新九年级数学时期讲义第4讲二次函数(二)-基础班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第4讲二次函数(二)-基础班(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 二次函数的图象与系数的关系
抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 【例题精选】
例1 (2023•娄星区一模）已知某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③a＝﹣；④8a+c＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2 (2023秋•潜山市期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有下列结论
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＜0；④a+b≥m（am+b），
其中正确的结论有（ ）
A．①②B．②③C．①④D．②④
【随堂练习】
1．(2023•泸县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤
2．(2023秋•芜湖期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论中正确的是（ ）
A．abc＜0
B．4ac﹣b2＞0
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．4a﹣2b+c＞0
3．(2023•亳州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A．ac＞0B．b＞0C．a+c＜0D．a+b+c＝0
2二次函数与方程的综合
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
【例题精选】
例1(2023秋•襄阳期末）已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围______________．
例2 (2023秋•鞍山期末）已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个点为（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝3C．x1＝﹣1，x2＝1D．x1＝3，x2＝﹣5
【随堂练习】
1．(2023秋•河北区期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴有_______个交点．
2．(2023秋•无棣县期末）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1
3．(2023秋•北仑区期末）已知函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个有交点，则k的值为___________．
3二次函数与不等式的关系
【例题精选】
例1 (2023•武汉模拟）下表时二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值：
则对于该函数的性质的判断：
①该二次函数有最大值；
②不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；
③方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；
④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；
其中正确的是（ ）
A．②③B．②④C．①③D．③④
例2 (2023秋•涟源市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2B．x＞2C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞2
【随堂练习】
1．(2023•泉州模拟）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A．27B．9C．﹣7D．﹣16
2．(2023秋•咸安区期末）如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣5＜t≤4B．3＜t≤4C．﹣5＜t＜3D．t＞﹣5
3．(2023•河北模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
有以下几个结论：
①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；
②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；
③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；
④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；
其中正确的是（ ）
A．①④B．②④C．②③D．③④
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（ ）
A．4B．2C．6D．9
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点纵坐标为﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜5B．m＞5或m＜0C．m＞5或m＝0D．m≥5或m＝0
3．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．抛物线与x轴无公共点
D．不论a为何值，都过定点
4．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．b＜n＜m＜aD．n＜b＜a＜m
5．已知二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则b＝（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
二．解答题（共4小题）
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）b＝ ；（用含a的代数式表示）
（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；
7．如图，抛物线y＝x2﹣3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）设抛物线y＝x2﹣3x+k的顶点为M，求△ABM的面积．
8．抛物线C1：y＝x2向左平移1个单位长度，在向下平移4个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2对应的函数解析式以及抛物线C2与x轴的交点坐标；
（2）当x取什么值时，抛物线C2在x轴的下方？
9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一个根是4，求方程的另一个根．
x
…
0
1
2
…
y
…
﹣1
m
﹣1
n
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
第4讲 二次函数（二）
1 二次函数的图象与系数的关系
抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 【例题精选】
例1 (2023•娄星区一模）已知某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③a＝﹣；④8a+c＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，则abc＞0，故①错误，不符合题意；
②函数的对称轴为x＝1，函数和x轴的一个交点是（3，0），则另外一个交点为（﹣1，0），
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x＝1＝﹣，即b＝﹣2a，故③正确，符合题意；
④由②③得，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，故3a+c＝0，而a＞0，即5a＞0，故8a+c＞0正确，符合题意；
故选：C．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换等．
例2 (2023秋•潜山市期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有下列结论
①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＜0；④a+b≥m（am+b），
其中正确的结论有（ ）
A．①②B．②③C．①④D．②④
分析：①根据抛物线的开口方向确定a的符号，对称轴在y轴左侧确定b的符号，抛物线与y轴的交点位置确定c的符号即可；
②根据x＝﹣1时y的取值范围即可判断；
③根据x＝2时y的取值范围即可判断；
④根据选择题的筛选法和①②③的判断即可知选项．
【解答】解：①根据图象可知：
a＜0，c＞0，对称轴在y轴左侧，∴b＞0，
∴abc＜0．
∴①正确；
②根据图象可知：当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，即b＞a+c．
∴②错误；
③观察图象可知：当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0．
∴③错误．
∴选项A、B、D都错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决本题的关键是综合利用二次函数的图象和性质．
【随堂练习】
1．(2023•泸县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故①错误；
②由于对称轴可知：＜1，
∴2a+b＞0，故②正确；
③由于抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故④正确；
⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；
故选：C．
2．(2023秋•芜湖期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论中正确的是（ ）
A．abc＜0
B．4ac﹣b2＞0
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．4a﹣2b+c＞0
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵c＝﹣3，
∴abc＞0，故A错误；
∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故B错误；
∵抛物线与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（2，0），
∴对称轴方程为直线x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，故C错误；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故D正确；
故选：D．
3．(2023•亳州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A．ac＞0B．b＞0C．a+c＜0D．a+b+c＝0
【解答】解：（A）由图象可知：a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故A错误；
（B）由对称轴可知：x＝＜0，
∴b＜0，故B错误；
（C）由对称轴可知：x＝＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a+c＝a﹣3a＝﹣2a＞0，故C错误；
故选：D．
2二次函数与方程的综合
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
【例题精选】
例1(2023秋•襄阳期末）已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围______________．
分析：由抛物线与x轴有两个不同的交点可得出一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解，由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：令y＝0，则kx2﹣6x﹣9＝0．
∵二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解，
∴，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故答案是：k＞﹣1且k≠0．
【点评】本题拷出来抛物线与x轴的交点，牢记“△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．
例2 (2023秋•鞍山期末）已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个点为（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝3C．x1＝﹣1，x2＝1D．x1＝3，x2＝﹣5
分析：利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），然后利用抛物线与x轴的交点问题求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而抛物线与x轴的一个点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【随堂练习】
1．(2023秋•河北区期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴有_______个交点．
【解答】解：令y＝0，得到x2﹣2x﹣1＝0，
∵△＝4+4＝8＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
则抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴的交点的个数是2．
故答案是：2．
2．(2023秋•无棣县期末）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．
故选：C．
3．(2023秋•北仑区期末）已知函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个有交点，则k的值为___________．
【解答】解：当k＝0时，函数解析式变形为y＝﹣2x+1，此一次函数与x轴只有一个交点；
当k≠0时，△＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝1，此时抛物线与x轴只有一个交点，
综上所述，k的值为0或1．
故答案为0或1．
3二次函数与不等式的关系
【例题精选】
例1 (2023•武汉模拟）下表时二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值：
则对于该函数的性质的判断：
①该二次函数有最大值；
②不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；
③方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；
④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；
其中正确的是（ ）
A．②③B．②④C．①③D．③④
分析：由图表可得二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，a＞0，即可判断①④不正确，由图表可直接判断②③正确．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝﹣1；当x＝，y＝﹣；当x＝，y＝﹣；
∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小．
∴a＞0即二次函数有最小值
则①④错误
由图表可得：不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2；
由图表可得：方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间；
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值，理解图表中信息是本题的关键．
例2 (2023秋•涟源市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2B．x＞2C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞2
分析：根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以写出当y＞0时，x的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：由图象可知，
当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【随堂练习】
1．(2023•泉州模拟）二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ）
A．27B．9C．﹣7D．﹣16
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，
∴x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，
∵当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），
把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m得4+12+m＝0，解得m＝﹣16．
故选：D．
2．(2023秋•咸安区期末）如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣5＜t≤4B．3＜t≤4C．﹣5＜t＜3D．t＞﹣5
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜3的范围内有解，
∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点，
∴3＜t≤4．
故选：B．
3．(2023•河北模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
有以下几个结论：
①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；
②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；
③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；
④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；
其中正确的是（ ）
A．①④B．②④C．②③D．③④
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（﹣1，3）、（0，0）、（3，3）代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，
由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；
抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；
当y＝0时，x（x﹣2）＝0，解得x＝0或x＝2，
∴方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③正确；
当y＞0时，x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确；
故选：D．
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（ ）
A．4B．2C．6D．9
【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，
∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，
∴n＝m2，
∵抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a﹣4，b），
∴b＝a2+ma+n，b＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，
∴a2+ma+n＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，
化简，得
a＝，
∴b＝a2+ma+n＝（）2+m×+m2＝4，
故选：A．
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点纵坐标为﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜5B．m＞5或m＜0C．m＞5或m＝0D．m≥5或m＝0
【解答】解：由图象可知：将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5，
∵|ax2+bx+c|＝m的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点），
（1）当m＝0时，|ax2+bx+c|＝m有两个不相等的实数根，
（2）在x轴上方时，只有m＞5时，作平行于x轴的直线才会与图象有两个交点，
∴m＝0或m＞5．
故选：C．
3．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．抛物线与x轴无公共点
D．不论a为何值，都过定点
【解答】解：因为二次函数的二次项系数为1＞0，所以抛物线开口向上，故选项A正确；
当x＝2时，y＝x2﹣3x＝x（x﹣3），由于抛物线与x轴交于（0，0）和（3，0），故选项B正确；
∵△＝[﹣（a+1）]2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，所以抛物线与x轴总有两个交点，故选项C错误；
当x＝1时，y＝1﹣a﹣1﹣2＝﹣2，此时抛物线不再含有a，即不论a为何值，都过定点（1，﹣2），故选项D正确．
故选：C．
4．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．b＜n＜m＜aD．n＜b＜a＜m
【解答】解：
如图抛物线y2＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点（a，0），（b，0），抛物线与直线y1＝3的交点为（m，3）（n，3）由图象可知m＜a＜b＜n，
故选：A．
5．已知二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则b＝（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴△＝b2﹣4＝0，
解得b＝±2，
故选：B．
二．解答题（共4小题）
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）b＝ 4a ；（用含a的代数式表示）
（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；
【解答】解：（1）由题意得：
抛物线的x＝＝﹣2 解得b＝4a，
故答案为：4a；
（2）当a＝﹣1时，b＝﹣4；
∴抛物线y＝﹣x2﹣4x+c；
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程x2+4x﹣c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解
∴△＝b2﹣4ac≥0 即：（﹣4）2﹣4×（﹣1）•c＝16+4c≥0，解得c≥﹣4
∴抛物线y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4与直线y＝c 在﹣3＜x＜1的范围内有交点
当x＝﹣2时 y＝﹣4；当x＝1时，y＝5
故可得：﹣4＜c＜5
7．如图，抛物线y＝x2﹣3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）设抛物线y＝x2﹣3x+k的顶点为M，求△ABM的面积．
【解答】解：
（1）将点C（0，﹣4）代入y＝x2﹣3x+k得﹣4＝k．
故k的值为﹣4．
（2）由（1）得抛物线为y＝x2﹣3x﹣4，
∴令y＝0，得0＝x2﹣3x﹣4，解得，x1＝4，x2＝﹣1．
故抛物线与x轴的交点坐标，点A（﹣1，0）；点B（4，0）．
（3）如图，
∵抛物线为y＝x2﹣3x﹣4，化为顶点式得：．
∴顶点M为
∴△ABM的高为
∵|AB|＝|4﹣（﹣1）|＝5，
∴S△ABM＝，
故△ABM的面积为．
8．抛物线C1：y＝x2向左平移1个单位长度，在向下平移4个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2对应的函数解析式以及抛物线C2与x轴的交点坐标；
（2）当x取什么值时，抛物线C2在x轴的下方？
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝x2，
∴C1的顶点坐标为（0，0），
根据题意，得平移后抛物线C2的顶点坐标为：（﹣1，﹣4），
∴抛物线C2的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，有x2+2x﹣3＝0，
解得，x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线C2与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）；
（2）∵抛物线抛物线C2的解析式为：y＝x2+2x﹣3，其中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当﹣3＜x＜1时，抛物线C2在x轴的下方．
9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一个根是4，求方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0；
（2）解：把b＝﹣2a代入方程ax2﹣bx+6＝0得：ax2+2ax+6＝0，
把x＝4代入方程ax2+2ax+6＝0得：16a+8a+6＝0，
a＝﹣，则b＝．
即方程为﹣x2﹣x+6＝0，
解得：x＝﹣6，x＝4，
即方程的另一个根为﹣6．
x
…
0
1
2
…
y
…
﹣1
m
﹣1
n
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…