2023-2024学年山东省泰安市新泰市新泰中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省泰安市新泰市新泰中学高一上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式求得集合、，由此求得.
【详解】，
，
所以.
故选：B
2．若，且则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.
【详解】对于A选项，例如，，故A错；
对于B选项，若，则，故B错；
对于C选项，若，则，故C错；
对于D选项，因为，，所以，，因此，即D正确.
故选：D.
3．设，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】确定的符号即得解.
【详解】由题得，
，
，
所以.
故选：A
4．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的曲线，求出，再利用“1”的妙用求出最小值作答.
【详解】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点，
即，于是，又，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16.
故选：C
5．函数的值域为（ ）
A．[0,1）B．C．D．
【答案】D
【分析】换元令，可得，结合二次函数分析运算.
【详解】令，则，
可得，
且开口向上，对称轴为，可得在上单调递增，
可知当时，取到最小值2，
所以的值域为，即函数的值域为.
故选：D.
6．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由f(x)为奇函数可知，
＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．
所以0点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
7．已知函数，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将，，的零点转化为函数，，与交点横坐标，做出图像即可得出结论．
【详解】令，，，
得，，，
则为函数与交点横坐标，
为函数与交点横坐标，
为函数与交点横坐标，
在同一直角坐标系中，分别做出，，和的图像，如图所示，

由图可知，，
故选：A．
8．函数在上的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性，可排除B；由时，可排除选项CD，可得出正确答案
【详解】，所以函数是奇函数，排除选项B，
又，排除选项CD，
故选：A
二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ）
A．y=-xB．y=-x2
C．y=D．y=-x|x|
【答案】AD
【分析】从奇偶性和单调性两个方面对四个选项一一验证即可.
【详解】对于A项，函数y=-x既是奇函数又是减函数；
对于B项，y=-x2是偶函数，故B项错误；
对于C项，函数y=是奇函数，但是y=在(-∞，0)或(0，+∞)上单调递减，在定义域上不具有单调性，故C项错误；
对于D项，函数y=-x|x|可化为y=其图象如图：
故y=-x|x|既是奇函数又是减函数，故D项正确.
故选：AD.
10．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据方程根的情况，解出等价条件，再利用其真子集是充分不必要条件即得结果.
【详解】一元二次方程有一个正根和一个负根，
则 ，解得，
则一元二次方程有一个正根和一个负根的充分而不必要条件应为的真子集，故BD正确，AC错误.
故选：BD.
11．下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数的最大值为
B．函数的减区间是
C．若，则为1
D．已知在上是增函数，若，则
【答案】ACD
【分析】A选项，先求的值域，再利用单调性求最值；B选项先求函数的定义域，在求函数的减区间；C选项指数化为对数进行化简即；D选项，利用函数单调性及的关系判断
【详解】A选项：设
由在单调递减，所以，故A正确
B选项：由
所以函数的定义域为，此时
函数在单调递减，
所以原函数的单调减区间为，故B错误；
C选项：由
所以
，故C正确；
D选项：假设 ，则，
所以
由在上是增函数
所以，
所以
与矛盾
所以当函数在上是增函数时，
若，
则，故D正确
故选：ACD.
12．下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最小值为2.
B．已知，则.
C．函数在定义域上是减函数.
D．若定义在上的函数f（x）为增函数，且，则实数m的取值范围为.
【答案】ACD
【分析】对A，令 , 利用对勾函数的单调性即可求解判断；对B：由 即可判断；对C: 函数 在 和 上是减函数即可判断；对D：利用函数是增函数解不等式即可判断.
【详解】由题意，
对A，
在中，，
令 , 则 在 单调递增，
所以 ，即函数 的最小值为 ，
故选项A错误；
对B，
因为 , 所以 .
所以 , 即 ，
故选项B正确；
对C，
函数 在 和 上是减函数，
所以选项C错误;
对D，
因为函数 为 上的增函数，且 .
所以 , 解得 ，
故选项D错误.
故选: ACD.
三、填空题
13．已知函数，则 .
【答案】1
【分析】根据分段函数的解析式代入即可求值.
【详解】由题意可得，所以.
故答案为：1
14．若幂函数的图象不经过原点，则实数的值为 ．
【答案】-1
【分析】根据函数是幂函数，由求得m，再图象不经过原点确定.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或；
当时，，图象不经过原点，满足题意；
当时，，图象经过原点，不满足题意；
所以.
故答案为：.
15．已知在上是减函数，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据指数型复合函数的单调性即可得到答案.
【详解】设，其对称轴为，而在上单调递减，
则若在上是减函数，所以在上是增函数，
则，故实数a的取值范围为.
故答案为：.
16．已知函数是定义在上的单调递增函数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分段函数在上单调递增，则在两个分段区间上都单调递增，且在上的最大值要不大于上的任意函数值，据此解答即可.
【详解】因为在上单调递增，
所以当时，在上单调递增，
又因为开口向下，对称轴为，
所以，故，且在上的最大值为，
当时，在上单调递增，
所以由幂函数的性质可知，且，
故，得，
由于以上条件要同时成立，故，即.
故答案为：.
四、解答题
17．化简求值：
(1)；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指对数运算即可得到答案；
（2）根据指数幂的运算即可.
【详解】（1）原式
．
（2）由题意得，得，
同理，故.
18．命题：“，”，命题：“，”.
(1)写出命题的否定命题，并求当命题为真时，实数的取值范围；
(2)若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据全称命题的否定形式写出，当命题为真时，可转化为，当，利用二次函数的性质求解即可；
（2）由（1）可得为真命题时的取值范围，再求解为真命题时的取值范围，分真和假，假和真两种情况讨论，求解即可
【详解】（1）由题意，命题：“，”，
根据全称命题的否定形式，：“，”
当命题为真时，，当
二次函数为开口向上的二次函数，对称轴为
故当时，函数取得最小值，即
故实数的取值范围是
（2）由（1）若为真命题，若为假命题
若命题：“，” 为真命题
则，解得
故若为假命题
由题意，和中有且只有一个是真命题，
当真和假时，且，故；
当假和真时，且，故；
综上：实数的取值范围是或
19．已知函数．
(1)判断的奇偶性并证明．
(2)当时，判断的单调性并证明．
【答案】(1)为奇函数，证明见解析
(2)在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）根据函数奇偶性的判定方法即可；
（2）根据定义法作差变形判定符号即可.
【详解】（1）为奇函数，
证明：函数的定义域为，关于坐标原点对称，
，
故为奇函数.
（2）当时，单调递增，
证明：任取，，且，
则
，
∵，∴，，，
∴，所以在上单调递增.
20．已知函数.
(1)若，求的最大值，并给出函数取最大值时对应的的值；
(2)解不等式.
【答案】(1)6，
(2)或
【分析】（1）换元，转化为二次函数求最值即可；
（2）解二次不等式后，再解对数不等式即可.
【详解】（1）设，
则，
对称轴为，二次函数图象开口向上，
故当时，即时，.
（2）因为，
所以，
解得或，
即或，
所以不等式的解集为或.
21．漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为单位：元
(1)求函数的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元．
【分析】（1）由已知，分段代入后整理得答案；
（2）分段求出函数的最大值，取两个最大值中的较大者得结论．
【详解】（1）由已知，
又，
所以，
整理得.
（2）当时，，
当时，，
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，，
因为
综上，所以的最大值为390
故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元．
22．已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的值域；
(3)若满足，则称为函数的不动点．函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)6
【分析】（1）根据函数图象过点可得，再根据，利用二次函数对称性可得；
（2）分类讨论对称轴与的关系求函数最小值；
（3）转化为方程方程有两个不相等的正实根的问题即可解决．
【详解】（1）因为函数的图象过点，所以，
又因为，所以二次函数对称轴方程为，解得，
所以函数的解析式为：．
（2）由（1）可知，，
分以下三种情形来讨论函数在上的最小值为：
情形一：当，即时，函数在上单调递减，
所以此时有；
情形二：当，即时，函数在上单调递减，在单调递增，
所以此时有；
情形三：当时，函数在上单调递增，
所以此时有．
综上所述：，其值域为.
（3）因为函数有两个不相等的不动点，且，
所以令，即方程有两个不相等的正实根，
所以，即，所以．
，
因为，所以由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6.
【点睛】关键点点睛：第一问比较常规；第二问的关键在于要分类讨论；第三问的关键是把问题转换为方程有两个不相等的正实根，列出等价条件求出的范围，进而结合韦达定理即可.