全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 22实际应用之拱桥问题（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 22实际应用之拱桥问题（含答案解析版），共23页。试卷主要包含了，跨度AB为4米等内容，欢迎下载使用。
例1．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为4.2m，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2+4.2（a＜0），则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（ ）
A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴
B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为x轴
C．以水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴
D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为y轴
【解答】解：∵玉带桥的拱顶离水面的平均高度为4.2m，二次函数为y＝ax2+4.2（a＜0），
∴抛物线的顶点坐标为（0，4.2），
∴该抛物线所在的平面直角坐标系是以抛物线的对称轴为y轴，以水面为x轴，
故选：C．
练习1．（2023秋•湖北月考）如图1是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面2m，水面宽4m．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，如图2所示，则抛物线的二次函数是（ ）
A．B．C．y＝﹣4x2D．y＝﹣2x2
【解答】解：由题意得：二次函数经过点（2，﹣2），
设二次函数的解析式为y＝ax2，把（2，﹣2）代入得﹣2＝a×22，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
故选：B．
例2.（2024秋•海淀区校级期中）赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度OA为60米；
拱桥最高处到水面的距离BC为9米．
（1）求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式；
（2）据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面2.5m为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为2.5m．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？
【解答】解：（1）由题意，抛物线的顶点C（30，9），点A（60，0），
设二次函数解析式为y＝a（x﹣30）2+9，
将点A（60，0）代入得0＝a（60﹣30）2+9，
解得a＝﹣0.01，
∴二次函数解析式为y＝﹣0.01（x﹣30）2+9；
（2）由题意，当y＝5时，﹣0.01（x﹣30）2+9＝5，
∴x＝10或x＝50．
∴可设计赛道的宽度为50﹣10＝40（m）．
∵＝4＜5，
∴最多可设计龙舟赛道的数量为4条，
∴5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞．
例3．（2024•扶沟县一模）阅读材料并运用已学的知识解决问题：
材料1：我国的石拱桥有悠久的历史．《水经注》里提到的“旅人桥”，大约建成于公元282年，可能是有记载的最早的石拱桥，我国的石拱桥几乎到处都有，这些桥大小不一，形式多样，有许多惊人的杰作，河北赵县赵州桥“长虹卧波”，桥拱呈圆弧形，永定河上的卢沟桥由11个半圆形的石拱组成，颐和园玉带桥桥拱则呈蛋尖形（可近似看作抛物线形），还有的拱桥里多边形、椭圆形、马蹄形和尖拱形，可说应有尽有．
材料2：图1是陶然亭公园“玉虹桥”．经2023年10月15日中午测量，中间大拱在水面的跨度（即图2线段AB长度）约为14m，当时大拱的最高点距离水面的高度（即图2点C到AB的距离）约为3.5m．
解决问题：
（1）若桥拱为抛物线形，在图2中建立适当的坐标系，并求出相应的二次函数解析式（不要求写自变量取值范围）．
（2）若玉虹桥的桥拱为圆弧形，则桥拱所在圆的半径为 8.8 m．（取近似值，精确到0.1）
（3）正值2023陶然亭菊花节，很多游人前往陶然亭公园划船游玩．为安全考虑，两船同行时安全间隔至少为1m，船帮船篷和桥拱的距离不少于0.5m．若常用四人电动船的船宽为1.6m．船篷顶离水面平均高度为1.9m．参考材料2从（1）（2）中任选一种形状计算，中间大拱最多可供几艘常用四人电动船同时通过？（若两种情况都选，按第（1）种计分）
【解答】解：（1）建立坐标系如图：
由题意得AD＝BD＝AB＝7，CD＝3.5，
∴B（7，0），A（﹣7，0），顶点C（0，3.5），
设抛物线的解析式为：y＝ax2+3.5，
把B（7，0）代入得：0＝49a+3.5，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3.5；
（2）由题意得DC⊥AB，AD＝BD＝AB＝7，DC经过圆心，
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，连接OA，OC，
连接OA，设半径OA＝OB＝R，OD＝OC﹣CD＝R﹣3.5，
在Rt△ADO中，OA2＝AD2+OD2，
∴R2＝（R﹣3.5）2+72，
解得R＝8.75≈8.8．
故答案为：8.8；
（3）如图4，过点O作OH⊥EM于H，则四边形MHOD是矩形，
∴OH＝MD，MH＝OD，
由题意得AD＝BD＝AB＝7，CD＝3.5，
由（1）知OE＝8.75，则OD＝OC﹣CD＝8.75﹣3.5＝5.25，
∵船帮船篷和桥拱的距离不少于0.5m，船篷顶离水面平均高度为1.9m．
∴EH＝1.9+0.5+5.25＝7.65，
在Rt△ADO中，OE2＝EH2+OH2，
∴8.752＝7.652+OH2，
解得OH＝≈4.3．
∴MN≈8.6，
∵两船同行时安全间隔至少为1m，常用四人电动船的船宽为1.6m．
∴中间大拱最多可供3艘常用四人电动船同时通过；
如图5，
∵船帮船篷和桥拱的距离不少于0.5m，船篷顶离水面平均高度为1.9m．
∴EM＝1.9+0.5＝2.4，
二次函数y＝﹣x2+3.5，当y＝2.4时，2.4＝﹣x2+3.5，
解得x≈±3.9，
∴MN≈7.8，
∵两船同行时安全间隔至少为1m，常用四人电动船的船宽为1.6m．
∴中间大拱最多可供3艘常用四人电动船同时通过．
对应练习：
1．（2024春•明山区校级月考）【发现问题】如图1，是沈阳“伯官桥”，它是中国首座“六跨中承式飘带形提篮拱桥”，也是全国施工难度最大的一座桥梁工程，造型别致，每段都是抛物线形状，宛如河上的一条飘带．
【提出问题】如果将该拱桥的一段抽象成二次函数的图形，该图象对应的函数关系式是什么？
【分析问题】如图2，是拱桥其中一段的横截面，虚线部分表示水面，桥墩跨度AB为40米，在距离A点水平距离为d米的地方，拱桥距离水面的高度为h米．小亮对d与h之间的关系进行了探究，经过多次测量，取平均值得到了d和h的几组对应值，如下表
【解决问题】
（1）请在下面的平面直角坐标系中画出表格中数据对应的函数图象，并直接写出h与d之间的函数关系式．
（2）当拱桥距离水面的高度为18.6米时，此时据距离A点水平距离是多少？
（3）今年是伯官桥建成十周年整，为了庆祝，决定在伯官桥上挂设彩灯，如图3，共挂三串彩灯，第一串彩灯EF平行于水面挂设，彩灯两端E，F皆在抛物线上；另外两串彩灯CE，DF都垂直于水面挂设，且距离水面2.0米，求挂设的三串彩灯CE，EF，DF长度和的最大值．
【解答】解：（1）由题意，根据表格数据描点连线．
又∵对称轴是直线d＝＝20，
∴可设抛物线为h＝a（d﹣20）2+k．
又过（0，8.6），（10，23.6），
∴．
∴．
∴抛物线为h＝﹣（d﹣20）2+28.6．
（2）由题意，根据（1）抛物线为h＝﹣（d﹣20）2+28.6，
令h＝18.6，
∴18.6＝﹣（d﹣20）2+28.6．
∴d＝20±．
∴此时据距离A点水平距离是（20﹣）米或（20+）米．
（3）由（1）可知，h＝﹣（d﹣20）2+28.6＝﹣d2+2d+8.6，对称轴为直线d＝20，
设点E（m，﹣m2+2m+8.6），F（40﹣m，﹣），
∴EF＝40﹣m﹣m＝40﹣2m，CE＝DF＝﹣﹣2，
∴CE+EF+DF＝2×（﹣﹣2）+40﹣2m＝﹣+2m+53.2＝﹣（m﹣10）2+63.2，
∵﹣＜0，
∴当m＝10时，CE+EF+DF有最大值，最大值为63.2米．
2．（2024•南阳二模）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+9，
把点A（3，0）代入，得：
9a+9＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+9．
（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；
把x＝1代入y＝﹣x2+9，得：
y＝8，
∴B（1，8）
设直线A′B的解析式为y＝kx+m，
∴．
∴．
∴y＝2x+6．
令x＝0，得y＝6，
∴P点的坐标为（0，6）．
3．（2024•兰州模拟）如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥方案设计．深安黄河大桥主拱形OAB呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连．如图2所示，建立平面直角坐标系，吊杆CD到原点O的水平距离OC＝26m，吊杆EF到原点O的水平距离OE＝134m，且CD＝EF，主拱形离桥面的距离y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝﹣0.006（x﹣h）2+k，其对称轴为直线x＝h．
（1）求OH的长度；
（2）求主拱形到桥面的最大高度AH的长．
【解答】解：（1）由题意得，其对称轴为直线x＝＝80，即h＝80，OH＝80m，
答：OH的长度为80m；
（2）∵h＝80，
∴y＝﹣0.006（x﹣80）2+k，
∵直线x＝80是其对称轴，
∴B（160，0），
将B点代入函数y＝﹣0.006（x﹣80）2+k，
得，﹣0.006（160﹣80）2+k＝0，
解得：k＝38.4，
∴y＝﹣0.006（x﹣80）2+38.4，
∴A（80，38.4），即AH＝38.4m，
答：主拱形到桥面的最大高度AH的长为38.4m．
4．（2024•长子县二模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究．
经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现y是x的二次函数y＝ax2+bx+0.88．
（1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度AE＝ 0.88 米；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）公园欲开设游船项目，现有长为3.5m，宽为1.5m，露出水面高度为1.88m的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离CE至少为多少米．
【解答】解：（1）根据题意，当x＝0时，其对应的函数值是0.88，
故AE的高度为0.88m，
故答案为：0.88．
（2）把（1，2.38）、（3，2.38）代入y＝ax2+bx+0.88，
得，
解得，
∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88．
（3）令y＝1.88，
则1.88＝﹣0.5x2+2x+0.88，
解得（舍去），．
答：C处距离桥墩的距离至少为米．
5.（2024秋•香洲区期中）【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
（1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面6m时，水面宽10m，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
（2）应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．一场大雨，让水面上升了0.2m，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为6m、高度为3.2m的货船通过？请通过计算进行说明（货船看作长方体）；
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条y＝x的直线OF，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下问题，
如图2，B为直线OF上方抛物线上一动点，过B作BA垂直于x轴，交x轴于A，交直线OF于C，过点B作BD垂直于直线OF，交直线OF于D，则BD+CD的最大值为 ．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+6，
当x＝0时，25a+6＝0，
解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝﹣+6；
（2）该拱桥不能让宽度为6m、高度为3.2m的货船通过；理由如下：
∵船的宽为6m，
∴10﹣6＝4（m），
当x＝2 时，y＝﹣×9+6＝3.84，
∵3.2+0.2+0.5＝3.9＞3.84，
∴船不能通过；
（3）y＝+6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝5，
∴E（5，5），
∴∠EOA＝45°，
∵BD⊥OE，AB⊥OA，
∴∠BCD＝45°，∠BDC＝90°，BD＝CD＝BC，
设B（t，﹣+6），则C（t，t），
∴BC＝+＝+，
当t＝时，BC的最大值为，
∴BD+CD的最大值为，
故答案为：．
6．（2023秋•滨江区校级月考）拱桥具有稳固美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中．如图是某拱桥的截面图，目前水面宽度AB的长为6m．
（1）若将拱桥的截面近似看作半径为6m的圆弧，求弧AB的长．
（2）若将拱桥的截面近似看作二次函数图象，以水面AB所在直线为x轴，A为坐标原点，建立平面直角坐标系．桥拱顶面离水面AB的最大高度为2.25m，求出二次函数的解析式，并求出水上涨1m后的水面宽度．
【解答】解：（1）设圆的圆心为R，
∵圆的半径和AB长度相等，
则△OAB为等边三角形，
则＝×2πr＝×2π×6＝2π（m），
即弧AB的长为2πm；
（2）由题意得，抛物线的顶点坐标为：（3，2.25），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k，
即y＝a（x﹣3）2+2.25，
解得：a＝﹣0.25，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.25（x﹣3）2+2.25，
如图，设EF＝1，则点F（x，1），
即点F的坐标代入抛物线表达式得：1＝﹣0.25（x﹣3）2+2.25，
解得：x＝3±，
则此时的水面宽为3+﹣（3﹣）＝2（m），
即水上涨1m后的水面宽度为2m．
7．（2024•正阳县一模）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部4米．如图1，桥孔与水面交于A、B两点，以点A为坐标原点，AB所在水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）请求出此抛物线对应的二次函数表达式；
（2）因降暴雨水位上升1.5米，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m，宽为4.5m（横截面如图2），暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得，
该函数的顶点坐标为（3，4），过点（6，0），
设此抛物线对应的二次函数表达式为y＝a（x﹣3）2+4，
则a（6﹣3）2+4＝0，
解得a＝﹣，
∴此抛物线对应的二次函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+4；
（2）暴雨后，这艘小船不能从这座石拱桥下通过，
理由：∵该函数的顶点坐标为（3，4），小船的宽为4.5m，
∴令x＝3﹣4.5÷2＝0.75时，y＝﹣（0.75﹣3）2+4＝，
∵1.5+0.5＞，
∴暴雨后，这艘小船不能从这座石拱桥下通过．
8．（2023•平顶山二模）隋朝李春设计建造的赵州石拱桥，距今已有1400多年的历史，其石拱的横截面形状近似抛物线，如图所示，测得它的跨度AB为37.4m，拱高（抛物线的最高点C到AB中点O的距离）CO为7.2m，以AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k．
（1）结合计算器提供的信息，求抛物线的解析式．（a值精确到0.01）
（2）当雨季来临时，水位上涨，若水面宽度EF不大于21m时，要采取紧急措施保护桥梁的安全，当测量员测得点C到水面EF的距离CD只有2m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【解答】解：（1）由已知可得，抛物线顶点C（0，7.2），A（﹣18.7，0），B（18.7，0），
∴y＝ax2+7.2，
把B（18.7，0）代入得：
0＝a×18.72+7.2，
解得：a＝﹣0.02，
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.02x2+7.2；
（2）∵CD＝2m，
∴OD＝5.2m，
在y＝﹣0.02x2+7.2中，令y＝5.2得：
﹣0.02x2+7.2＝5.2，
解得x＝10或x＝﹣10，
∴EF＝10﹣（﹣10）＝20（m），
∵20＜21，
∴需要采取紧急措施．
9．（2022秋•邳州市期中）一条河流上有座抛物线形的小拱桥，桥拱的跨径为8米、拱高为4米．
（1）把该桥拱看作一个二次函数的图象，请你建立恰当的平面直角坐标系，写出这个函数的表达式；
（2）一条高于水面2米，宽为6米的货船能否顺利通过该拱桥？
【解答】解：（1）以拱顶为原点，以垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为y＝ax2，
水面与拱桥的交点为A，B，则A（﹣4，﹣4），
把A（﹣4，﹣4）代入y＝ax2，得16a＝﹣4，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2；
（2）当x＝3时，y＝﹣×32＝﹣，
∵4﹣＝＜2，
∴货船不能顺利通过该拱桥．
10．（2023秋•长岭县期中）如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．
（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；
（2）当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？
【解答】解：（1）以水面所在直线AB为x轴，以过拱顶垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
∴A（﹣10，0），C（0，4），
设二次函数的解析式为y＝ax2+4（a≠0），
把点A坐标代入解析式得：100a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴这个函数的表达式为：y＝﹣x2+4；
（2）当水面宽10m时，即x＝5时，y＝﹣×52+4＝3，
此时水面离拱顶4﹣3＝1（m），
1÷0.2＝5（h），
答：达到警戒水位后，再过5h此桥孔将被淹没．
11．（2022秋•宛城区校级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为 （12，0） ，抛物线的顶点坐标为 （6，8） ，可求这条抛物线的解析式为 y＝﹣x2+ ．
方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 y＝﹣x2 ．当取y＝﹣2时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为 6米 ，解决了这个问题．
【解答】解：方法一：A（0，0），B（12，0），顶点（6，8），
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2+8，
把B点的坐标代入得，a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+8＝﹣x2+，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+．
故答案为：（12，0）；（6，8）y＝﹣x2+x；
方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，
把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2；
当y＝﹣2时，﹣2＝﹣x2，
解得：x＝±3，
即可求出此时拱桥内的水面宽度为6米．
故答案为：y＝﹣x2；6米．
12．（2024秋•青山区期中）如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为1.8m，秋季水位会下降约0.2m，此时水面CD宽度约为4.0m．
（1）如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求抛物线的解析式；
（2）一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为1.6m，船顶高出水面约为1.3m，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔0.1m，请问当水位处于正常水位（即水面为AB）时，游船是否能够通过？并说明理由；
（3）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，求这串彩灯的最大长度．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+k（a≠0），
由题意得：拱顶的坐标为（0，1.8），点D的坐标为（2，﹣0.2），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+1.8；
（2）游船能够通过．
理由：由（1）得：抛物线解析式为：y＝﹣x2+1.8，
当x＝0.8时，y＝﹣×0.82+1.8＝1.48．
∵1.48＞1.3+0.1，
∴游船能够通过；
（3）设此时彩灯与抛物线交于点M（a，﹣a2+1.8），
∴PM＝2a，
∵彩灯两端的最低点到水面CD的距离为1.4m，秋季水位会下降约0.2m，
∴彩灯的最低点Q在直线y＝1.2上，
∴点N为（a，1.2），
∴MN＝﹣a2+0.6，
设彩灯的长度为w，
w＝PM+2MN
＝2a﹣a2+1.2
＝﹣a2+2a+1.2，
∵﹣1＜0，
∴a＝1时，w最大，w最大＝﹣1+2+1.2＝2.2．
答：这串彩灯的最大长度为2.2米．
13．（2023秋•兴隆县期末）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：
（1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；
（2）由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；
（3）已知一艘货船的高为2.6米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到0.1）
【解答】解：（1）如图，AB为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下：
则，OC＝4，
∴抛物线的顶点坐标为C（0，4），B（8，0），
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+4，
将B（8，0）代入，得：a⋅82+4＝0，
解得：，
∴该抛物线的表达式为；
（2）在中，当y＝2时，则，
解得：，
，
∴水面上升2米后的水面宽度为米，
（3）如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到O′处，
∵货船的高为2.6米，宽为3.2米，
∴米，O′E＝2.6，
设OO′＝m米，则OE＝OO′+O′E＝（m+2.6）米，
∴点F的坐标为（1.6，m+2.6），
将F（1.6，m+2.6）代入，得：
解得m＝1.24，
∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升1.2米．
14．（2024秋•通州区期中）如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图2所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12m，拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+k，
由题意，得：B（6，0）、C（0，6），
∴y＝ax2+6，
∴0＝a•62+6，
解得a＝﹣，
∴解析式为y＝﹣x2+6；
（2）由题意得，水面宽度的横坐标为﹣5和5，
∴y＝﹣×52+6＝﹣+6＝，
∴水面上涨的高度为m．d/米
0
6
10
18
24
30
36
40
h/米
8.6
18.8
23.6
28.4
27.8
23.6
15.8
8.6
x/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
y/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.6
0.88