山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高一上学期期中学情检测数学试题

这是一份山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高一上学期期中学情检测数学试题，共6页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递减,若,且满足,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．如图,已知矩形U表示全集,A、B是U的两个子集,则阴影部分可表示为( )
A.B.C.D.
4．已知集合,,则的非空真子集的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
5．若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
6．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为( )
A.-4B.4C.5D.8
7．已知函数满足,且,则( )
A.B.C.D.
8．设有限集M所含元素的个数用表示,并规定.已知集合A,B满足,,若,,则满足条件的所有不同集合A的个数为( )
A.3B.6C.10D.64
二、多项选择题
9．下列关系中正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知正数a,b满足,则( )
A.B.
C.D.
11．若a,,且,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．已知关于x的不等式只有有限个整数解,且0是其中一个解,则_____________.
13．函数的最小值为________.
14．设，且，则的最小值为________.
四、解答题
15．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,写出这些命题的否定,并判断这些命题的否定的真假.
(1)对任意的实数x,都有;
(2)存在实数x,使得;
(3)所有的素数都是奇数;
(4)方程的每一个根都是正数.
16．已知.
（1）当时,方程的两根分别为,,若存在x,使成立,求m的取值范围;
（2）若,求不等式的解集.
17．解关于的不等式.
18．如图所示,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在射线AB上,N在射线AD上,且对角线MN过点C,已知AB长为4米,AD长为3米,设米.
(1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米,则AN的长应在什么范围内;
(2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石,则AN的长度是多少时,用料最省？
19．已知函数.
(1)若不等式的解集为,求a,b的值;
(2)若,求不等式的解集.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,,所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：依题意,是偶函数,且在区间单调递减,
由得,
所以,所以或,
所以或,
所以a的取值范围是.
故选:D
3．答案：D
解析：在阴影部分区域内任取一个元素x,
则且,即且,
所以,阴影部分可表示为.
故选:D
4．答案：B
解析：因为,
所以,
故其非空真子集的个数为.
故选：B.
5．答案：D
解析：将的解集记为A，的解集记为B.
由题意是的必要不充分条件可知B是A的真子集.，
解得或,,则,
（1）当时，或,则（等号不能同时成立），解得.
（2）当时，或,则（等号不能同时成立），解得.
由（1）（2）可得或.
6．答案：C
解析：由的解集为，
则，且m，是方程的两根，
由根与系数的关系知，
解得，，当且仅当时等号成立，
故，设，
函数在上单调递增，
所以
所以的最小值为5.
故选：C.
7．答案：D
解析：令,得,则,
则,，，，
将以上各式相加得,
所以.
8．答案：C
解析：若时,,
则,则,
这与题意矛盾,故不满足题意;
故.
设A中元素的个数为,
则B中元素的个数为,且,
由且,得,.
①当时,则,又,
所以,满足题意;
②当时,则,,则,,又,
若,则;
若,则;
若,则;
若,则;以上情况都满足题意;
③当时,即,则,,
但此时,故产生矛盾,所以不满足题意;
④当时,则由且,得,,
又,与②同理可得不同集合B的个数有4个,
即不同集合A的个数有4个;
⑤当时,则由,得,又,
所以,满足题意;
综上,满足条件的所有不同集合A的个数为.
故选:C.
9．答案：ABC
解析：对于A中,根据元素与集合的关系,可得,所以A正确;
对于B中,根据集合与集合间的关系,可得,所以B正确;
对于C中,根据集合相等的定义,可得,所以C正确;
对于D中,集合为数集,集合为点集,所以,所以D错误.
故选：ABC.
10．答案：ABD
解析：对于A,因为,,且,所以,
则,当且仅当,时等号成立,正确.
对于B,由,得,又,,所以,则,
所以,当且仅当,即时等号成立,正确.
对于C,,
因为,
当且仅当,即,时等号成立,所以,错误.
对于D,由,
当且仅当,即时等号成立,正确.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：由已知可得,
对于A项,,所以,由及不等式性质得,故A成立.
对于B项,,因为,所以,
当时,,即,故B项不一定成立.
对于C项,当时,,所以;当时,成立,故C项一定成立.
对于D项,由,,得,所以,故D项一定成立.
故选:ACD
12．答案：-2或-1
解析：因为0是的解,所以.
因为只有有限个整数解,所以,
因为,所以或.
故答案为：-2或-1.
13．答案：9
解析：因为，则，所以，当且仅当即时等号成立，
已知函数的最小值为9.
故答案为：9.
14．答案：/
解析：因为，所以，所以，当且仅当，时取等号.故答案为：
15．答案：(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
解析：(1)全称量词命题.
原命题的否定：存在一个实数,使得.原命题的否定是真命题.
(2)存在量词命题.
原命题的否定：对任意的实数,都有.原命题的否定是假命题.
(3)全称量词命题.
原命题的否定：存在一个素数不是奇数.原命题的否定是真命题.
(4)全称量词命题.
原命题的否定：方程至少有一个根不是正数.原命题的否定是假命题.
16．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）由题意知,方程的两根分别为,,
则,,所以,
因为,所以,
根据绝对值的几何意义,可得,
当且仅当时,等号成立,
又因为存在x,使成立,可得,解得,
所以m的取值范围为.
（2）若,不等式等价于,
①当时,不等式的解集为;
②当时,不等式的解集为;
③当时,不等式的解集为或;
④当时,不等式的解集为R;
⑤当时,不等式的解集为.
17．答案：答案见解析
解析：若，则原不等式可化为，解得；
若，则原不等式可化为，解得；
若，则原不等式可化为(*)，
当时，，则不等式(*)的解集为R；
当时，，则不等式(*)的解集为；
当时，，则不等式(*)的解集为,
综上，当时，所求解集为；
当时，所求解集为；
当时，所求解集为；
当时，所求解集为R；
当时，所求解集为.
18．答案：(1)
(2)米时,用料最省.
解析：(1)解析：由,可得,则,则,
花坛AMPN面积等于,
由题意,可得,即,
解得或,所以AN的长应在范围内.
(2)解析：根据题意,可得扩建部分面积,
令,可得,
当且仅当时,即时,等号成立,即米时,用料最省.
19．答案：(1),;
(2)答案见解析.
解析：(1)因为不等式的解集为,
所以-1和3是方程的两个根,且,
可得,解得,.
(2)当时,不等式即,即,
①当时,,解得;
②当时,不等式可化为,解得或;
③当时,不等式化为,
若,则;
若,则;
若,则,
综上所述,当时,解集为;当时,解集为或;当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为.