
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
．
在和中，
，
，
，．
．
Ⅰ．当所在直线与垂直时，如图，
，，
，
，，三点在一条直线上，
．
过点作轴于点，则，
，
，
此时点的横坐标为；
Ⅱ．当所在直线与垂直时，如图，
，
，
设的延长线交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则轴，．
，
，
．
，
．
，
，
此时点的横坐标为；
Ⅲ．当所在直线与垂直时，如图，
，，
，
，，三点在一条直线上，则，
过点作，交的延长线于点，
，
此时点的横坐标为．
综上，当△的边与线段垂直时，点的横坐标为或或．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度和正确利用分类讨论的思想方法是解题的关键．
47．（2024•济南模拟）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，直线，点在抛物线上，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式和，的值；
（2）如图1，过点作轴的垂线与直线交于点，过点作，垂足为点，若，求的值；
（3）如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据，可知，再求出，，，，建立方程求出的值即可；
（3）过点作的平行线，过点作交于点，过点作轴交于点，则四边形是矩形，先求出直线的解析式为，得到，再由直角三角形的三角形函数值分别求出，，，可得，当时，有最大值．
【解答】解：（1）将点代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为，
将点代入，
得，
解得（舍或，
，
将点代入，
，
解得；
（2）点的横坐标为，
，
由（1）直线的解析式为，
，
，
，
，，，，
，
，
，
解得或，
当时，此时不构成直角三角形，
综上所述：的值为；
（3）过点作的平行线，过点作交于点，过点作轴交于点，
，
四边形是矩形，
，，
，
直线的解析式为，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
当时，有最大值．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的性质，直角三角形的性质，矩形的性质是解题的关键．
48．（2024•锡山区一模）如图，抛物线交轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点，连接，其中．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为线段上方抛物线上一动点，过点作于点，若，求点的坐标；
（3）过线段上的点作轴的垂线交抛物线于点，当与相似时，点的坐标为 ，或， ．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）过点作轴于，过点作于，可证得，则，即，，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，可求得，，代入抛物线解析式即可求得答案；
（3）过点作轴的垂线交抛物线于，延长交轴于，连接，设，则，分两种情况：①当时，②当时，分别求出点的坐标即可．
【解答】解：（1），，
，
，
把，代入，
得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴于，过点作于，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
，，
点为线段上方抛物线上一动点，
，，
解得：或（舍去），
；
（3）如图2，过点作轴的垂线交抛物线于，延长交轴于，连接，
则轴，
在中，令，
得，
解得：，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
设，则，
，，
轴，
，
与相似，
或，
①当时，，
即，
解得：或（舍去），
，；
②当时，，
即，
解得：或（舍去），
，；
综上所述，当与相似时，点的坐标为，或，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，运用分类讨论思想是解题关键．
49．（2024•仓山区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为，抛物线的对称轴为直线，连接直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为第一象限内抛物线上一动点，连接，交直线于点，连接，如图2所示，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）若点为对称轴上一点，是否存在以，，为顶点的直角三角形，若存在，直接写出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明，则，而，即可求解；
（3）分三种情况：当时，；当时，；当时，分别进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点，
点坐标为，抛物线的对称轴为直线，则点，
设抛物线的表达式为：，
即，
即，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）过点作轴交于点，过点作轴交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，即，
设点，则点，
则，
轴，
，
，
和同高，
，
即的最大值为；
（3）存在以，，为顶点的直角三角形；理由如下：
设点，
由点、的坐标得：
，
，
，
当时，，即：，
解得：，，
点的坐标为或；
当 时，，即：，
解得：，
点的坐标为；
当时，，即：，
解得：，
点的坐标为，；
综上，点的坐标为或或或，．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析 式、二次函数与三角形面积的综合题、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定及性质、直角三角形的存在问题，分类讨论是解决问题的关键．
50．（2024•荆州模拟）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值．
【分析】（1）求出、的坐标，将点、的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；
（2）求出抛物线的顶点坐标及对称轴，设，分，， 三种情况讨论求解即可；
（3）依据题意，分两种情况，分别求解即可．
【解答】（1）直线，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为、，
将点、的坐标分别代入抛物线表达式得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）在该抛物线的对称轴上存在点，使以，，为顶点的三角形为直角三角形；理由如下：
，抛物线顶点的坐标为，对称轴为直线，
设，
又，
，，，
当时，，
，
解得，
点坐标为；
当时，则，
点坐标为；
当时，此时直角三角形不存在，
综上，点坐标为或；
（3）图象翻折后点的对应点的坐标为，
①当直线经过点时，与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时，，三点共线，；
②当直线 与该“”形状的图象在，两点之间（不包含点的部分只有一个交点时，直线 与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，由题意得，向下翻折的那部分抛物线在翻折后的解析式为：
，令，△ ，
解得：，
综上所述，的值为或．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质，解答本题的关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度不大．
51．（2024•平凉一模）如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）过点作，垂足为，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
（3）点在运动过程中，是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把，，代入得可解得；
（2）求出直线解析式为，由点的坐标为，轴，交抛物线于点，交于点，知，；故，根据二次函数性质可得答案；
（3）由，，，知以，，为顶点的三角形与相似，只需或；设，则或，解方程并检验可得答案．
【解答】解：（1）把，，代入得：
，
解得，
；
（2）由，得直线解析式为，
点的坐标为，轴，交抛物线于点，交于点，
，；
，
，
当时，取最大值2；
答：，当时，的最大值为2；
（3）存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，理由如下：
，，，
以，，为顶点的三角形与相似，只需或；
设，则，，
或，
解得或；
经检验，，均为方程的解，
，或，．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标合相关线段的长度．
52．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交于点，连接，，．的面积记为，的面积记为，当时，求的值；
（3）在（2）的条件下，点在抛物线上，直线与直线交于点，当与相似时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）把，代入可解得抛物线的解析式为；
（2）求出，直线解析式为，由直线轴，，得，，，故，而，根据，有，即可解得的值；
（3）由，，得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故，而与相似，且，可知在的右侧，且或，设，当时，，可解得，直线解析式为，联立解析式可解得的坐标为，或，；当时，同理得的坐标为，或，．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）在中，令得，
，
由，可得直线解析式为，
直线轴，，
，，
，
，
，，，
，
，
，
解得或与重合，舍去），
的值为2；
（3），，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
与相似，且，
在的右侧，且或，
设，
由（2）知，，，，
，，，，
当时，如图：
，
解得或（此时在左侧，舍去），
，
由，得直线解析式为，
解得或，
的坐标为，或，；
当时，如图：
，
解得（舍去）或，
，，
由，，得直线解析式为，
解得或，
的坐标为，或，；
综上所述，的坐标为，或，或，或，．
【点评】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
53．（2024•茌平区一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别相交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②若是的中点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式；
（2）①设点的坐标为，则求出直线的解析式，得到，求出，并根据二次函数的最大值得到答案；
②根据点的坐标得到，根据勾股定理求出长，由①知，，分两种情况：和，建立方程求出，得到点的坐标．
【解答】解：（1）将，代入抛物线，得：
，
解得，
该抛物线的解析式为．
（2）①由抛物线的解析式为，得．
设直线的解析式为，将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为．
设第一象限内的点的坐标为，则，
，，
．
，
当时，有最大值，为9．
②，，，
，，，，
，，，
，
，
．
轴于点，
，
．
以点，，为顶点的三角形与相似，只需或．
是的中点，，，
，，．
由①知，，
．
当时，，
解得或（舍去），
．
当时，，
解得或（舍去），
．
综上所述，以点，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为或．
【点评】此题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的最值问题，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
54．（2024•海勃湾区校级模拟）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，且，点和点关于抛物线的对称轴对称．
（1）分别求出，的值和直线的解析式；
（2）直线下方的抛物线上有一点，过点作于点，作平行于轴交直线于点，交轴于点，求的周长的最大值；
（3）在（2）的条件下，如图2，在直线的右侧、轴下方的抛物线上是否存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得的坐标，从而得到点的坐标，设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点，然后可求得直线的解析式；
（2）求得，接下来证明为等腰直角三角形，所当有最大值时三角形的周长最大，设，，则，然后利用配方可求得的最大值，最后根据的周长求解即可；
（3）当时，如果或时，则，设点的坐标为，则，则，，然后根据题意列方程求解即可．
【解答】解：（1）点的坐标为，
．
令，则，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将，代入得：，
解得，
抛物线的解析式为；
，；
抛物线的对称轴为，，
点和点关于抛物线的对称轴对称，
；
设直线的解析式为．
将、代入得：
，
解得，，
直线的解析式；
（2）直线的解析式，
直线的一次项系数，
．
平行于轴，
，
．
的周长．
设，则，
则．
当时，有最大值，最大值为4．
的周长的最大值；
（3）在直线的右侧、轴下方的抛物线上存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；理由如下：
设点的坐标为，则
①如图2.1，
若时，．
则，整理得：．
得：（负值舍去），
点为，；
②如图2.2，
若时，，
则，整理得：，
得：（负值舍去），
点为，，
综上所述，点的坐标为，或，．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出的长与的函数关系式是解题的关键．
55．（2024•凉州区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1），代入，解方程即可得到抛物线的解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，证明，得出，求出直线的解析式为，设，则，可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论；
（3）①设，，当点在直线右侧时，如图2，过点作轴于点，过点作直线于点，得出，，将点的坐标代入抛物线的解析式求得的值即可，②当点在直线左侧时，由①的方法同理可得点的坐标为，，代入抛物线的解析可得出答案．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，
，
，
．
在中，令，则，
解得：，，
；
设直线的解析式为，代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
．
．
当时，有最大值，最大值是；
（3）在第一象限存在这样的点，，使；符合条件的点的坐标为，或，．理由如下：
，
直线的解析式为，
①当点在直线右侧时，如图2.1，过点作轴于点，过点作直线于点，
设，，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
将点的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去）或．
，．
②当点在直线左侧时，如图2，
作轴于点，交的延长线于点，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
把，代入得：
，
整理得：，
解得，（不合题意，舍去），
此时点的坐标为，．
综上所述，符合条件的点的坐标是，或，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
56．（2024•香洲区校级一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，联结，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法可得；
（2）由，可得直线解析式为，设，由，有，即可解得；
（3）可得直线的表达式为，知在直线上，，，过点作轴于点，过作轴于，根据，可得直线和直线关于直线对称，有，，，从而可得直线的表达式为，点的坐标为，即得，，故，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，当时，有，解得；当时，，解得．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得：，
；
（2）由，可得直线解析式为，
设，则，
，
，要使四边形恰好是平行四边形，只需，
，
解得，
；
（3）在直线上存在点，使得与相似，理由如下：
是的中点，点，
点，
由（2）知，
直线的表达式为，
，
在直线上，，，
过点作轴于点，过作轴于，如图：
，故，
，
，
直线和直线关于直线对称，
，，
，
由点，可得直线的表达式为，
联立，
解得或，
点的坐标为，
，
，，，
，
，
，
，
，即，
与相似，点与点是对应点，
设点的坐标为，则，
当时，有，
，
解得或（在右侧，舍去），
；
当时，，
，
解得（舍去）或，
，
综上所述，的坐标为或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，相似三角形等知识，解题的关键是证明，从而得到与相似，点与点是对应点．
题型五：锐角三角形的存在性
57．（2024•南关区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，是常数）经过、两点．点为抛物线上一点，且点的横坐标为．（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）点为抛物线对称轴上一点，连结，，求周长的最小值；
（3）已知点，连结，以为对角线作矩形，且矩形各边垂直于坐标轴．
①抛物线在矩形内的部分图象随增大而减小，且最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求的值；
②连结，设的中点为，当以、、为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）点关于直线的对称点，连接与对称轴交于点，此时的周长最小；
（3）①先确定当或时，抛物线在矩形内的部分图象随增大而减小，再分两种情况讨论：当时，，解得或（舍，当时，，解得或（舍；，解得；
②求出直线的解析式为，可知、、三点共线，过点与垂直的直线解析式，当点在直线上时，，解得，当点在直线上时，，解得，即可得时或时，以、、为顶点的三角形为锐角三角形．
【解答】解：（1）将点、代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2），
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点，
连接与对称轴交于点，此时，
，，
周长的最小值为；
（3）①点横坐标为，
，
当时，解得，此时、点重合，
当时，解得，此时、点重合，
当时，解得，此时点与点重合，
当或时，抛物线在矩形内的部分图象随增大而减小，
当时，，解得或（舍，
当时，，解得或（舍，
，解得；
综上所述：的值为3或或；
②，，的中点为，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
、、三点共线，
，
，
过点与垂直的直线解析式，
当点在直线上时，，
解得；
当点在直线上时，，
解得，
时或时，以、、为顶点的三角形为锐角三角形．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键．
题型六：钝角三角形的存在性
58．（2024•绿园区一模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过点．点在抛物线上，其横坐标为．点是平面直角坐标系中的一点，其坐标为．点是抛物线的顶点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当点恰好落在抛物线上，且点不与点重合时，求线段的长；
（3）连结、、，当是钝角三角形时，求的取值范围；
（4）当时，连结并延长交抛物线的对称轴于点，过点作直线的垂线，垂足为点，连结、、．当折线与抛物线有两个交点（不包括点时，设这两个交点分别为点、点，当四边形（或四边形的面积是四边形的面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
【分析】（1）运用待定系数法把点代入抛物线解析式中，求得的值，即可求出抛物线的函数表达式；
（2）由点恰好落在抛物线上，把点坐标代入抛物线解析式中可求得的值，从而求得点、的坐标，由勾股定理即可求得的长；
（3）当，且时，求得或，结合图象可得：当时，，即是钝角三角形；当时，可求得，得出当时，，即是钝角三角形；当时，时，即是钝角三角形；当时，，即是钝角三角形；
（4）分两种情况：①四边形的面积是四边形的面积的一半时，则，再根据点是的中点，可求得，，再代入抛物线解析式求得的值；②当四边形的面积是四边形的面积的一半时，则得，再根据点是的中点，可求得的坐标，代入抛物线解析式求得的值．
【解答】解：（1）抛物线是常数）经过点，
，
解得：，
该抛物线对应的函数表达式为；
（2）点恰好落在抛物线上，
，
解得：或0，
点不与点重合，
，
，
，，
；
（3），
，又，
当，且时，如图，过点作轴于，设抛物线对称轴交轴于，
则，，，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，即，
解得：（舍去）或或（舍去），
当时，，即是钝角三角形；
当时，如图，
，，
，
即和均为等腰直角三角形，
，
，
，
当时，，即是钝角三角形；
当时，时，即是钝角三角形；
当时，，即是钝角三角形；
综上所述，当是钝角三角形时，的取值范围为或或或；
（4），
点在平行于轴的直线上，且距轴3个单位长度；
如图，设交抛物线对称轴于点，交抛物线对称轴于点，直线记为，
，，，
，，，
，
；
，，
，即点是的中点，
由中点坐标得：，
；
①当四边形的面积是四边形的面积的一半时，
，
，即点是的中点，
，
由中点公式得，；
点在抛物线的图象上，
，
解得：，，
由于，则；
②当四边形的面积是四边形的面积的一半时，
，
，
，即点是的中点，
由中点公式得，，
点在抛物线的图象上，
，
解得：，，
由于，则；
综上所述，当四边形（或四边形的面积是四边形的面积的一半时，的值为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，图形面积，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式等知识，综合性强，运算量较大，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型七：全等三角形的存在性
59．（2024•南丹县一模）如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为点．
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，点是抛物线上一点，且位于轴上方，横坐标为，连接，
若，求的值；
（3）如图2，将抛物线平移后得到顶点为的抛物线．点为抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）根据、两点的坐标用待定系数法求出解析式；
（2）如图，当点在轴上方时，若，则，先求直线的解析式，由点的坐标可求出直线的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点的坐标，当点在轴下方时，由轴对称的性质可求出直线的解析式，同理联立直线和抛物线方程则求出点的坐标；
（3）先求出的解析式，可设出点坐标，表示、坐标及、，根据以，，为顶点的三角形与全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求点坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得．
抛物线所对应的函数解析式为；
（2）当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
如答图1，当点在轴上方时，
，
，
设直线的解析式为，
直线经过点，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
解得：，（舍去），
，
综合以上可得的值为；
（3）抛物线平移后得到，且顶点为，
，
即．
设，则，
，
①如答图2，当在点上方时，
，，
与全等，
当且时，，
，，
当且时，无解；
②如答图3，当点在点下方时，
同理：，，，
，
则，．
综合可得点坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
题型八：等边三角形的存在性
60．（2024•南康区模拟）如图，已知抛物线与直线相交于，．
（1） ；
（2）抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线，抛物线与直线相交于，（点在点左边），已知抛物线顶点的横坐标为．
①当时，抛物线的解析式是 ， ；
②连接，，当为等边三角形时，求点的坐标．
【分析】（1）在中，令得，解得或，即可求解；
（2）①由平移的性质得到函数表达式，即可求解；
②求出，，，，由，得到，即可求解．
【解答】解：（1）在中，令得，
解得或，
，，
，
故答案为：2；
（2）①时，，
抛物线的顶点平移到点，
抛物线的解析式是，
在中，令得，
解得或，
抛物线与直线的交点为和，
；
故答案为：，4；
②过点作于，如图：
设，则抛物线的解析式为，
在中，令得，
解得或，
，，，，
是等边三角形，
，
，
，
解得或，重合，舍去），
．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及平移变换，等边三角形等知识，解题的关键是读懂题意，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
61．（2023•恩施州）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．
（1）如图，若，抛物线的对称轴为．求抛物线的解析式，并直接写出时的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若为轴上的点，为轴上方抛物线上的点，当为等边三角形时，求点，的坐标；
（3）若抛物线经过点，，，且，求正整数，的值．
【分析】（1）把点的坐标代入抛物线的解析式，可得，由对称轴是，可求得；当时，结合图象求得的范围；
（2）连接，在对称轴上截取，分两种情况进行讨论，根据题意可得、、、四点共圆，先证、、在同一直线上，根据等边三角形的性质，两点之间的距离公式，坐标系中的交点坐标特征等即可求解．
（3）由抛物线过点，可设设抛物线解析式为，于是再将点的坐标代入解析式中可得，再利用，，为正整数求解即可．
【解答】解：（1） ，抛物线的对称轴为．
，，
解得：，
抛物线解析式为，
当时，，
解得：，，
的取值范围是：；
（2）连接，在对称轴上截取，
由已知可得：，，
在中，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
是等边三角形，
，
点在上，
，
，
设的解析式为，则有：
，
解得：，
的解析式为：，
由，得：
，，
当时，，
，，
设，则有：
，
解得：，
；
当与重合时，
，
点与点关于轴对称，符合题意，
此时，，；
，，或，；
（3）抛物线经过点，，
设抛物线解析式为，
将点代入中，得，
整理得：，
，且，为正整数，
，
，为正整数，且，
当，时，
解得：，；
当，时，
解得：，．
，或，．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
62．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．
（1）求此抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
（2）若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
（3）已知点在抛物线的对称轴上，点的坐标为，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据对称轴公式求出，再将点代入函数解析式即可求的值，从而确定函数解析式；
（2）设直线所在的直线为，当时，，，可得，点到直线的距离为，根据等边三角形的性质可得，求出的值即可求三角形的边长；
（3）设，，根据菱形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式和两点间距离公式建立方程，求出点坐标即可．
【解答】解：（1）对称轴是直线，
，
解得，
，
将点代入，可得，
函数的解析式为，
当时，，
顶点；
（2）设直线所在的直线为，
当时，，，
，
，
点到直线的距离为，
是等边三角形，
，即，
解得或（舍，
三角形的边长为；
（3）在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设，，
①当为菱形对角线时，，
，
解得，
；
②当为菱形对角线时，，
，
解得或（舍，
；
③当为菱形对角线时，，
，
解得或，
或；
综上所述：点坐标为或或或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，菱形的性质是解题的关键．
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