新九年级数学时期讲义第4讲二次函数(二)-满分班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第4讲二次函数(二)-满分班(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 二次函数的图象与系数的关系
抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 【例题精选】
例1 (2023秋•长春月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中：①a＞0，②a+b+c＝2，③bc＜0，④a﹣b+c＞0，正确的有（ ）
A．①④B．①②③C．①②④D．②③④
例2 (2023秋•香坊区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0； ②2a+b＜0； ③4a﹣2b+c＜0； ④b2﹣4ac＜0，其中正确结论的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【随堂练习】
1．(2023秋•诸暨市校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．(2023秋•南岗区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列关于a，b，c间关系判断正确的是（ ）
A．ab＜0B．bc＜0C．a+b+c＞0D．b2﹣4ac＜0
3．(2023秋•福田区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，分析下列四个结论：
①abc＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a+b+c＜0．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2二次函数与方程的综合
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
【例题精选】
例1(2023秋•乐亭县期末）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（ ）
A．﹣7B．7C．﹣10D．10
例2(2023秋•滦南县期末）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx
＝﹣m有实数根，则m最大值为（ ）
A．3B．﹣3C．﹣6D．9
【随堂练习】
1．(2023秋•开远市期末）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），则一元二次方程x2+bx+c＝0的根为____________．
2．(2023秋•江阴市期末）二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为_________．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，
3二次函数与不等式的关系
【例题精选】
例1(2023•浙江自主招生）二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为________．
例2 (2023•玉山县一模）“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．m＜a＜n＜b
【随堂练习】
1．(2023秋•铁西区期末）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）把表格填写完整；
（2）根据上表填空：
①抛物线与x轴的交点坐标是________和________；
②在对称轴右侧，y随x增大而________；
③当﹣2＜x＜2时，则y的取值范围是_____________．
（3）确定抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（ ）
A．4B．2C．6D．9
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点纵坐标为﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜5B．m＞5或m＜0C．m＞5或m＝0D．m≥5或m＝0
3．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．抛物线与x轴无公共点
D．不论a为何值，都过定点
4．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．b＜n＜m＜aD．n＜b＜a＜m
5．已知二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则b＝（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
二．解答题（共4小题）
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）b＝ ；（用含a的代数式表示）
（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；
7．如图，抛物线y＝x2﹣3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）设抛物线y＝x2﹣3x+k的顶点为M，求△ABM的面积．
8．抛物线C1：y＝x2向左平移1个单位长度，在向下平移4个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2对应的函数解析式以及抛物线C2与x轴的交点坐标；
（2）当x取什么值时，抛物线C2在x轴的下方？
9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一个根是4，求方程的另一个根．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
4
3
0
…
第4讲 二次函数（二）
1 二次函数的图象与系数的关系
抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 【例题精选】
例1 (2023秋•长春月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中：①a＞0，②a+b+c＝2，③bc＜0，④a﹣b+c＞0，正确的有（ ）
A．①④B．①②③C．①②④D．②③④
分析：根据函数的图象的开口向上，即可判断①，把（1，2）代入函数解析式，即可判断②；根据函数的对称轴即可求出b＞0，根据函数图象与y轴的交点的位置求出c＜0，即可判断③，把x＝﹣1代入函数解析式，即可判断④．
【解答】解：抛物线开口向上，则a＞0，因此①正确；
抛物线过（1，2），代入得，a+b+c＝2，因此②正确；
对称轴在y轴的左侧，则a、b同号，而a＞0，则b＞0，
∵二次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴bc＜0，因此③正确，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，因此④不正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
例2 (2023秋•香坊区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0； ②2a+b＜0； ③4a﹣2b+c＜0； ④b2﹣4ac＜0，其中正确结论的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
分析：根据图象的开口可确定a．再结合对称轴，可确定b，根据图象与y轴的交点位置，可确定c，根据图象与x轴的交点个数可确定△．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵图象与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴x＝﹣＜1，a＜0，
∴b＜﹣2a，
∴2a+b＜0，故②正确；
∵当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故③正确；
∵图象和x轴交于两点，
∴b2﹣4ac＞0，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．
【随堂练习】
1．(2023秋•诸暨市校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：由图象可知：当x＝1时y＞0，
∴a+b+c＞0；故①错误
当x＝﹣1时y＜0，
∴a﹣b+c＜0．
故②正确；
由图象可知：抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，
对称轴为x＝﹣＜1，a＜0，
∴﹣b＞2a，
∴b+2a＜0，故③正确；
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴对称轴为x＝﹣＞0，
又∵a＜0，
∴b＞0，
故abc＜0；故④错误；
故选：B．
2．(2023秋•南岗区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列关于a，b，c间关系判断正确的是（ ）
A．ab＜0B．bc＜0C．a+b+c＞0D．b2﹣4ac＜0
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，
得2a＝b，
∴a、b同号，即b＜0，
∴ab＞0，bc＞0，
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∵抛物线与x轴没有交点，
∴b2﹣4ac＜0，
所以D正确．
故选：D．
3．(2023秋•福田区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，分析下列四个结论：
①abc＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a+b+c＜0．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＜0，c＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，结论①错误；
②∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，结论②正确；
③∵﹣＞﹣1，a＜0，
∴b＞2a，
∴2a﹣b＜0，结论③错误；
④∵当x＝1时，y＜0；
∴a+b+c＜0，结论④正确．
故选：B．
2二次函数与方程的综合
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
【例题精选】
例1(2023秋•乐亭县期末）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（ ）
A．﹣7B．7C．﹣10D．10
分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】方法一：解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣7，
∴a＞0．
﹣＝﹣7，即b2＝28a，
∵一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4am≥0，即28a﹣4am≥0，解得m≤7，
∴m的最大值为7，
方法二：解：一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则二次函数y＝ax2+bx的图象与直线y＝﹣m有交点，
由图象得，﹣m≥﹣7，解得m≤7，
∴m的最大值为7，
故选：B．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根的判别式，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．
例2(2023秋•滦南县期末）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx
＝﹣m有实数根，则m最大值为（ ）
A．3B．﹣3C．﹣6D．9
分析：根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最小值，再根据一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，从而可以求得m的取值范围，从而可以得到m的最大值．
【解答】解：由图象可得，
二次函数y＝ax2+bx的最小值是y＝﹣3，
∵一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根，
∴﹣m≥﹣3，
解得，m≤3，
∴m的最大值是3，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
【随堂练习】
1．(2023秋•开远市期末）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），则一元二次方程x2+bx+c＝0的根为____________．
【解答】解：物线y＝x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
则一元二次方程x2+bx+c＝0的根为：x＝﹣1或3，
故答案为：﹣1或3．
2．(2023秋•江阴市期末）二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为_________．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
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日期：2020/6/26 10:04:47；用户：杨晓红；邮箱：13811956842；学号：37113097
3二次函数与不等式的关系
【例题精选】
例1(2023•浙江自主招生）二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为________．
分析：利用二次函数的性质得抛物线的对称轴为直线x＝4，利用抛物线的对称性得到x＝2和x＝6对应的函数值相等，由于抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，所以只有x＝2和x＝6时，y＝0，然后把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4中可求出a的值．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝4，
∴x＝2和x＝6对应的函数值相等，
∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，
∴x＝2和x＝6时，y＝0，
即抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（6，0），
把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得a（2﹣4）2﹣4＝0，解得a＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
例2 (2023•玉山县一模）“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．m＜a＜n＜b
分析：由m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根可得出二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出a、b、m、n的大小关系．
【解答】解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，
∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），
∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，
二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．
画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，画出两函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•铁西区期末）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）把表格填写完整；
（2）根据上表填空：
①抛物线与x轴的交点坐标是________和________；
②在对称轴右侧，y随x增大而________；
③当﹣2＜x＜2时，则y的取值范围是_____________．
（3）确定抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；
【解答】解：（1）∵x＝﹣3，y＝0；x＝1，y＝0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝0和x＝﹣2时，y＝3；
（2）①抛物线与x轴的交点坐标是（﹣3，0）和（1，0）；
②设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把（0，3）代入得3＝﹣3a，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3，
抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧，y随x增大而减小；
③当x＝﹣2时，y＝3；当x＝2时，y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，
当﹣2＜x＜2时，则y的取值范围是﹣5＜y≤4．
（3）由（2）得抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
故答案为（﹣3，0）、（1，0）；减小；﹣5＜y≤4．
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（ ）
A．4B．2C．6D．9
【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，
∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，
∴n＝m2，
∵抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a﹣4，b），
∴b＝a2+ma+n，b＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，
∴a2+ma+n＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，
化简，得
a＝，
∴b＝a2+ma+n＝（）2+m×+m2＝4，
故选：A．
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点纵坐标为﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜5B．m＞5或m＜0C．m＞5或m＝0D．m≥5或m＝0
【解答】解：由图象可知：将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5，
∵|ax2+bx+c|＝m的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点），
（1）当m＝0时，|ax2+bx+c|＝m有两个不相等的实数根，
（2）在x轴上方时，只有m＞5时，作平行于x轴的直线才会与图象有两个交点，
∴m＝0或m＞5．
故选：C．
3．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．抛物线与x轴无公共点
D．不论a为何值，都过定点
【解答】解：因为二次函数的二次项系数为1＞0，所以抛物线开口向上，故选项A正确；
当x＝2时，y＝x2﹣3x＝x（x﹣3），由于抛物线与x轴交于（0，0）和（3，0），故选项B正确；
∵△＝[﹣（a+1）]2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，所以抛物线与x轴总有两个交点，故选项C错误；
当x＝1时，y＝1﹣a﹣1﹣2＝﹣2，此时抛物线不再含有a，即不论a为何值，都过定点（1，﹣2），故选项D正确．
故选：C．
4．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．b＜n＜m＜aD．n＜b＜a＜m
【解答】解：
如图抛物线y2＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点（a，0），（b，0），抛物线与直线y1＝3的交点为（m，3）（n，3）由图象可知m＜a＜b＜n，
故选：A．
5．已知二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则b＝（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴△＝b2﹣4＝0，
解得b＝±2，
故选：B．
二．解答题（共4小题）
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）b＝ 4a ；（用含a的代数式表示）
（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；
【解答】解：（1）由题意得：
抛物线的x＝＝﹣2 解得b＝4a，
故答案为：4a；
（2）当a＝﹣1时，b＝﹣4；
∴抛物线y＝﹣x2﹣4x+c；
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程x2+4x﹣c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解
∴△＝b2﹣4ac≥0 即：（﹣4）2﹣4×（﹣1）•c＝16+4c≥0，解得c≥﹣4
∴抛物线y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4与直线y＝c 在﹣3＜x＜1的范围内有交点
当x＝﹣2时 y＝﹣4；当x＝1时，y＝5
故可得：﹣4＜c＜5
7．如图，抛物线y＝x2﹣3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）设抛物线y＝x2﹣3x+k的顶点为M，求△ABM的面积．
【解答】解：
（1）将点C（0，﹣4）代入y＝x2﹣3x+k得﹣4＝k．
故k的值为﹣4．
（2）由（1）得抛物线为y＝x2﹣3x﹣4，
∴令y＝0，得0＝x2﹣3x﹣4，解得，x1＝4，x2＝﹣1．
故抛物线与x轴的交点坐标，点A（﹣1，0）；点B（4，0）．
（3）如图，
∵抛物线为y＝x2﹣3x﹣4，化为顶点式得：．
∴顶点M为
∴△ABM的高为
∵|AB|＝|4﹣（﹣1）|＝5，
∴S△ABM＝，
故△ABM的面积为．
8．抛物线C1：y＝x2向左平移1个单位长度，在向下平移4个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2对应的函数解析式以及抛物线C2与x轴的交点坐标；
（2）当x取什么值时，抛物线C2在x轴的下方？
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝x2，
∴C1的顶点坐标为（0，0），
根据题意，得平移后抛物线C2的顶点坐标为：（﹣1，﹣4），
∴抛物线C2的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，有x2+2x﹣3＝0，
解得，x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线C2与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）；
（2）∵抛物线抛物线C2的解析式为：y＝x2+2x﹣3，其中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当﹣3＜x＜1时，抛物线C2在x轴的下方．
9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一个根是4，求方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0；
（2）解：把b＝﹣2a代入方程ax2﹣bx+6＝0得：ax2+2ax+6＝0，
把x＝4代入方程ax2+2ax+6＝0得：16a+8a+6＝0，
a＝﹣，则b＝．
即方程为﹣x2﹣x+6＝0，
解得：x＝﹣6，x＝4，
即方程的另一个根为﹣6．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
4
3
0
…