初中人教版21.2 解一元二次方程综合与测试综合训练题
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21.2解一元二次方程同步练习人教版初中数学九年级上册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 方程的左边配成完全平方后所得方程为
A. B. C. D.
- 若一元二次方程的两根为，，则的值是
A. 4 B. 2 C. 1 D.
- 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4
- 下列方程中，有两个相等实数根的是
A. B. C. D.
- 用配方法解一元二次方程，配方正确的是
A. B. C. D.
- 设方程的两根分别是，，则的值为
A. 3 B. C. D.
- 已知：，是一元二次方程的两根，且，，则a、b的值分别是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
- 直线不经过第二象限，则关于x的方程实数解的个数是
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个
- 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为
A. B. C. D.
- 若代数式的值为21，则x的值一定为
A. 3 B. C. D.
- 若一次函数的图象不经过第二象限，则关于x的方程的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是______．
- 一元二次方程的根是______．
- 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于______．
- 已知一元二次方程可以配方成，则以m，n为两边长的等腰三角形的周长为 ．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
- 已知实数x，y满足，求的值．
- 用公式法解方程：
．
- 用适当的方法解下列方程：
．
- 解下列一元二次方程：
．
四、解答题（本大题共4小题，共32.0分）
- 关于x的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
- 不解方程，判定下列一元二次方程的根的情况：
；
；
- 已知关于x的一元二次方程．
若该方程有实数根，求m的取值范围
若时，方程的根为，，求的值．
- 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．通过计算，判断方程是不是“邻根方程”
已知关于x的方程是常数是“邻根方程”，求m的值
若关于x的方程b是常数，是“邻根方程”，令，试求t的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：移项得：，
配方可得：，
即，
故选：A．
根据配方法的步骤进行配方即可．
本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意得，，
所以．
故选：A．
根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
【解答】
解：
解得：或，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，
故选A．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
【解答】
解：，有两个相等实数根；
B.，没有实数根；
C.，有两个不相等实数根；
D.，有两个不相等实数根．
故选A．
5.【答案】A
【解析】解：由原方程，得
，
，
，
故选：A．
先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为1，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．
本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
【解答】
解：由可知，其二次项系数，一次项系数，
由根与系数的关系：，
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，，
，，
，，
即，，
故选：D．
先根据根与系数的关系可得，，而，，那么，，解即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的等量关系的公式．
8.【答案】A
【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
故选：A．
根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根可得，求出m的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程a，b，c为常数的根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到，再判断，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：直线不经过第二象限，
，
当时，关于x的方程是一次方程，解为，
当时，关于x的方程是二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选D．
10.【答案】C
【解析】解：，
，
，
，
，
解方程得，，
，
，
．
故选：C．
先利用得到，再利用x的一次式表示出和，则化为2x，然后解方程得，从而得到的值．
本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
11.【答案】B
【解析】略
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到，，再判断，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：一次函数的图象不经过第二象限，
，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
13.【答案】1
【解析】解：关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：1．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
14.【答案】，
【解析】解：或，
所以，．
故答案为，．
利用因式分解法把方程化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
15.【答案】2028
【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，即，
则原式
，
故答案为：2028．
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入原式计算可得．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
16.【答案】10或11
【解析】方程配方，得，
，，即．
当3为等腰三角形的腰长时，三边长分别为3，3，4，则周长为
当4为等腰三角形的腰长时，三边长分别为3，4，4，则周长为．
17.【答案】解：已知等式变形得：，
则，，即，，
则．
【解析】已知等式变形后，利用非负数的性质求出x与y的值，即可确定出所求式子的值．
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18.【答案】解：，，，
，
解得，．
方程整理得，
则，，，
，
，
解得，．
【解析】本题主要考查了解一元二次方程，关键是熟练掌握公式法解一元二次方程中的求根公式．
先确定系数，然后判断，利用求根公式计算可得方程的解；
先整理为一元二次方程的一般形式，然后确定系数，判断，利用求根公式计算可得方程的解．
19.【答案】，，．
，．
，
，
．
，．
，
，
或．
，．
原方程可化为，
或．
解得，．
【解析】见答案
20.【答案】解：，
，
，．
，
，
，．
，
，
，
或．
，．
【解析】本题主要考查了解一元二次方程，关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程的解法步骤．
先提取公因式x，然后可得两一次方程，解方程即可；
利用平方差公式进行分解，然后可得两个一次方程，解方程即可；
先移项，利用因式分解法整理可得，然后可得两个一次方程，解方程即可．
21.【答案】证明：在方程中，
，
方程总有两个实数根；
解：，
即，
即，
，．
方程有一根小于1，
，
解得：，
的取值范围为．
【解析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程解答本题的关键是正确求出该方程的两个根．
根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；
利用因式分解法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
22.【答案】解：，，，
，
方程有两个相等的实数根；
方程化为一般形式为．
，，，
，
方程没有实数根；
方程化为一般形式为．
，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可求出，进而可得出方程有两个相等的实数根；
将方程化为一般形式，根据方程的系数结合根的判别式，可求出，进而可得出方程没有实数根；
将方程化为一般形式，根据方程的系数结合根的判别式，可求出，进而可得出方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．”是解题的关键．
23.【答案】关于x的一元二次方程有实数根，
则，
即，
．
当时，，
，．
．
．
【解析】见答案
24.【答案】解： ，
解得，
，
是“邻根方程”．
因式分解得，
或．
方程是常数是“邻根方程”，
或，
或．
关于x的方程、b是常数，是“邻根方程”，
，
．
，
．
，
时，t的值最大，为16．
【解析】见答案．
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