山东省泰安市新泰市第一中学老校区（新泰中学）2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题（含答案）

这是一份山东省泰安市新泰市第一中学老校区（新泰中学）2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了复数的虚部为等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的虚部为（ ）
A．1B．C．3D．
2．设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若直线，，且，，则
D．若l，m是异面直线，，，且，，则
3．一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件“取到标号为1和3的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B对立B．A与B独立C．A与B互斥D．
4．在中，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．1
5．已知向量，，若与垂直，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．若数据、、…的平均数是5，方差是4，数据、、…、的平均数是4，标准差是s，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
7．如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱AB，BC，B，C的中点，则异面直线DF与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
8．在等腰中，﹐若点M为的垂心，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．若复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．z在复平面内对应的点位于第四象限B．
C．（是z的共轭复数）D．若，则的最小值为
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则有两解
B．若，，则的面积最大值为
C．若，，，则外接圆半径为
D．若，则一定是等腰三角形
11．如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，使平面
B．三棱锥的体积为定值
C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面α截正方体的截面面积为
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为______．
13．某校高一（1）班有男生20人，女生30人．已知某次数学测验中，男生成绩的平均数为100，方差为11，女生成绩的平均数为95，方差为16，则这次测验中班级总体成绩的方差为______．
14．我国历史悠久，各地出土文物众多．甲图为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印．图乙是此印章中抽象出的几何图形的示意图．如图乙所示，在边长为2的正八边形ABCDEFGH中，P是正八边形边上任意一点，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）
2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分
分成以下6组：，，，……，，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；
（3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在90，100的概率．
16．（本题15分）
如图，P为圆锥的顶点，AB，CD为底面圆两条互相垂直的直径，E为PB的中点．
（1）证明：平面平面PCD．
（2）若，且直线CE与平面PCD所成角的正切值为，求该圆锥的体积．
17．（本题15分）
在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求面积的最大值．
18．（本题17分）
在直三棱柱中，D，E分别是，的中点．
（Ⅰ）求证平面；
（Ⅱ）若，，．
（ⅰ）求二面角的正切值；
（ⅱ）求直线到平面的距离．
19．（本题17分）
对任意两个非零向量，，定义，
（1）若量，，求的值；
（2）若单位向量，满足求向量与的夹角的余弦值；
（3）若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围．
新泰中学2023级高一下学期第二次大单元考试
数学试题答案2024．6
一、单选题
1．A 2．D 3．C 4．B 5．A 6．D 7．B 8．C
二、多选题
9．ACD 10．AC 11．ABC
三、填空题
12． 13．20 14．
四、解答题
15．【解】（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数
（2）因为成绩在的频率为0.45，成绩在的频率为0.3
所以中位数为
（3）在和两组中的人数分别为
和人
所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c
在分组中抽取的人数为2人，记为1，2
所以这5人中随机抽取2人的情况有ab，ac，bc，，，，，，，12共10种
其中两人得分都在的情况有1种，
所以两人得分都在的概率为
16．【解】（1）设AB与CD交于点O，连接PO
因为AB，CD为底面圆两条互相垂直的直径，所以O为底面圆的圆心
所以PO为圆锥的高，所以底面圆
因为底面圆，所以
又，，AB、平面PAB
所以平面PAB
因为平面PCD，所以平面平面PCD
（2）过E作于F，连接CF
由（1）知平面平面PCD，且平面平面
所以平面PCD
所以为直线CE与平面PCD所成的角，则
因为，所以，所以
则，所以
故该圆锥的体积为
17．解：（1）因为，所以
因为，所以
所以，解得或
因为，所以，则
（2）因为，所以，即
则
因为，，所以
因为，当且仅当时，等号成立
所以，即
则的面积，故面积的最大值为
18．【解】证明：（Ⅰ）取中点F并连接EF
因为E是的中点，所以，
因为D是的中点，所以，
所以，，所以四边形为平行四边形
所以
因为平面，平面
所以平面．
（Ⅱ）（ⅰ）连接CD，因为，，D是的中点，
所以，所以，所以
同理可得，所以
因为，所以二面角的平面角为
又，所以平面CBD
因为平面CBD，所以
因为直三棱柱，所以平面ABC，又平面ABC
所以，又
所以平面
因为平面，所以
易得，在中可得
所以二面角的正切值为
（ⅱ）因为平面
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离
设点到平面的距离为h
因为，所以
即，解得
所以直线到平面的距离为．
19．解：（1）因为，，所以
则，
故
（2）因为，所以
所以
所以，解得
因为，所以
则．
（3）设向量与的夹角为θ，由题意可知，则
因为，所以，所以
因为，所以
所以
因为是整数，所以，所以
所以
因为，所以，所以，所以，所以
所以，即的取值范围是