压轴题04二次函数的应用大题专练（七大类型）-2023年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

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2023年中考数学压轴题专项训练
专题04二次函数的应用大题专练（七大类型）

类型一、销售问题
例1．（2023·浙江湖州·统考一模）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-3x+900．
(1)若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元?
(2)设获得的销售利润（不含政府补贴）为w（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润?
(3)若每月获得的总收益（每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴）不低于28800元，求该月销售单价的最小值．





类型二、图形面积问题
例2．（2023春·湖北武汉·九年级校联考期中）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
(1)设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____m2，花卉B的种植面积是______m2，花卉C的种植面积是_______m2．
(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．





类型三、拱桥问题
例3．（2023·安徽黄山·统考一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成.矩形OABC的边OA=34米，OC=9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为(92,245).
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON=7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F.
①求EF的最大值.②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是125米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围.

类型四、投球问题
例4．（2023·浙江丽水·统考一模）某天，小明在足球场上练习“落叶球”（如图1），足球运动轨迹是抛物线的一部分，如图2，足球起点在A处，正对一门柱CD，距离AC=12m，足球运动到B的正上方，到达最高点2.5m，此时AB=10m．球门宽DE=5m，高CD=2m．
(1)以水平方向为x轴，A为原点建立坐标系，求足球运动轨迹抛物线的函数表达式．
(2)请判断足球能否进球网？并说明理由．
(3)小明改变踢球方向，踢球时，保持足球运动轨迹抛物线形状不变的前提下，足球恰好在点E处进入球网．若离A点8m处有人墙GH，且GH∥CF，人起跳后最大高度为2.2m，请探求此时足球能否越过人墙，并说明理由．




类型五、喷水问题
例5．（2023·山东潍坊·统考一模）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度OH=1.5米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=2米，竖直高度EF=1米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l的距离OD为d米．
(1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFC位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．



类型六、几何动点问题
例6．（2023·山东青岛·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，AD=10cm，点P、Q分别是线段CD和AD上的动点．点P以2cm/s的速度从点D向点C运动，同时点Q以1cms的速度从点A向点D运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动，将PQ沿AD翻折得到QP'，连接PP'交直线AD于点E，连接AC、BQ．设运动时间为ts，回答下列问题：
(1)当t为何值时，PQ∥AC？
(2)求四边形BCPQ的面积Scm2关于时间ts的函数关系式；
(3)是否存在某时刻t，使点Q在∠PP'D平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．




类型七、图形运动问题
7．（2023·天津·校联考一模）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形AOBC是正方形，顶点A-4，0，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限，△MON的顶点M0，5，点N5，0．
(1)如图①，求点B，C的坐标；
(2)将正方形AOBC沿x轴向右平移，得到正方形A'O'B'C'，点A，O，B，C的对应点分别为A'，O'，B'，C'．设OO'=t，正方形A'O'B'C'与△MON重合部分的面积为S．
①如图②，当1 ②若平移后重合部分的面积为92，则t的值是_______（请直接写出结果即可）．



一．解答题（共24小题）
1．（2023•宁波一模）抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数），部分对应值如下表：
每件售价（元）
9
11
13
每天的销售量（件）
105
95
85
（1）求y与x的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？





2．（2023•莱西市一模）某公司电商平台经销一种益智玩具，先用3000元购进一批．售完后，第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进益智玩具的数量比第一次少了25件．销售时经市场调查发现，该种益智玩具的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x（元/件），周销售量y（件）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
（1）求第一次每件玩具的进价；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）售价x为多少时，第一周的销售利润W最大？并求出此时的最大利润．






3．（2023•天山区一模）一名高校毕业生响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为16元/千克、设销售时间为x（天），通过一个月（30天）的试销，该种水果的售价P（元/千克）与销售时间x（天）满足如图所示的函数关系（其中0≤x≤30，且x为整数）．已知该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克．
（1）直接写出售价P（元/千克）与销售时间x（天）的函数关系式；
（2）求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？





4．（2023•武汉模拟）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场地面积雪厚达40cm，整个赛道长150m，全天共可容纳约3300人滑雪嬉戏．小明和小华相约去体验滑雪，小明从赛道顶端A处下滑，测得小明离A处的距离s（单位：m）随运动时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表．
滑行时间x/s
0
1
2
3
4
滑行距离s/m
0
6
14
24
36
经验证小明离A处的距离s与运动时间x之间是二次函数关系．
小明出发的同时，小华在距赛道终点30m的B处操控一个无人机沿着赛道方向以2m/s的速度飞向小明，无人机离A处的距离y（单位：m）与运动时间x（单位：s）之间是一次函数关系．
（1）直接写出s关于x的函数解析式和y关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）小明滑完整个赛道需要耗时多久？
（3）小明出发多久后与无人机相遇？​

5．（2023•邯郸模拟）将小球（看作一点）以速度v1竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度y（m）与时间t（s）的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度v1（m/s）与时间t（s）的积，另一部分与时间t（s）的平方成正比．若上升的初始速度v1＝10m/s，且当t＝1s时，小球达到最大高度．
​（1）求小球上升的高度y与时间t的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度；
（2）如图，平面直角坐标系中，y轴表示小球相对于抛出点的高度，x轴表示小球距抛出点的水平距离，向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度v2（m/s），发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度y（m）与时间t（s）的函数解析式与（1）中的解析式相同．
①若v2＝5m/s，当 t=32s 时，小球的坐标为 　 　，小球上升的最高点坐标为 　 　；求小球上升的高度y与小球距抛出点的水平距离x之间的函数关系式；
②在小球的正前方的墙上有一高 3536m的小窗户PQ，其上沿P的坐标为（6，154），若小球恰好能从窗户中穿过（不包括恰好去中点P，Q，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度v2的取值范围．

6．（2023•崂山区一模）跳台滑雪简称“跳雪”，选手不借助任何外力、从起滑台P处起滑，在助滑道PE上加速，从跳台E处起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．运动员从P点起滑，沿滑道加速，到达高度OE＝42m的E点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，OM＝38m，ON＝114m，设MN所在直线关系式为y＝kx+b．
甲运动员起跳后，与跳台OE水平距离xm、竖直高度ym之间的几组对应数据如下：
水平距离x/m
0
10
20
30
40
竖直高度y/m
42
48
50
48
42
（1）求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式；
（2）运动员得分由距离得分+动作分+风速得分组成距离得分：运动员着陆点到跳台OE水平距离为50m，即得到60分，每比50m远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比50m近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3米则计为60.5米．
动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分．
风速得分：由逆风或者顺风决定．
甲运动员动作分、风速加分如下表：
距离分
动作分
风速加分

50
﹣2.5
请你计算甲运动员本次比赛得分．













7．（2023•镇平县模拟）为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图①是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线AED和矩形ABCD构成．已知矩形的长BC＝12米，宽AB＝3米，抛物线最高点E到地面BC的距离为6米．
（1）按图①所示建立平面直角坐标系，求抛物线AED的解析式；
（2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱PQ和NM，如图②所示．
①若两根支撑柱的高度均为5.25米，求两根支撑柱之间的水平距离；
②为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN，搭建成一个矩形“脚手架”PQMN，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和w的最大值，请你帮管理处计算一下．



8．（2023•宝应县一模）科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在0≤x≤8时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x（分钟）满足关系y＝2x+68，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的图象呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束．
（1）当x＝8时，注意力指数y为 　 　，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式是 　 　；
（2）若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
（3）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）（参考数据：6≈2.449)






9．（2023•昭阳区一模）新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？
（3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？









10．（2023•大丰区一模）比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．
已知：某建筑OA的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离d（m）与运动时间t（s）之间的函数表达式是：d＝7t，在竖直方向物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝4.9t2．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，OA所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线．
（1）求小铁球从抛出到落地所需的时间；
（2）当t＝1时，求小铁球P此时的坐标；
（3）求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．



11．（2023•南昌模拟）一个运动员跳起投篮，球的运行路线可以看做是一条抛物线，如图1所示，图2是它的示意图，球的出手点D到地面EB的距离为2.25m（即DE＝2.25m，当球运行至F处时，水平距离为2.5m（即F到DE的距离为2.5m），达到最大高度为3.5m，已知篮圈中心A到地面EB的距离为3.05m，篮球架AB可以在直线EB上水平移动．
（1）请建立恰当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式；
（2）若篮球架离人的水平距离EB为4.5m，问该运动员能否将篮球投入篮圈？若能，说明理由；若不能，算一算将篮球架往哪个方向移动，移动多少距离，该运动员此次所投的篮球才能投入篮圈．




12．（2023•义乌市校级模拟）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状；如图，若在一个斜坡CD上按水平距离间隔90米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米，如果按如图建立坐标系（x轴在水平方向上），那么下垂的电缆可以看成抛物线y=1240x2+14x．
（1）求出图中点A及点B的坐标；
（2）求斜坡坡面CD所在直线的解析式；
（3）假设这种电缆下垂的安全高度是12米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值大于或等于12米时，符合安全要求，否则不符合安全要求；探索：上述这种电缆的架设是否符合安全要求．





13．（2023•城关区一模）如图1为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置OA，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高高度为3m．水柱落地处离池中心的水平距离为3m．小刚以柱形喷水装置OA与地面交点O为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，柱形喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2．
（1）求表示该抛物线的函数表达式；
（2）若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．



14．（2023•城阳区一模）某农户家的菜地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．大棚的一端固定在墙体AO离地面高53米的点A处，另一端固定在地面的点B处，已知大棚上横截面抛物线顶部某点离地面的垂直高度y（米）与其离墙体AO的水平距离x（米）之间的关系满足y=-112x2+bx+c，现测得点B到墙体AO之间的水平距离为10米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求大棚的最高点到地面的距离；
（3）该农户想在大棚横截面抛物线顶部两侧，紧贴抛物线顶部安装照明灯，且照明灯到地面垂直高度为4724米，则两个照明灯的水平距离是多少米？




15．（2023•亳州二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．灌溉车到绿化带的距离OD为dm．当OH＝1.5m，DE＝3m，EF＝0.5时，解答下列问题.
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求出点B的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．


16．（2023•市南区一模）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，今年情况有所不同，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y1（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额y2（元）与x关系的图象，y2经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为200kg．
（总利润＝总销售额﹣总进价）
（1）直接写出t、p、q的值；
（2）分别求出y1，y2与x的关系式；
（3）当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？

17．（2023•临潼区二模）2023兔年春节期间，全国各地举办焰火晚会，庆祝农历新年的到来．九年级学生王毅也在父母的陪同下前往指定区域燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，王毅燃放的手持烟花发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的规律如下表：
飞行时间t/s
0
0.5
1
4.5
……
飞行高度h/m
2
9.5
16
33.5
……
（1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．王毅发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．










18．（2023•武侯区校级模拟）2023年3月，成都市政府印发《成都市促进新能源汽车产业发展的实施意见》，其中大力促进新能源汽车消费成为抓手之一．已知某商家对一款新能源汽车进行销售，市场调研发现：月销量y（单位：辆）与销售价x（单位：万元/辆，且14≤x≤21）满足一次函数关系，部分数据如表：
x
16
17
18
19
20
y
30
27
24
21
18
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若商家购进这款汽车的价格为12万元，试问：当x为多少时，总利润最大？并求出此时利润的最大值．









19．（2023•驿城区校级二模）如图，在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员6米的A处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．

（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B与守门员（点O）的距离；
（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）




20．（2023•青岛一模）振华公司对其办公楼大厅一块6×6米的正方形ABCD墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分是八个全等的矩形，用材料甲装修，中心区域是正方形EFGH，用材料乙装修）．两种材料的成本如下：
材料
甲
乙
单价（元/米2）
800
600
​
设矩形的较短边AM的长为x米，装修材料的总费用为y元．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）当中心区域的边长EF不小于2米时，预备材料的购买资金28000元够用吗？请说明理由．




21．（2023•莱西市一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，AD＝10cm，点P、Q分别是线段CD和AD上的动点．点P以2cm/s的速度从点D向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从点A向点D运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动，将PQ沿AD翻折得到QP'，连接PP'交直线AD于点E，连接AC、BQ．设运动时间为t（s），回答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥AC？
（2）求四边形BCPQ的面积S（cm2）关于时间t（s）的函数关系式；
（3）是否存在某时刻t，使点Q在∠PP'D平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．




22．（2023•市南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题：
（1）t为何值时，BE＝BF；
（2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．








23．（2023•崂山区一模）已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，AD＝DC＝8cm，BC＝6cm，连接BD，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，点D在线段PQ的垂直平分线上？
（2）延长PQ交BC于点E（如图2），若四边形APEB是平行四边形．求t的值；
（3）设△DPQ的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；
（4）是否存在某一时刻t，使得PQ与BD的夹角为45°？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．





24．（2023•青岛一模）如图，在正方形ABCD中，AB=42cm，将正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°得到正方形CEFM．动点P从点A出发，沿AC方向运动，运动速度为1cm/s．过点P作AC的垂线，交AD于点Q，连接CQ，交PF于点H．设动点P的运动时间为ts（0＜t＜8）．解答下列问题：
​（1）当t为何值时，S△APQ：S△CDF＝1：4？
（2）设△PFQ的面积为Scm2，求S与t之间的关系式；
（3）当运动时间为2 s时，求PH的长；
（4）若N是PF的中点，在运动的过程中，点N到∠DFE两边距离的和是否为定值？请说明理由．