新九年级数学时期讲义第3讲二次函数(一)-满分班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第3讲二次函数(一)-满分班(学生版+解析)，共18页。学案主要包含了二次函数的定义等内容，欢迎下载使用。

1 二次函数的定义
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
【例题精选】
例1 (2023秋•当涂县期末）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝2x+3B．
C．y＝3x2﹣1D．y＝（x﹣1）2﹣x2
例2 (2023秋•澧县期末）如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是_______．
【随堂练习】
1．(2023秋•昭平县期中）若x为自变量，则表达式不是二次函数的是（ ）
A．y＝2x2﹣1B．y＝
C．y＝1x2D．y＝﹣x2 +2x﹣1
2．(2023•谯城区模拟）如果y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，那么k需满足的条件是 _________．
3．(2023•利辛县模拟）如果函数y＝（m﹣1）x2+x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是_________．
2 二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
【例题精选】
例1(2023秋•乐亭县期末）抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3
例2 (2023•越城区模拟）将抛物线向右平移2个单位再向上平移1个单位后得到的抛物线表达式是y＝x2+1，则原抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣1B．y＝x2+4x+4C．y＝x2+6x+5D．y＝x2+8x+17
【随堂练习】
1．(2023•皇姑区二模）对于函数y＝（x﹣2）2+5，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是（2，5）B．图象开口向上
C．图象关于直线x＝2对称D．函数最大值为5
2．(2023•金牛区模拟）由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（ ）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝4
C．其顶点坐标为（4，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
3．(2023秋•蚌埠期末）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．y的最小值为﹣3
C．当 x＜0时，y的值随x值的大而减小
D．图象的对称轴在y轴的右侧
4．(2023秋•临安区期末）二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是（ ）
A．1B．﹣1C．5D．﹣5
5．(2023•新宾县二模）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（2，1）
3二次函数的解析式
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
要点诠释：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
【例题精选】
例1 (2023•顺德区模拟）把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝____________．
例2(2023秋•莱西市期中）顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是____________________．
【随堂练习】
1．(2023秋•西城区校级期中）写出一个开口向下，顶点坐标为（0，3）的抛物线的解析式___________________．
2．(2023秋•苏州期中）已知二次函数的图象过（0，1），（1，0）（﹣2，0）三点，则这二次函数的解析式是_______________________．
3．(2023•工业园区一模）若二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（﹣1，0），（3，0），则其表达式为y＝___________________．

综合练习
一．填空题（共5小题）
1．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为 ．
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有 （只填序号）．
3．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
4．将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位，再向上移3个单位，所得到的新图象对应的解析式是 ．
5．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝ ．
二．解答题（共3小题）
6．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C （2，3）两点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．
8．某网店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本的售价比乙种笔记本多2元，为了给学习小组颁发奖品，刘老师从该网店购买了20本甲种笔记本和30本乙种笔记本，共花费340元．
（1）该网店甲、乙两种笔记本的售价是多少？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过740元购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量大于乙种笔记本数量的，已知甲种笔记本每本的进价为4元，乙种笔记本每本的进价为3.5元．
①若设购进甲种笔记本m本，则该网店有几种进货方案？
②若所购进笔记本均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种笔记本进货量m（本）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0，0)
(轴)
(0，)
(，0)
(，)
()
第3讲 二次函数（一）
1 二次函数的定义
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
【例题精选】
例1 (2023秋•当涂县期末）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝2x+3B．
C．y＝3x2﹣1D．y＝（x﹣1）2﹣x2
分析：根据二次函数的定义，可得答案．
【解答】解：A、是一次函数，故A错误；
B、二次函数都是整式，故B错误；
C、是二次函数，故C正确；
D、是一次函数，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，函数y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．
例2 (2023秋•澧县期末）如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是_______．
分析：根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．
【解答】解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，
解得k＝0或k＝3；
又∵k﹣3≠0，
∴k≠3．
∴k的值是0时．
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【随堂练习】
1．(2023秋•昭平县期中）若x为自变量，则表达式不是二次函数的是（ ）
A．y＝2x2﹣1B．y＝
C．y＝1x2D．y＝﹣x2 +2x﹣1
【解答】解：A．y＝2x2﹣1属于二次函数，不合题意；
B．y＝属于一次函数，符合题意；
C．y＝1x2属于二次函数，不合题意；
D．y＝﹣x2+2x﹣1属于二次函数，不合题意；
故选：B．
2．(2023•谯城区模拟）如果y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，那么k需满足的条件是 _________．
【解答】解：∵y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，
∴k﹣3≠0，
解得：k≠3，
∴k需满足的条件是：k≠3，
故答案为：k≠3．
3．(2023•利辛县模拟）如果函数y＝（m﹣1）x2+x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是_________．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x2+x（m为常数）是二次函数，
∴m﹣1≠0，解得：m≠1，
故答案为：m≠1．
2 二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
【例题精选】
例1(2023秋•乐亭县期末）抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3
分析：由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，代入点（0，﹣3）可求出a值，进而可得出抛物线的解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
例2 (2023•越城区模拟）将抛物线向右平移2个单位再向上平移1个单位后得到的抛物线表达式是y＝x2+1，则原抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣1B．y＝x2+4x+4C．y＝x2+6x+5D．y＝x2+8x+17
分析：根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．
【解答】解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后所得抛物线的表达式为y＝x2+1，
抛物线y＝x2+1，左移2个单位，下移1个单位得原函数解析式y＝（x+2）2+1﹣1，即y＝x2+4x+4
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．
【随堂练习】
1．(2023•皇姑区二模）对于函数y＝（x﹣2）2+5，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是（2，5）B．图象开口向上
C．图象关于直线x＝2对称D．函数最大值为5
【解答】解：∵函数y＝（x﹣2）2+5＝x2+4x﹣5，
∴该函数图象的顶点坐标是（2，5），故选项A正确；
a＝1＞0，该函数图象开口向上，故选项B正确；
该函数图象关于直线x＝2对称，故选项C正确；
当x＝2时，该函数取得最小值y＝5，故选项D错误；
故选：D．
2．(2023•金牛区模拟）由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（ ）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝4
C．其顶点坐标为（4，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【解答】解：∵y＝3（x﹣4）2﹣2，
∴抛物线开口向上，故A不正确；
对称轴为x＝4，故B正确；
当x＝4时，y有最小值﹣2，故C不正确；
当x＞4时，y随x的增大而增大，故D不正确；
故选：B．
3．(2023秋•蚌埠期末）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．y的最小值为﹣3
C．当 x＜0时，y的值随x值的大而减小
D．图象的对称轴在y轴的右侧
【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，
当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项B正确，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项D错误，
故选：B．
4．(2023秋•临安区期末）二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是（ ）
A．1B．﹣1C．5D．﹣5
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是﹣5．
故选：D．
5．(2023•新宾县二模）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（2，1）
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2，
∴其顶点坐标为（1，2）．
故选：B．
3二次函数的解析式
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
要点诠释：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
【例题精选】
例1 (2023•顺德区模拟）把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k＝____________．
分析：利用配方法把二次函数的表达式y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，求出h、k的值各是多少，代入代数式计算即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴h＝2，k＝1，
∴h+k＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，要熟练掌握三种形式之间相互转化的方法．
例2(2023秋•莱西市期中）顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是____________________．
分析：设抛物线的顶点式，y＝a（x﹣h）2+k，确定h、k、a的值即可．
【解答】解：设所求的抛物线的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵顶点为（﹣6，0），
∴h＝﹣6，k＝0，
又∵开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同，
∴a＝﹣，
∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x+6）2，
【点评】考查求二次函数的关系式的方法，已知顶点坐标、对称轴等条件通常设抛物线的顶点式．
【随堂练习】
1．(2023秋•西城区校级期中）写出一个开口向下，顶点坐标为（0，3）的抛物线的解析式___________________．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，3）
∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+3，
又∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，故可取a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3．
故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．
2．(2023秋•苏州期中）已知二次函数的图象过（0，1），（1，0）（﹣2，0）三点，则这二次函数的解析式是_______________________．
【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），
将（0，1）代入得：﹣2a＝1，即a＝﹣，
则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+1，
故答案为y＝﹣x2﹣x+1．
3．(2023•工业园区一模）若二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（﹣1，0），（3，0），则其表达式为y＝___________________．
【解答】解：把（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，解得：
∴二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3．
故答案为：x2﹣2x﹣3．

综合练习
一．填空题（共5小题）
1．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为 y＝（x+2）2﹣3 ．
【解答】解：∵抛物线y＝x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3．
故答案是：y＝（x+2）2﹣3．
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有 ③④⑤ （只填序号）．
【解答】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＞0，
故①错误；
②∵抛物线与x轴的交点有两个，
∴b2﹣4ac＞0，②错误；
③∵，
∴b＝2a，
由图象可知：9a﹣3b+c＜0，
∴9a﹣6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最大值，
∴am2﹣bm+c≤a﹣b+c（m为任意实数），
∴m（am﹣b）≤a﹣b（m为任意实数），
∴m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a，所以④正确；
⑤∵对称轴x＝﹣1，
∴x1≠x2，x1+x2＝﹣2时，有ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
∴ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴结论⑤正确．
综合以上可得：③④⑤．
3．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m≤2 ．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，
∴m≤2．
故答案为：m≤2．
4．将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位，再向上移3个单位，所得到的新图象对应的解析式是 y＝（x﹣1）2+3 ．
【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），把点（﹣1，0）先向右平移2个单位，再向上移3个单位所得对应点的坐标为（1，3），所以新图象对应的解析式为y＝（x﹣1）2+3．
故答案为y＝（x﹣1）2+3．
5．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝ 2 ．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+1，
∴当x＝2时，二次函数求得最小值为1．
故答案为：2．
二．解答题（共3小题）
6．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．
【解答】解：∵抛物线图象过点（﹣1，0）、（3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（1，﹣4）代入得，﹣4＝a•2•（﹣2），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C （2，3）两点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），C（2，3），
得：，解得：，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
设直线AC的函数解析式为y＝mx+n．
把A（﹣1，0），C（2，3）代入，
得，解得，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+1；
（2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点H，交AC于点Q，
设P（x，﹣x2+2x+3），则Q（x，x+1）．
∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，
∴S△APC＝S△APQ+S△CPQ
＝PQ×3
＝（﹣x2+x+2）
＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝ 时，△APC的面积最大，最大值为．
8．某网店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本的售价比乙种笔记本多2元，为了给学习小组颁发奖品，刘老师从该网店购买了20本甲种笔记本和30本乙种笔记本，共花费340元．
（1）该网店甲、乙两种笔记本的售价是多少？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过740元购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量大于乙种笔记本数量的，已知甲种笔记本每本的进价为4元，乙种笔记本每本的进价为3.5元．
①若设购进甲种笔记本m本，则该网店有几种进货方案？
②若所购进笔记本均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种笔记本进货量m（本）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设乙种笔记本每本的售价为x元，则甲种笔记本每本的售价为（x+2）元，
根据题意可得 20（x+2）+30x＝340，解得 x＝6，x+2＝8，
答：该网店甲种笔记本每本的售价为8元，乙种笔记本每本的售价为6元；
（2）①若购进甲种笔记本m本，则乙种笔记本为（200﹣m）本，
根据题意可得，
，
解得60＜m≤80，
∵m为整数，
∴m的值为61、62、63、64、65、66、67、68、69、70、71、72、73、74、75、76、77、78、79、80，
∴进货方案有20种；
②根据题意可得W＝（8﹣4）m+（6﹣3.5）（200﹣m）＝1.5m+500，
∵1.5＞0，
∴W随m的增大而增大，且60＜m≤80，
∴当m＝80时，W最大，W最大值为W＝1.5×80+500＝620（元），
答：当m＝80时，所获利润最大，最大利润为620元．
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0，0)
(轴)
(0，)
(，0)
(，)
()