1.4一元二次方程与实际问题

实际问题与一元二次方程

课首沟通

1. 检查上次的课后作业；
2. 回忆一下上节课所学习的内容。

知识导图

课首小测

1. [单选题]  用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）

A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9

2.   [单选题] （2015年广州市天河区期末试题） 若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（ ） A．﹣10              B．10              C．﹣16              D．16

3. （2016年广州市越秀区期末试题） 解方程：x2+2x﹣5=0．

4. 关于x的方程 有两个不相等的实数根。

（1）  求k的取值范围；

（2）  是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。

导学一 ： 增长率问题

知识点讲解

增长率问题：平均增长（降低）率公式 注意：（1）1与x的位置不要调换；

（2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法。

例 1. （2015年广州市中考题） 某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入经费3025万元.

（1）  求2013年至2015年该地区投入 经费的年平均增长率；

（2）  根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入 经费多少万元.

【学有所获】增长（降低）率问题： ，其中 是增（降）后的量， 是增（降）前的量，x是平均增长（降低）率，n是增长（降低）次数

例 2.  某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为               。

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1. （2015年广州市番禺期末试题） 随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市2011年销售烟花爆竹

20万箱，到2013年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率．

导学二 ： 握手问题（单循环双循环问题）

知识点讲解 1

例 1. 参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？

【学有所获】单循环问题，列方程通常可以用公式 表示。

例 2. 某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？

【学有所获】双循环问题，列方程通常可以用公式 表示。

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1. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛 共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？

2. 五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？

导学三 ： 传染问题和树枝问题

知识点讲解

例 1.  甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少 人患甲型H1N1流感？

例 2.  某种果树枝杈很多，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是183。每个支干长出多少个小分支？

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1.   某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，求每轮感染中平均一台电 脑能感染几台？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

2.   某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是 91，每个支干长出多少个小分支？

导学四 ： 几何问题

知识点讲解

例 1. （2015年广州市白云区期末试题） 一副风景画的长90cm，宽40cm（如图是其尺寸图），现要制作一个画框把它装入其中便于悬挂，制作的画框的四周的宽度一样，且要求风景画的面积是整个挂画面积的72%．

（1）  在该图基础上画出挂画的大致图；

（2） 
求画框四周的宽度．

例 2.  如图，我区某中学计划用一块空地修建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的板材可使新建的板墙的总长为24米．为方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开 一个2米宽的门．求这个车棚的长和宽分别是多少米？

例 3. 如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边

（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？

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1.   一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸 盒，使它的底面积为800平方厘米.那么纸盒的高是多少？

2.   用7m长的铝合金做成透光面积（矩形ABCD的面积）为2 m2的“日”型窗框(AB>BC)，求窗框的宽度？（铝合金的宽度忽略不计）

导学五 ： 商品销售问题

知识点讲解

利润问题：利润=售价-进价总利润=单件利润×销量

例 1. 爱家超市将进货单价为40元的商品，按50元销售时，能卖出500个，已知该商品每涨1元钱就少卖10个。为了赚

8000元的利润，应涨多少元钱？

例 2.  某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）  当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）  设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

（3）  商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

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1.   （2015年广州市越秀区期末试题） 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．

（1）  若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；

（2）  若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．

2.   某商店经销一批季节性小家电,每个成本40元,经市场检测,定价为50元时可销售200个,若定价每增加2元,销售量将减 少20个,若商店进货后全部销售完,赚了2000元,问进货多少个？定价多少个？

限时考场模拟 ：      15分钟完成

1.   [单选题] （2015年广州市天河区期末试题） 某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（              ）

A．100（1+x）2=144 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1﹣x）2=100 D．144（1+x）2=100

2. [单选题]  一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送出贺卡72张，则这个小组共（ ）

A.12人 B.18人 C.9人 D.10人

3.   某电脑公司2017年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月 营业额的增长率相同，求这个增长率．

4.   （2014年广州市花都区期末试题） 如图，要在长100米，宽90米的矩形绿地上，修建三条宽度相同的道路，剩下6块绿地面积共8448平方米，求道路宽．

5.   某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树， 每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?

6.   某商场礼品柜台购进大量贺卡,一种贺卡平均每天可销售500张,每张盈利0.3元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当 的措施,调查发现,如果每降价0.1元,那么商场平均每天多售出300张,商场要想每天盈利160元,每张贺卡应该降价多少元?

课后作业

1.   （2016年广州市海珠区期末试题） 两年前生产某种药品的成本是5000元，现在生产这种药品的成本是3000元，设平均每年降价的百分率为x，根据题意列出的方程是               ．

2.   [单选题] 要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（              ）

A．x（x﹣1）=15 B．x（x+1）=15 C． =15 D． =15

3.   （2016年广州市天河区期末试题） 某校计划在一块长为80米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃．如图，将花圃四周余下的空地

修建成同样宽的通道，如果通道所占面积是整个长方形空地面积的一半，求出此时通道的宽；

4.   如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积 能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。

5.   某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加赢利尽快减少库存，商场决定 采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。求：

（1）  若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）  若要使商场平均每天赢利最多，请你设计方案。

1. 区分并掌握各种应用类型的解题技巧；
2. 完成老师布置的课后作业，及时复习巩固。

课首小测

1.B

解析:解：方程移项得：x2﹣2x=5， 配方得：x2﹣2x+1=6，

即（x﹣1）2=6． 故选：B

2.A

解析:解：∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，

∴x1+x2=﹣10． 故选：A．

3.解：x2+2x﹣5=0 x2+2x=5， x2+2x+1=6，

（x+1）2=6， x+1=± ，

x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣ ．

4.

导学一

知识点讲解例题

1.

解：设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）2万元． 则2500（1+x）2=3025，

解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）． 答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．

（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．

故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元． 2.

解析:去年为2万，则今年为2（1+x）万，明年为 万，故可列方程

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1.

导学二

知识点讲解 1 例题

1.

解析:

2.

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1. 解：设有x队参加比赛． x（x-1）=90，

（x-10）（x+9）=0，

解得x=10，x=-9（不合题意，舍去）． 答：共有10支球队参加比赛．

2.

解析:设与会人数为x.

（x-1）*x＝990

因为每个人均与其他人握手（x-1）次,共有x个人握手,每两个人只握手一次,x（x-1）有重复计算的一次,所以除2.算得x＝100

导学三

知识点讲解例题

1.

2.

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1.

解析:设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感染，第二轮后共有（1+x）+x（1+x）即

（1+x） 2 台被感染，利用方程即可求出x的值是8，则n轮感染后，被感染的电脑台数为 9 n

2. 解：设每个支干长出 x 个小分支，则由题意,得 ,

解得： （不合题意,舍去）, 答：每个枝干长出9个小分支.

解析:依题意得支杆的数量为x个， 小分支的数量为x•x=x2个，

那么根据题意可列出方程为：1+x+x2=91．

导学四

知识点讲解例题

1.

解：（1）如图所示：

（2）设画框四周的宽度为xcm，则整个挂画的长为（90+2x）cm，宽为（40+2x）cm．由题意得

（90+2x）×（40+2x）72%=90×40，

解得：x1=﹣70（舍去），x2=5． 答：画框四周的宽度为5cm．

2.

3.

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1.

解：设截去正方形的边长为x厘米，由题意得，长方体底面的长和宽分别是：（60-2x）厘米和（40-2x）厘米， 所以长方体的底面积为：（60-2x）（40-2x）=800，

即：x2-50x+400=0，

解得x1=10，x2=40（不合题意舍去）． 答：截去正方形的边长为10厘米．

2.

解：设窗户的宽为x米，则窗户的高为  米，利用长方形的面积得出方程求出即可． 试题解析：宽 = m 则AB= m，依题意得

当  = 时，AB= ，此时AB< 不符合题意，舍去。

答：窗框的宽度1米．

解析:本题的关键是用设出的未知数表示出宽度与高度，再根据面积为2m2，列出方程.

导学五

知识点讲解例题

1.

2.解：

（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元

（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000

（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000 解得：x1=80，x2=60

当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意． 当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）． 解析:

（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．

（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]

（3）那么销售量就不超过 =250kg，在这个提前下，求销售单价应为多少．

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1.

解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5 件．

∴第x档次，提高的档次是x﹣1档．

∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]，

即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；

（2）由题意可得：﹣10x2+180x+400=1120 整理得：x2﹣18x+72=0

解得：x1=6，x2=12（舍去）． 答：该产品的质量档次为第6档．

2.解：设定价x元,则销售了200-10(x-50)=700-10x件,也就是进了那么多件.

（x-40）(700-10x)=2000

x^2-110x+3000=0

解得：x=50 或 x=60

所以有两组解 定价50元,进货200件,或者定价60元,进货100件.

限时考场模拟

1.A

解析:解：2013年的产量为100（1+x），

2014年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2， 即所列的方程为100（1+x）2=144，

故选：A． 2.C

3.

解：设平均增长率为x

则200+200（1+x）+200（1+x）2=950

整理，得：x2+3x-1.75=0 解得：x=50%

答：所求的增长率为50%．

解析:设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关 系．

4.解：设道路的宽为x米，由题意，得

（100﹣2x）（90﹣x）=8448，

解得：x1=2，x2=138（不符合题意，舍去） 答：道路的宽为2米．

5.

6.

课后作业

1.

2.C

解析:

解：设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得， =15，

故选：C．

3.

解：设通道的宽是x米，依题意有

（40﹣2x）（80﹣2x）= ×80×40，

解得x1=30+10 （不合题意），x2=30﹣10 ． 答：通道的宽是（30﹣10 ）米．

4.

5.