人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试课后练习题

人教版数学九年级上册21.2《解一元二次方程》同步练习

一、选择题

1．方程的解是（   ）

A．，                 B． 

C．                 D．

2．用配方法解方程，变形后的结果正确的是(   )

A． B． C． D．

3．一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法判断

4．方程的解是（    ）

A．2 B．3 C． D．

5．一元二次方程中，的值为（    ）

A．12 B．8 C． D．

6．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(    )

A．q<16        B．q>16        C．q≤4        D．q≥4

7．方程的解是（    ）

A． B．

C． D．

8．一元二次方程两实根的和与积分别是（　　）

A．， B．， C．，2 D．，2

9．关于x的方程（a﹣1）x2+2ax+a﹣1＝0，下列说法正确的是（　　）

A．一定是一个一元二次方程

B．a＝﹣1时，方程的两根x1和x2满足x1+x2＝﹣1

C．a＝3时，方程的两根x1和x2满足x1•x2＝1

D．a＝1时，方程无实数根

10．一元二次方程的两个根为，则的值为（    ）

A．2 B．6 C．8 D．14

二、填空题

11．一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是__________．

12．将多项式配方成的形式为___________．

13．若，分别是方程的两实根，则的值是_______.

14．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则k的取值范围是_________．

三、解答题

15．用适当的正数填空：

（1）_____=(x-_____)2；

（2）x2-______x+16=(x-____)2；

（3）(x＋____)2；

（4）______=(x-____)2．

16．不解方程，判定下列一元二次方程的根的情况：

（1）；   （2）；   （3）．

17．解方程：（1）(x+5)2+16=80；           （2）(x-1)2-9=0

18．公式法解方程：

（1）；      （2）；      （3）．

19．已知关于的一元二次方程

（1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的两实数根满足，求实数的值.

20．观察下列方程及其解的特征：

（1）的解为；

（2）的解为，；

（3）的解为，；

解答下列问题：

请猜想：方程的解为________；

请猜想：关于的方程________的解为，；

下面以解方程为例，验证中猜想结论的正确性．

解：原方程可化为．

（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）

21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

参考答案

一、

1．C

∵(x＋1)2=4，

∴x+1=±2，

解得x1=1，x2=﹣3.

故选C.

2．D

先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.

，

，

，

所以，

故选D.

3．C

先求出根的判别式“△”的值，再根据“△”的值＜0即可判定方程没有实数根．

解：，

△，

方程没有实数根，

故选C．

4．C

利用分解因式法解答即可．

解：由方程，可得或，

解得：，

故选：C．

5．B

根据一元二方程各系数的值，直接代入数据即可求解．

，

．

故选：B．

6．A

∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，

∴△>0，即82-4q>0，

∴q<16，

故选 A.

7．C

运用配方法求解即可．

解：

把方程的常数项移到等号的右边，得．

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得．

配方得．

解得，．

故选C．

8．B

解：设这个一元二次方程的两个根分为、，方程化为一元二次方程的一般形式为：，所以， =﹣2．故选B．

9．C

根据一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系逐一判断可得答案．

解：A．当a＝1时，此方程为2x＝0，是一元一次方程，此选项错误，不符合题意；

B．当a＝﹣1时，方程为﹣2x2﹣2x﹣2＝0，即x2+x+1＝0，此时△＝﹣3＜0，此方程无解，故此选项错误，不符合题意；

C．a＝3时，方程为2x2+6x+2＝0，即x2+3x+1＝0，方程的两根x1和x2满足x1•x2＝1，故此选项正确，符合题意；

D．a＝1时，方程为2x＝0，此方程有一个实数根，为x＝0，此选项错误，不符合题意；

故选：C．

10．D

根据两根之和是一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积是常数项与二次项系数的商．

根据题意得．

，

故选D．

二、

11．x1=-1，x2=5

先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用直接开平方法解答即可．

移项得：（4﹣2x）2=36，开方得：4﹣2x=±6，解得：x1=﹣1，x2=5．

故答案为：x1=﹣1，x2=5．

12．

根据完全平方公式配方即可．

解：把的二次项系数提出，得，

根据完全平方式得

故答案为：．

13．-2

将，分别代入方程，可得=-6，=3，再代入计算即可.

，分别是方程的两实根

=-6，=3

==-2

14．

根据根与系数的关系结合判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．

原方程有两个实数根，

，

，

，

．

是原方程的两根，，

，

，

的取值范围是

三、

15．（1）4；2；（2）8；4；（3）；（4）；

（1）根据完全平方公式：计算即可；

（2）根据完全平方公式：计算即可；

（3）根据完全平方公式：计算即可；

（4）根据完全平方公式：计算即可．

解：（1）

故答案为：4；2；

（2）x2-8x+16=(x-4)2

故答案为：8；4；

（3）(x＋)2

故答案为：；

（4）=(x-)2

故答案为：；．

16．（1）此方程有两个相等的实数根；（2）没有实数根；（3）此方程有两个不相等的实数根．

（1）直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况；
（2）先把方程整理为一般式，再计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．

（3）先把方程整理为一般式，再计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．

（1），

，

此方程有两个相等的实数根；

（2）方程化为一般形式为．

，

，

此方程没有实数根；

（3）方程化为一般形式为．

，

，

此方程有两个不相等的实数根．

17．（1）x=-13，x=3；（2）x=4，x=－2

（1）先移项，然后根据直接开平方法即可解答此方程；
（2）先移项，然后根据直接开平方法即可解答此方程．

（1）（x+5）2+16=80，
移项，得
（x+5）2=64，
∴x+5=±8，
∴x=-5±8，
∴x1=-13，x2=3；
（2）(x-1)2-9=0，
(x-1)2=9,

x-1=3或x-1=-3
∴x1=4,x2=-2．

18．（1）；（2）；（3）．

（1）直接利用公式法求解即可；

（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；

（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．

（1），

，

，

即；

（2），

，

，

，

，

；

（3），

整理，得，

，

，

，

．

19．（1）详见解析；（2）实数的值为

（1）根据方程的系数结合根的判别式△=b2-4ac，即可得出△，结合4m2≥0可得出△＞0，进而可证出：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；

（2）利用根与系数的关系可得出，结合x12+x22=33可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．

解：（1）证明：

关于的一元二次方程

整理，得

对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）：

解得

答：实数的值为

20．解：（1），；（2）（或）；，（或）

本题要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数．

（1）x1=5，x2＝；
（2）（或a+）；
（3）方程二次项系数化为1，
得x2−x＝−1．
配方得，
x2−x+(−)2＝−1+(−)2，即(x−)2＝，
开方得，
x−＝±，
解得x1=5，x2＝．
经检验，x1=5，x2＝都是原方程的解．

21．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．

试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；

（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；

（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．

试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，

∴a﹣b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b2﹣4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：

2ax2+2ax=0，

∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1．