人教版九年级上册21.1 一元二次方程优秀测试题

这是一份人教版九年级上册21.1 一元二次方程优秀测试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.关于x的一元二次方程x2−4x+m=0的两实数根分别为x1，x2，且x1+3x2=5，则m的值为( )
A. 74B. 75C. 76D. 0
2.下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A. x2+1=2xB. x2+1=0C. x2−2x=3D. x2−2x=0
3.关于x的一元二次方程ax2−2x+1=0有实数根，则a的取值范围是( )
A. a>1B. a<1C. a≤1且a≠0D. a<1且a≠0
4.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k≤54B. k>54C. k<54且k≠1D. k≤54且k≠1
5.若(x2+y2−5)2=64，则x2+y2等于( )
A. 13B. 13或−3C. −3D. 以上都不对
6.关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根x1，x2，若(x1−x2+2)(x1−x2−2)+2x1x2=−3，则k的值( )
A. 0或2B. −2或2C. −2D. 2
7.用配方法解一元二次方程2x2−3x−1=0，配方正确的是( )
A. (x−34)2=1716B. (x−34)2=12C. (x−32)2=134D. (x−32)2=114
8.对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b=b2−ab，例如：3⊗2=22−3×2=−2.关于x的方程(k−3)⊗x=k−1的根的情况，下列说法正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
9.已知一元二次方程的两根分别是2和−3，则这个一元二次方程是( )
A. x2−6x+8=0B. x2+2x−3=0C. x2−x−6=0D. x2+x−6=0
10.用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是( )
A. (x+4)2=−9B. (x+4)2=−7C. (x+4)2=25 D. (x+4)2=7
11.6.用加减法解方程组2x−3y=5, ①3x−2y=7, ②下列解法不正确
的是
( )
A. ①×2− ②×(−3)，消去yB. ①×2− ②×3，消去y
C. ①×(−3)+ ②×2，消去xD. ①×3− ②×2，消去x
12.若x1，x2是一元二次方程3x2+x−1=0的两个根，则1x1+1x2的值是( )
A. 0B. −1C. 2D. 1
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若关于x的一元二次方程x2+x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
14.若(x+2)与(x−2)互为倒数，则x的值是 ．
15.规定：a⊗b=(a+b)b，如：2⊗3=(2+3)×3=15，若2⊗x=3，则x= ．
16.已知(a2+b2)2=4，则a2+b2的值是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题“x2+4x+3=0”，让同学们讨论．甲乙两位同学的做法如下：
(1)小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断 同学的解法有误，错误的原因是 ；
(2)请写出其他解法并与同学们交流．
18.(本小题8分)
解方程(x−5)(x+2)=18时，下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪里？正确的解法是什么？
解：原方程化为(x−5)(x+2)=3×6，
那么由x−5=3，得x=8．
由x+2=6，得x=4．
所以，原方程的根为x1=8，x2=4．
19.(本小题8分)
下面是小聪同学用配方法解方程：2x2−4x−p=0(p>0)的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得2x2−4x=p.①
二次项系数化为1，得x2−2x=p2.②
配方，得x2−2x+1=p2.③
即(x−1)2=p2．
∵p>0，
∴x−1=± p2.④
∴x1=1+ 2p2，x2=1− 2p2.⑤
(1)第②步二次项系数化为1的依据是什么？
(2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+4k−12=0．
(1)求证：这个方程总有两个实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边a的长为4，另两边b，c的长恰好是这个方程的两个实数根，求等腰三角形ABC的周长．
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−4x+k−1=0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值．
22.(本小题8分)
若关于x的一元二次方程(k+1)x2+x+k−3=0与方程x2−4x=0有一个相同的根，求k的值．
23.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m−2=0．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．
24.(本小题8分)
已知A=2a2−a+94，B=2a+1．
(1)当a为何值时，A=2B？
(2)对于任意实数a，试比较A与B的大小．
25.(本小题8分)
阅读下面的例题，
范例：解方程x2−|x|−2=0，
解：(1)当x≥0时，原方程化为x2−x−2=0，解得：x1=2，x2=−1(不合题意，舍去)．
(2)当x<0时，原方程化为x2+x−2=0，解得：x1=−2，x2=1(不合题意，舍去)．
∴原方程的根是x1=2，x2=−2
请参照例题解方程x2−|x−1|−1=0．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可．
【解答】
解：∵x1+x2=4，
∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，
∴x2=12，
把x2=12代入x2−4x+m=0得：(12)2−4×12+m=0，
解得：m=74，此时Δ=(−4)2−4×1×74=9>0，符合题意，
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：A.x2+1=2x，
变形为x2−2x+1=0，
∵a=1，b=−2，c=1，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×1=0，
∴方程x2+1=2x有两个相等的实数根，选项A符合题意；
B.x2+1=0，
∵a=1，b=0，c=1，
∴Δ=b2−4ac=02−4×1×1=−4<0，
∴方程x2+1=0没有实数根，选项B不符合题意；
C.x2−2x=3，
变形为x2−2x−3=0，
∵a=1，b=−2，c=−3，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×(−3)=16>0，
∴方程x2−2x=3有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D.x2−2x=0，
∵a=1，b=−2，c=0，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×0=4>0，
∴方程x2−2x=0有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故选：A．
根据各选项中各方程的系数，利用根的判别式Δ=b2−4ac可求出各方程的根的判别式Δ的值，取Δ=0的选项即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根”是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2−2x+1=0有实数根，
∴Δ=(−2)2−4×a×1≥0且a≠0，
解得a≤1且a≠0，
故选：C．
根据关于x的一元二次方程ax2−2x+1=0有实数根知Δ=(−2)2−4×a×1≥0且a≠0，解之即可．
本题主要考查根的判别式、一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．解之即可．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2+x+1=0有两个实数根，
∴k−1≠0Δ=12−4×(k−1)×1≥0,
解得：k≤54且k≠1．
故选D．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查解一元二次方程，将x2+y2看作一个整体，利用直接开平方法求解，保留符合题意的结果即可．
【解答】
解：可将x2+y2看作一个整体，
则x2+ y2−5=±8，
∴x2+y2=13或−3．
∵x2+y2≥ 0，
∴x2+y2=13．
6.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=k−1，x1x2=−k+2．
∵(x1−x2+2)(x1−x2−2)+2x1x2=−3，即(x1+x2)2−2x1x2−4=−3，
∴(k−1)2+2k−4−4=−3，
解得：k=±2．
∵关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有实数根，
∴Δ=[−(k−1)]2−4×1×(−k+2)≥0，
化简得：k2+2k−7≥0，
∴k=2时满足．
故选：D．
由根与系数的关系可得出x1+x2=k−1，x1x2=−k+2，结合(x1−x2+2)(x1−x2−2)+2x1x2=−3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0可得出关于k的不等式，进而可确定k的值，此题得解．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合(x1−x2+2)(x1−x2−2)+2x1x2=−3，求出k的值是关键．
7.【答案】A
【解析】解：由原方程，得
x2−32x=12，
x2−32x+916=12+916，
则(x−34)2=1716，
故选A．
先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为1，等式两边同时加上一次项系数−32的一半的平方，即可解答．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
8.【答案】A
【解析】∵k−3⊗x=k−1，∴x2−(k−3)x=k−1，∴x2−(k−3)x−k+1=0，
∴Δ=[−(k−3)]2−4×1×(−k+1)=(k−1)2+4>0，
∴关于x的方程k−3⊗x=k−1有两个不相等的实数根．故选 A．
9.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了根与系数的关系．此题难度不大．
注意若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q，反过来可得p=−(x1+x2)，q=x1x2,继而求得答案．
【解答】解：设此一元二次方程为x2+px+q=0，
∵二次项系数为1，两根分别为2，−3，
∴p=−(2−3)=1，q=(−3)×2=−6，
∴这个方程为：x2+x−6=0．
故选：D．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程有关知识，利用配方法进行解答即可．
【解答】
解：∵x2+8x+9=0，
∴x2+8x+16=16−9
∴x+42=7．
故选D．
11.【答案】A
【解析】解：用加减法解方程组2x−3y=5, ①3x−2y=7, ②
可以①×2−②×3 ，消去y; ①×(−3)+②×2，消去x;
①×3−②×2，消去x
故选：A．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系.将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
欲求1x1+1x2的值，先把此代数式变形为x2+x1x1x2的形式，根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积和两根之和的值，代入数值计算即可．
【解答】
解：∵x1、x2是方程3x2+x−1=0的两个实数根，
∴x1+x2=−13，x1⋅x2=−13．
∴1x1+1x2=x2+x1x1x2=−13−13=1．
13.【答案】14
【解析】【分析】由关于x的一元二次方程x2+x+k=0有两个相等的实数根，即可得判别式Δ=0，解方程可求得k的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=12−4×1×k=1−4k=0，
解得：k=14．
故答案为：14．
14.【答案】± 5
【解析】略
15.【答案】1或−3
【解析】解：依题意得(2+x)x=3，
整理，得x2+2x=3，
因此x2+2x+1=3+1，即(x+1)2=4，
直接开平方，得x+1=±2，
解得x=1或x=−3．
16.【答案】2
【解析】略
17.【答案】【小题1】
乙
原方程常数项移项时未变号
【小题2】
∵a=1，b=4，c=3，
∴b2−4ac=42−4×1×3=4，
∴x=−b± b2−4ac2a=−4± 42，
∴x1=−1，x2=−3．

【解析】1. 略
2. 见答案
18.【答案】解：解法不正确，由方程(x−5)(x+2)=3×6得出x−5=3和x+2=6错误，
正确的解法如下：
(x−5)(x+2)=18，
整理得：x2−3x−28=0，
b2−4ac=(−3)2−4×1×(−28)=121，
x=3± 1212×1，
x1=−4，x2=7．
【解析】本题考查了用公式法解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键，已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)满足b2−4ac≥0，则此方程的根是x=−b± b2−4ac2a．
先整理方程，再代入公式求出即可．
19.【答案】解：(1)第②步二次项系数化为1的依据是：等式两边同除以同一个不为0的数，等式仍然成立．
(2)从第③步开始出现的错误，
正确过程如下：
移项，得2x2−4x=p，
二次项系数化为1，得x2−2x=p2，
配方，得x2−2x+1=p2+1，
即(x−1)2=p2+1，
∵p>0，
∴x−1=± p2+1，
∴x1=1+ 2p+42，x2=1− 2p+42．
【解析】本题考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．
(1)根据等式的基本性质求解即可；
(2)先将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，最后开方即可．
20.【答案】【小题1】
∵Δ=[−(2k+1)]2−4×1×4k−12=4k2−12k+9=(2k−3)2≥0，∴这个方程总有两个实数根
【小题2】
有两种情况：①若b，c为腰，则方程x2−(2k+1)x+4k−12=0有两个相等的实数根．∴Δ=0，即(2k−3)2=0，解得k1=k2=32.∴原方程为x2−4x+4=0，解得x1=x2=2，即b=c=2.∵b+c=a，∴这种情况不合题意，舍去．②若a为腰，则b，c中有一边为腰．∴x=4是关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+4k−12=0的一个根．把x=4代入原方程，得42−4(2k+1)+4k−12=0，解得k=52.∴原方程为x2−6x+8=0，解得x1=2，x2=4.∵4+2>4，∴等腰三角形ABC的周长为2+4+4=10

【解析】1. 见答案
2. 见答案
21.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(−4)2−4(k−1)≥0，
解得k≤5；
(2)根据根与系数的关系得x1+x2=4，x1⋅x2=k−1，
∵x12+x22=10，
∴(x1+x2)2−2x1x2=42−2(k−1)=10，
解得k=4，
∵k≤5，
∴k=4．
故k的值是4．
【解析】(1)利用根的判别式的意义得到(−4)2−4(k−1)≥0，然后解不等式即可；
(2)利用根与系数的关系得到x1+x2=4，x1⋅x2=k−1，再利用x12+x22=10得到42−2(k−1)=10，接着解关于k的方程，然后利用k的范围确定满足条件的k的值．
本题考查了根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.也考查了根的判别式．
22.【答案】解：由x2−4x=0，得x=0或x=4，
∵(k+1)x2+x+k−3=0与x2−4x=0有一个相同的根，
∴当x=0时，此时k−3=0，k=3；
当x=4时，16(k+1)+4+k−3=0，
∴k=−1，
∵k+1≠0，
∴k=−1舍去，综上所述，k=3．

【解析】见答案
23.【答案】(1)证明：∵Δ=(2m+1)2−4×1×(m−2)
=4m2+4m+1−4m+8
=4m2+9>0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：∵Δ=4m2+9，
∴m=0时，判别式的值最小，
把m=0代入方程，得
x2+x−2=0，
(x+2)(x−1)=0，
∴x1=−2，x2=1，
∴当该方程的判别式的值最小时，m的值为0，此时方程的解为x1=−2，x2=1．
【解析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式．
(1)根据根的判别式得出Δ=(2m+1)2−4×1×(m−2)=4m2+9>0，据此可得答案；
(2)当m=0时，判别式的值最小，把m=0代入原方程，再解之可得答案．
24.【答案】【小题1】
由题意，得2a2−a+94=2(2a+1)，解得a1=54+ 234，a2=54− 234
【小题2】
∵A−B=2a2−a+94−2a−1=2a−342+18>0对于任意实数a都成立，∴对于任意实数a，总有A>B

【解析】1. 见答案
2. 见答案
25.【答案】解：x2−|x−1|−1=0，
①当x≥1时，原方程化为x2−x=0，解得：x1=1，x2=0(不合题意，舍去)．
②当x<1时，原方程化为x2+x−2=0，解得：x1=−2，x2=1(不合题意，舍去)．
故原方程的根是x1=1，x2=−2．

【解析】本题考查了解一元二次方程的应用分为两种情况：①当x≥1时，原方程化为x2−x=0，②当x<1时，原方程化为x2+x−2=0，求出方程的解即可．甲同学：
解：原式可化为(x+1)(x+3)=0．
当x+1=0时，
x=−1，
当x+3=0时，
x=−3，
∴x1=−1，x2=−3．
乙同学：
解：原式可化为
x2+4x=3，
x2+4x+4=3+4，
(x+2)2=7．
∴x+2=± 7，
∴x1= 7−2，x2=− 7−2．