2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题02 反比例函数大题（二大题型）（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题02 反比例函数大题（二大题型）（含解析），共51页。试卷主要包含了如图，双曲线与直线交于，两点等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
题型一．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
题型二．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
题型一．反比例函数与一次函数的交点问题（共25小题）
1．（2024•新北区校级模拟）如图，双曲线与直线交于，两点．点和点在双曲线上，点为轴正半轴上的一点．
（1）求双曲线的表达式和，的值；
（2）请直接写出使得的的取值范围；
（3）若的面积为12，求此时点的坐标．
【分析】（1）把点和点代入，求出与的值，再将点坐标代入，即可求出反比例函数解析式；
（2）根据与横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时的范围即可；
（3）根据，求出的长，进而得到此时点的坐标．
【解答】解：（1）直线过点和点，
，，
．
双曲线过点，
，
双曲线的表达式为；
（2）观察图象，可得当或时，反比例函数值大于一次函数值，
即使得的的取值范围是或；
（3），，
，
，
，
此时点的坐标为．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想，正确求出反比例函数解析式是解本题的关键．
2．（2023•苏州）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接，的中点在反比例函数的图象上．
（1）求，的值；
（2）当为何值时，的值最大？最大值是多少？
【分析】（1）首先将点代入可求出，再将点的坐标代入即可求出；
（2）过点作直线轴于，交于，先证和全等，得，，进而可求出点，根据平移的性质得点，则，，据此可得出，最后求出这个二次函数的最大值即可．
【解答】解：（1）将点代入，得：，
点的坐标为，
将点代入，得：．
（2）点的横坐标大于点的横坐标，
点在点的右侧．
过点作直线轴于，交于，
由平移的性质得：轴，，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，．
轴，点的坐标为，
，
，
点的纵坐标为4，
由（1）知：反比例函数的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
点，，轴，
点的坐标为，
，
，
当时，取得最大值，最大值为36．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象、二次函数的图象和性质，点的坐标平移等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解点的坐标的平移，难点是在解答（2）时，构造二次函数求最值．
3．（2024•常州模拟）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．
（1）求函数和的表达式；
（2）若在轴上有一动点，当时，求点的坐标．
【分析】（1）将点，分别代入反比例函数和一次函数的解析式，求解即可；
（2）设与轴交于点，过点作轴交于点，利用三角形的面积公式，列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）将点，分别代入反比例函数和一次函数的解析式，
，，
，．
反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：．
（2）如图，设与轴交于点，过点作轴交于点，
设，
．
．
令，则，
，
，
．
．
，即．
解得或，
点的坐标为或．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．（2024•常州模拟）如图，一次函数与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足时的取值范围；
（3）点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若的面积为3，求点的坐标．
【分析】（1）将点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得的坐标，再将、两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由题意即求的的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的的取值范围；
（3）由题意，设且，则，求得，根据三角形面积公式得到，解得即可．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
．
．
反比例函数解析式为．
把，代入，得．
点坐标为，，
一次函数解析式图象经过，，，
．
．
故一次函数解析式为：．
（2）由，
，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，．
（3）由题意，设且，
．
．
．
解得，．
，或．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
5．（2024•沭阳县模拟）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．若，求的取值范围．
【分析】（1）将点，点坐标代入反比例函数的解析式，可求和的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
（2）先求出点坐标，由面积关系可求解．
【解答】解：（1）反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，
，
，，
点，反比例函数的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
一次函数解析式为；
（2）直线交轴于点，
点，
，
，
，
．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．
6．（2024•宿迁二模）已知函数的图象与函数的图象交于点
（1）若，求的值和点的坐标．
（2）当时，结合函数图象，直接写出实数的取值范围．
【分析】（1）由得，然后由可得到的值，设，将点的坐标代入反比例函数解析式可求得的值；
（2）由得，然后结合条件可得的取值范围．
【解答】解：（1），
．
，
，
，解得：．
．
，或，．
（2），
，
，
．
【点评】本题主要考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
7．（2024•泉山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积．
【分析】（1）联立方程求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）联立方程求得交点的坐标，进而求得直线与轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）由得，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式是；
（2）解得或，
，
由直线的解析式为得到直线与轴的交点为，
．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，通过方程组求得交点坐标是解题的关键．
8．（2023•常州）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、．是轴上的一点，连接、．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）若的面积是6，求点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）先求得，再根据得，进而得出，据此可得点的坐标．
【解答】解：（1）点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为；
又点在上，
，
点的坐标为，
把和两点的坐标代入一次函数得，
解得，
一次函数的解析为．
（2）对于一次函数，令，则，
即，
根据题意得：，
解得：，
或12，
或．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标同时满足一次函数与反比例函数解析式．
9．（2024•姜堰区一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，．
（1）求、的值；
（2）当时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到，代入、点的坐标再代入一次函数解析式组成方程组求出和，最后求出值即可；
（2）根据函数图象直接写出当时自变量取值范围即可．
【解答】解：（1）点，都在反比例函数图象上，
，
整理得：，
，，
，解得．
，在直线的图象上，
，解得，
，
在反比例函数图象上，
．
，．
（2）由（1）可知：，，根据函数图象可知，时，的取值范围为：．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
10．（2024•昆山市模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的坐标为，点的坐标为．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出满足的取值范围；
（3）求的面积．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据图像直接写出不等式的解集即可；
（3）根据代入数据计算即可．
【解答】解：（1），在反比例函数图象上，
，
，
反比例函数解析式为：，
，在一次函数图象上，
，解得，
一次函数解析式为：．
（2）根据两个函数图象及交点坐标，不等式的解集为：或．
（3）设直线与轴的交点为，则即，
．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
11．（2024•兴化市一模）已知函数是常数，，函数．
（1）若函数和函数的图象交于点，点．
①求，的值．
②当时，直接写出的取值范围．
（2）若点在函数的图象上，点先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值．
【分析】（1）①根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可；
②根据图形分布和解答横坐标直接写出不等式解集即可；
（2）先根据平移条件得到，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值即可．
【解答】解：（1）①函数和函数的图象交于点，点，
，解得：，．
②由①可知，反比例函数解析式为，图象分布在第一、三象限，，
时，的取值范围为：或．
（2）点在函数的图象上，点先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点，
，
恰好落在函数图象上，
，解得．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
12．（2024•南通模拟）如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，且恰为线段的中点，连接．若．求的值．
【分析】设出点的坐标，进而可以表示出点和点的坐标，再根据的面积即可解决问题．
【解答】解：设点坐标为，
点为线段的中点，
，
则点的坐标为，
，
，
则点坐标为．
又的面积为6，
，
解得，
故的值为4．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．
13．（2024•亭湖区模拟）如图，等腰三角形中，，点坐标为顶点在反比例函数的图象上，且的面积为12．
（1） 12 ．
（2）过点直线对应的解析式为与双曲线在第一，三象限交点分别为点，．
①求点，的坐标．
②直接写出不等式的解集．
【分析】（1）过点作于点，利用三角形面积求得 即可求得点的坐标是，将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）①求得一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求解；
②根据图象即可求得．
【解答】解：（1）过点作于点，
等腰三角形中，，点坐标为，
，
的面积为12，
，
，
，
顶点在反比例函数的图象上，
解得：，
故答案为：12；
（2）①把点的坐标代入得：，
，
过点直线解析式为，
联立，解得或，
，；
②观察图象，不等式的解集是或．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点的求法，函数与不等式的关系，求得点的坐标以及数形结合是解题的关键
14．（2024•常熟市模拟）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数图象相交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？
【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）根据三角形面积公式列出关于的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可．
【解答】解：（1）点在一次函数的图象上，
，解得，
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：；
（2）在一次函数中，令，则，
，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
，
，
，
，
有最大值，当时，最大值．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数关系式是关键．
15．（2024•东海县一模）一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于，两点，其中．
（1）求反比例函数表达式；
（2）结合图象，直接写出时，的取值范围；
（3）若把一次函数的图象向下平移个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请直接写出的值．
【分析】（1）待定系数法求出值即可；
（2）根据图像和两个函数的交点坐标，直线写出不等式的解集即可；
（3）把一次函数的图象向下平移个单位得到新的解析式为：，联立方程组得到，利用判别式等于0，解出值即可．
【解答】解：（1）在一次函数图象上，
，即，
在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：；
（2）联立方程组，解得或，
，，
根据两个函数图象可知：不等式的解集为：或；
（3）把一次函数的图象向下平移个单位得到新的解析式为：，
联立方程组，消掉得：，
整理得：，
△，
，
或1．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
16．（2024•钟楼区校级模拟）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）若点是轴上一点，且满足的面积是10，请求出点的坐标．
【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式求出，从而求出点坐标，再通过待定系数法求一次函数解析式；
（2）通过观察图象交点求解；
（3）设点坐标为，通过三角形的面积为10及三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）将代入得，
解得，
反比例函数解析式为．
，
解得，
所以点坐标为，
把，代入得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）由图象可得当或时式；
（3）设点坐标为，一次函数与轴交点为，
把代入得，
解得，
点坐标为．
，
，即，
解得或．
点坐标为或．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与不等式的关系．
17．（2024•姑苏区校级模拟）如图，以轴上长为1的线段为宽作矩形，矩形长、交直线于点、，反比例函数的图象正好经过点、．
（1）线段长为 ；
（2）求值．
【分析】（1）表示出、的坐标，然后利用勾股定理即可求得的长度；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得即可．
【解答】解：（1）点、在直线图象上，
设，则，，即
．
故答案为：；
（2）反比例函数的图象正好经过点、，
，
解得，
．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求线段的长度，正确表示出点的坐标是解题的关键．
18．（2024•昆山市一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，为常数，且与反比例函数为常数，且的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当时，直接写出自变量的取值范围；
（3）已知一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，若的面积为9；求点的坐标．
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据函数图象，写出反比例函数图象在一次函数上方时且在轴上方时，自变量的取值范围，即可求解；
（3）先求得点的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：（1）将代入，
解得：，
反比例函数表达式为，
将代入，
解得：，
，
将，代入，
得，
解得：，
一次函数的表达式为：；
（2），，
根据函数图象可得：当时，；
（3），令，
解得：，
，
设，
则，
的面积为9，
，
解得：或，
或．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．
19．（2024•盐城模拟）如图，已知一次函数的图象与反比例函数，分别交于点和点，且、两点的坐标分别是和．，连接、．
（1）求一次函数与反比例函数的函数表达式；
（2）求的面积．
【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式，用两点坐标求出直线解析式即可；
（2）求出直线与轴的交点的坐标，利用代入数据计算即可．
【解答】解：（1）点在反比例函数图象上，
，反比例函数解析式为：；
．在反比例函数图象上，
，即，
点在一次函数的图象上，
，解得：，
一次函数解析式为：，
（2）设直线交轴于点，当，，，．
所以．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，是两个函数值大小的分界点．
20．（2024•天宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且．点是轴正半轴上一点，连接，．
（1）求和的值；
（2）求的面积．
【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式，求出的值，再利用平行线分线段成比例的性质得出，，求出点坐标，即可求出的值；
（2）根据得到是等腰直角三角形，求出，再求的面积即可．
【解答】解：（1）将点代入一次函数，
得，
解得，
，
，
在中，令，则，
，
，
过点作轴于点，则，
，
，
，
，，
，
，
反比例函数的图象过点，
；
（2），轴于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
的面积为：．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质，求出点坐标是解决本题的关键．
21．（2024•姑苏区校级一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）过点作轴于点，连接，求四边形的面积；
（3）根据图象直接写出使成立的的取值范围．
【分析】（1）采用待定系数法求函数解析式．先将点的坐标代入反比例函数解析式，求出值，再将点代入反比例函数解析式求出值，然后将、点坐标代入一次函数解析数即可．
（2）四边形的面积可由一次函数与坐标轴围成的三角形减去两个小三角形的面积得到，求出一次函数与坐标轴的交点即可求出面积．
（3）结合图象确定的取值范围即可．
【解答】解：（1）将点代入中，
得，解得，
故；
将点代入，可得，
将，代入，
得，解得，
故；
（2）如图所示，
对于一次函数，
令，则，即
令，则，即，
，，
，轴，
，，
设的高为，由可知，
；
（3）结合图象可知，当时，
的取值范围为或．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象性质、待定系数法等综合知识，解决本题的关键是求得正确的点的坐标，将四边形放在大三角形中求解面积．
22．（2024•新北区一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点、．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，若，求的面积．
【分析】（1）将点坐标分别代入两个解析式得到、值即可；
（2）将分别代入两个解析式求出点、坐标，根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：，
的图象过点，
．解得，
一次函数解析式为：．
（2）将代入得，
，
将代入得，
，，
，
．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
23．（2024•武进区校级模拟）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，．
（1）求点的坐标及反比例函数的解析式；
（2）若点是直线与反比例函数图象的另一个交点，求的面积．
【分析】（1）求出点、点的坐标，然后表示出、的长度，再根据轴得出，由得出，求出点的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）联立两个函数解析式求出点坐标，再根据三角形的面积公式求面积即可．
【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
，，即，，
轴，
轴，
，
，
，
，
点的横坐标为，
点在直线上，
点，
，
反比例函数的解析式为；
（2）联立方程组，
解得或，
直线与反比例函数图象的另一个交点的坐标为，
．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，求出反比例函数解析式是解答本题的关键．
24．（2024•东海县一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点是反比例函数图象在第一象限上的点，且，请求出点的坐标；
（3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，再将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”， 为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径” 的长．
【分析】（1）用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）由，得点满足在与距离为的直线上，即在或上，列方程组求出交点，即可求出点；
（3）将反比例函数平移后组成方程组求出交点，再求出长即可．
【解答】解：（1）把代入，得，
，
，
把代入，得，
，
，
，
一次函数和反比例函数的表达式分别为：，；
（2）令中，得，
点，
，
，
，即点满足在与距离为的直线上，
点在或上，
由，得，，
点在第一象限，
点坐标为，，
由，得，，
点在第一象限，
点坐标为，，
综上点坐标为，或，；
（3）平移之后的曲线为：和，
由，得，，
点，点，，
．
【点评】本题考查了一次函数及反比例函数的性质的应用，待定系数法的应用及交点的求法是解题关键．
25．（2024•泗阳县校级二模）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及的面积；
（3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围．
【分析】（1）先把点坐标代入代入，求出得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据轴上点的坐标特征确定点坐标，然后根据三角形面积公式和的面积进行计算；
（3）观察函数图象得到当或时，一次函数图象都在反比例函数图象下方．
【解答】解：在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为：，
把代入，
得，解得，
则点坐标为．
把，分别代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
（2），
当时，，
点的坐标为：，
的面积的面积的面积
；
（3）由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值．
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．
题型二．反比例函数综合题（共8小题）
26．（2024•泰兴市一模）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，顺次连接这四个点得到四边形．
（1）若对角线、交于点，直线的表达式为，直线的表达式为．
①求证：四边形为平行四边形；
②求的面积；
（2）如图2，四边形为平行四边形，平行于轴，求、的交点坐标；
（3）如图3，四边形为平行四边形，求证：、相交于点．
【分析】（1）①根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定即可；
②先求出坐标，利用代入数据计算即可；
（2）设，，，，，，，，根据平行四边形性质得到，简化坐标字母可得，，，，，，，，根据坐标分别求出直线和的解析式，都是正比例函数，都过原点，即可得到交点坐标为；
（3）设，，，，根据平行四边形性质得到，，简化坐标字母可得，，，，根据坐标分别求出直线和的解析式，都是正比例函数，都过原点，即可得到交点坐标为．
【解答】（1）①证明：直线的表达式为，直线的表达式为都过原点，且点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，
根据两个反比例函数图象都是中心对称图形，
，，
四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
②解：将函数与联立方程组得：，
解得，，
，，，，
同理求得：，，
如图1，作轴，垂足为，作轴，垂足为，
，
．
（2）解：设，，，，，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，，，，，，
设直线解析式为：，代入点、坐标得：，，
直线的解析式为：，
同理可得解析式为：，
直线与交于原点，交点坐标为．
（3）证明：设，，，，
，，
，即，，即，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，，，
待定系数法求得直线解析式为：，函数图象过原点；
待定系数法求得直线解析式为：，函数图象过原点；
与的交点坐标为．
【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握平行四边形性质和巧设参数是解答本题的关键．
27．（2024•东台市一模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标．
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先利用待定系数法求出直线解析式，继而求出直线与轴的交点坐标，根据代入数据计算即可；
（3）分两种情况讨论①当时，在坐标轴上存在四个的位置满足等腰三角形，②当时，存在两个满足条件的点，点是线段的垂直平分线与坐标轴的交点，分别求出满足条件的点坐标即可．
【解答】解：（1）已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，
，
，，
反比例函数解析式为：；
（2），在一次函数图象上，
，解得，
一次函数解析式为：，
设一次函数与轴交点为，则，，
；
（3），
，
①当时，在坐标轴上存在四个的位置满足等腰三角形，
、，、、，；
②当时，存在两个满足条件的点，点是线段的垂直平分线与坐标轴的交点，
在直线上，
直线的，线段的中点坐标，，
设线段垂直平分线解析式为，
将点，坐标代入得：，解得，
线段垂直平分线解析式为，
当时，；当时，，
，，．
综上所述，满足条件的点有6个，坐标为：、，、、，、、，．
【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键．
28．（2023•泰州）在平面直角坐标系中，点、，的位置和函数、的图象如图所示．以为边在轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点，边与函数、的图象分别相交于点、，一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，连接．
（1）若，，求函数的表达式及的面积；
（2）当、在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；
（3）试判断直线与边的交点是否在函数的图象上？并说明理由．
【分析】（1）先确定、两个点的坐标，再利用待定系数法求出函数的表达式，进而求出点的坐标，结合点求的面积；
（2）按（1）的思路求解；
（3）用，表示直线与边的交点，验证是否在函数的图象上．
【解答】（1），，
点，，，，
点，，，，，
一次函数的图象经过点、，
设，则
，
，
函数的表达式为，
，
，
．
（2）点，，，，
点，，，，，
设，则
，
，
，
，
．
当、在满足的条件下任意变化时，的面积不变化．
（3）设直线与边的交点为，设直线为，代入，，得，
，
，
当时，，
，
点在的图象上．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，难在用字母表示，计算繁琐易出错．
29．（2024•盐城模拟）【发现问题】
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？
【解决问题】
小明尝试从函数图象的角度进行探究：
（1）建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 一 象限内的公共点坐标．
（2）画出函数图象
①画函数的图象；
②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移 个单位长度得到．
（3）研究函数图象
平移直线，观察两函数的图象；
①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为 ，周长的值为 ；
②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围．
【结论运用】
（4）面积为10的矩形的周长的取值范围为 ．
【分析】（1）由，，可得在第一象限；
（2）①直接画出图象即可；②直接画出图象即可，求出与轴的交点坐标，即可求解；
（3）①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图象可求解；
（4）联立方程组，可得，由根的判别式可求解．
【解答】解：（1），都是边长，周长为，
，，，
满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标．
故答案为：一；
（2）①的图象如图所示：
②的图象如图所示，
与轴的交点为，，
的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到，
故答案为：；
（3）①联立方程组可得：，
整理得：，
两图象有唯一交点，
△，
，
，
解得：，
交点坐标为，
故答案为：，8；
②由①知：0个交点时，；2个交点时，；1个交点时，；
（4）设相邻的两边长为、，则，，即，，
联立方程组可得，
整理得：，
两函数有交点，
△，
，
故答案为：．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
30．（2023•镇江）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，点在轴负半轴上，．
（1） ， ，点的坐标为 ；
（2）点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，在中，，，，用解直角三角形的方法求出，即可求解；
（2）证明点在轴的正半轴时，存在和，即可求解．
【解答】解：（1）当时，，即点，
将点的坐标代入反比例函数的表达式得：，
即反比例函数的表达式为：，
根据正比例函数的对称性，点，
由点、的坐标得，，过点作轴于点，
由直线的表达式知，，
而，
设，则，则，则，
则，，
则，
则点的坐标为：，
故答案为：，，；
（2）当点在轴的负半轴时，
，
又，，
和不可能相似；
当点在轴的正半轴时，，
若，则，
则，
即点；
若，则，
即，
解得：，
即点，
综上，点的坐标为：或．
【点评】本题为反比例函数综合题，涉及到解直角三角形、三角形相似等知识点，其中（2），分类求解是本题解题的关键．
31．（2023•连云港）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形中，，是的中点，，垂足为．设，，试用含的代数式表示．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，与成函数关系，其图象如图2所示．若取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象．
【数形结合 深度探究】
（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点、、、，使得四边形是平行四边形．其中正确的是 ①④ ．（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是 ；一般地，当，取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．
【分析】（1）证得，得出，由题意，利用勾股定理求得，，即可得到，从而得到；
（2）把点的对称点代入解析式也成立，即可证明函数图象是否具有对称性；
（3）观察图象即可判断；
（4）分析函数的解析式即可得出函数的性质．
【解答】解：（1）在矩形中，，
，
，
，
，
，，
，
，
，点是的中点，
，
在中，，
，
；
（2）取任意实数时，对应的函数图象关于原点对称理由如下：
若为图象上任意一点，则，
设关于原点的对称点为，则，
当时，，
也在函数的图象上，
当取任意实数时，函数的图象关于原点对称；
（3）观察图象，①函数值随的增大而增大；故正确，
②函数值的取值范围是；故错误，
③存在一条直线与该函数图象有三个交点；故错误，
④在图象上存在四点、、、，使得四边形是平行四边形，故正确．
故答案为：①④；
（4）关于的函数表达式为，
当，取任意实数时，有如下相关性质：
当时，图象经过第一、三象限，函数值随的增大而增大，的取值范围为；
当时，图象经过第二、四象限，函数值随的增大而减小，的取值范围为；
函数图象经过原点；
函数图象关于原点对称；
故答案为：．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了三角形相似的判定和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
32．（2024•武进区校级模拟）如图，在中，，，轴，垂足为，边与轴交于点，反比例函数，的图象经过点．
（1）若，求直线和反比例函数的表达式；
（2）若，将边沿边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点，交轴于点，求点的坐标．
【分析】（1）根据题意求得，，然后利用待定系数法即可求得线和反比例函数的表达式；
（2）作轴于，由题意可知，进而求出，，设点的坐标为，利用平行线分线段成比例定理得求出即可．
【解答】解：（1）在中，，，轴，垂足为，
，
，
，
，
，
，，
设直线为，
，
解得，
直线为，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）作轴于，
由题意可知，，
设，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
设点的坐标为，
，
，
，
即，
解得，，
点的坐标为．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，求得交点坐标是解决问题的关键．
33．（2024•苏州一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
【分析】（1）把代入可得，即得反比例函数关系式为，从而，将，代入即可得一次函数的关系式为；
（2）在中得，设，，而，由、中点重合列方程组可得，或，．
【解答】解：（1）把代入得：
，
，
反比例函数关系式为；
把代入得：
，
，
将，代入得：
，
解得，
一次函数的关系式为；
答：反比例函数关系式为，一次函数的关系式为；
（2）在中，令得，
，
设，，而，
四边形是平行四边形，
、为对角线，它们的中点重合，
，
解得或，
，或，；
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．