新九年级数学时期讲义第4讲二次函数(二)-提高班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第4讲二次函数(二)-提高班(学生版+解析)，共24页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 二次函数的图象与系数的关系
抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 【例题精选】
例1(2023•甘肃模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b2＝4a；④a+b+c＜0．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
例2 (2023•路北区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＞0．其中正确的是（ ）
A．①③B．②C．②④D．③④
【随堂练习】
1．(2023•嘉陵区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④2a＝b．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．(2023秋•平谷区期末）二次函数y＝kx2+2x+1的部分图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A．k≤1B．k≥1C．k＜1D．0＜k＜1
3．(2023秋•兖州区期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4ac﹣b2＜8a；④3a+c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）
其中正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2二次函数与方程的综合
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
【例题精选】
例1 (2023秋•阜南县期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1B．x1＝3，x2＝1C．x＝﹣3D．x＝﹣2
例2 (2023秋•兴安盟期末）抛物线y＝﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．以上都不对
【随堂练习】
1．(2023秋•汉阳区期中）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝6B．x1＝﹣5，x2＝2C．x1＝﹣3，x2＝4D．x1＝﹣2，x2＝5
2．(2023秋•黔东南州期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为__________________．
3．(2023•洛宁县三模）若二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1
3二次函数与不等式的关系
【例题精选】
例1(2023秋•澧县期末）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3）
（1）求二次函数的解析式；
（2）在图中，画出二次函数的图象；
（3）根据图象，直接写出当y≤0时，x的取值范围．
例2(2023•滦州市模拟）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
【随堂练习】
1．(2023•招远市一模）函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2
2．(2023秋•中原区校级月考）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣12＜t＜3B．﹣5＜t＜3C．﹣12＜t≤4D．﹣5＜t≤4
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（ ）
A．4B．2C．6D．9
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点纵坐标为﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜5B．m＞5或m＜0C．m＞5或m＝0D．m≥5或m＝0
3．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．抛物线与x轴无公共点
D．不论a为何值，都过定点
4．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．b＜n＜m＜aD．n＜b＜a＜m
5．已知二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则b＝（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
二．解答题（共4小题）
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）b＝ ；（用含a的代数式表示）
（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；
7．如图，抛物线y＝x2﹣3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）设抛物线y＝x2﹣3x+k的顶点为M，求△ABM的面积．
8．抛物线C1：y＝x2向左平移1个单位长度，在向下平移4个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2对应的函数解析式以及抛物线C2与x轴的交点坐标；
（2）当x取什么值时，抛物线C2在x轴的下方？
9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一个根是4，求方程的另一个根．
第4讲 二次函数（二）
1 二次函数的图象与系数的关系
抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 【例题精选】
例1(2023•甘肃模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＜0；②a+b＝0；③4ac﹣b2＝4a；④a+b+c＜0．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
分析：①根据抛物线开口向下可得出a＜0，由抛物线对称轴为x＝可得出b＝﹣a＞0，结合抛物线图象可知c＞0，进而可得出abc＜0，①正确；②由b＝﹣a可得出a+b＝0，②正确；③根据抛物线顶点坐标为（﹣，），由此可得出＝1，去分母后即可得出4ac﹣b2＝4a，③正确；④根据抛物线的对称性可得出x＝1与x＝0时y值相等，由此可得出a+b+c＝c＞0，④错误．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确；
②∵b＝﹣a，
∴a+b＝0，②正确；
③∵抛物线的顶点坐标为（，1），
∴＝1，
∴4ac﹣b2＝4a，③正确；
④∵抛物线的对称轴为x＝，
∴x＝1与x＝0时y值相等，
∵当x＝0时，y＝c＞0，
∴当x＝1时，y＝a+b+c＞0，④错误．
综上所述：正确的结论为①②③．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，根据二次函数的图象分析出a、b、c之间的关系是解题的关键．
例2 (2023•路北区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＞0．其中正确的是（ ）
A．①③B．②C．②④D．③④
分析：①根据抛物线的开口方向、抛物线对称轴位置、抛物线与y轴交点位置判定a、b、c的符号；
②根据对称轴的x＝1来判断对错；
③由抛物线与x轴交点的个数判断对错；
④根据对称轴x＝1来判断对错．
【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0，b＝﹣2a＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，
所以abc＜0，
故①错误；
②如图所示，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，则2a+b＝0，故②正确；
③如图所示，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③错误；
④对称轴x＝1，当x＝0与x＝2时的点是关于直线x＝1的对应点，
所以x＝2与x＝0时的函数值相等，所以4a+2b+c＞0，故④正确；
综上所述，正确的结论为②④．
故选：C．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
【随堂练习】
1．(2023•嘉陵区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④2a＝b．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，所以②正确；
∴抛物线过原点，
∴c＝0，
∴abc＝0，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1
∴b＝2a，所以④正确．
故选：B．
2．(2023秋•平谷区期末）二次函数y＝kx2+2x+1的部分图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A．k≤1B．k≥1C．k＜1D．0＜k＜1
【解答】解：观察二次函数y＝kx2+2x+1的部分图象可知：
k＞0，且4﹣4k＞0即k＜1，
解得0＜k＜1．
故选：D．
3．(2023秋•兖州区期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4ac﹣b2＜8a；④3a+c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）
其中正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①根据抛物线可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①错误；
②因为对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，
∴b＝2a，∴2a﹣b＝0．
所以②正确；
③从图象可知，顶点的纵坐标高于 y＝2，
所以 ＞2 解不等式，两边同乘以4a，因为开口向下，a＜0，不等号方向改变，
4ac﹣b2＜8a
所以③正确；
④当x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0，
所以a+2a+c＜0，
所以3a+c＜0．
所以④正确；
⑤当x＝﹣1时，y有最大值，
所以当x＝﹣1时，a﹣b+c的值最大，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a﹣b+c＞am2+bm+c，
即a﹣b＞m（am+b）．
所以⑤错误．
所以有②③④正确．
故选：C．
2二次函数与方程的综合
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
【例题精选】
例1 (2023秋•阜南县期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1B．x1＝3，x2＝1C．x＝﹣3D．x＝﹣2
分析：直接利用抛物线的对称性以及结合对称轴以及抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），得出另一个与x轴的交点，进而得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（﹣3，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是：x1＝﹣3，x2＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出抛物线与x轴的交点坐标是解题关键．
例2 (2023秋•兴安盟期末）抛物线y＝﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．以上都不对
分析：让函数值为0，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就有与x轴有几个交点．
【解答】解：当与x轴相交时，函数值为0．
0＝﹣x2+2kx+2，
△＝b2﹣4ac＝4k2+8＞0，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线y＝﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为2个，
故选：C．
【点评】用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0；抛物线与x轴的交点个数与函数值为0的一元二次方程的解的个数相同．
【随堂练习】
1．(2023秋•汉阳区期中）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝6B．x1＝﹣5，x2＝2C．x1＝﹣3，x2＝4D．x1＝﹣2，x2＝5
【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以抛物线y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c与x轴的两交点坐标为（﹣1，0），（6，0），
所以一元二方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝6．
故选：A．
2．(2023秋•黔东南州期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为__________________．
【解答】解：由图象可得，
抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
即当y＝0时，0＝﹣x2+bx+c，此时方程的解是x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
3．(2023•洛宁县三模）若二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．
故选：B．
3二次函数与不等式的关系
【例题精选】
例1(2023秋•澧县期末）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3）
（1）求二次函数的解析式；
（2）在图中，画出二次函数的图象；
（3）根据图象，直接写出当y≤0时，x的取值范围．
分析：（1）根据二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3），可以求得该函数的解析式；
（2）根据（1）中求得的函数解析式可以得到该函数经过的几个点，从而可以画出该函数的图象；
（3）根据（2）中画出的函数图象，可以写出当y≤0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），C（0，3），
∴，得，
即该函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该函数的顶点坐标是（1，4），开口向上，过点（﹣1，0），（3，0），（0，3），（2，3），
该函数图象如右图所示；
（3）由图象可得，
当y≤0时，x的取值范围x≤﹣1或x≥3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
例2(2023•滦州市模拟）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
分析：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，
当x＝1时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．
【随堂练习】
1．(2023•招远市一模）函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2
【解答】解：∵函数y＝ax2+2ax+m（a＜0），
∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
又∵函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），
∴该函数图象过点（﹣4，0），
∴使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2，
故选：B．
2．(2023秋•中原区校级月考）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣12＜t＜3B．﹣5＜t＜3C．﹣12＜t≤4D．﹣5＜t≤4
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
当x＝2时，y＝﹣4+8＝4，即抛物线的顶点坐标为（2，4），
∵关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，
∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜6的范围内有交点，
当x＝1时，y＝﹣1+4＝3；当x＝6时，y＝﹣36+24＝﹣12，
即1＜x＜6时，y的范围为﹣12＜y≤4，
∴当﹣12＜t≤4时，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解．
故选：C．
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A（a，b），B（a﹣4，b），则b的值为（ ）
A．4B．2C．6D．9
【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，
∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，
∴n＝m2，
∵抛物线y＝x2+mx+n过点A（a，b），B（a﹣4，b），
∴b＝a2+ma+n，b＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，
∴a2+ma+n＝（a﹣4）2+m（a﹣4）+n，
化简，得
a＝，
∴b＝a2+ma+n＝（）2+m×+m2＝4，
故选：A．
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点纵坐标为﹣5．若|ax2+bx+c|＝m有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜5B．m＞5或m＜0C．m＞5或m＝0D．m≥5或m＝0
【解答】解：由图象可知：将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5，
∵|ax2+bx+c|＝m的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点），
（1）当m＝0时，|ax2+bx+c|＝m有两个不相等的实数根，
（2）在x轴上方时，只有m＞5时，作平行于x轴的直线才会与图象有两个交点，
∴m＝0或m＞5．
故选：C．
3．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．抛物线与x轴无公共点
D．不论a为何值，都过定点
【解答】解：因为二次函数的二次项系数为1＞0，所以抛物线开口向上，故选项A正确；
当x＝2时，y＝x2﹣3x＝x（x﹣3），由于抛物线与x轴交于（0，0）和（3，0），故选项B正确；
∵△＝[﹣（a+1）]2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，所以抛物线与x轴总有两个交点，故选项C错误；
当x＝1时，y＝1﹣a﹣1﹣2＝﹣2，此时抛物线不再含有a，即不论a为何值，都过定点（1，﹣2），故选项D正确．
故选：C．
4．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．b＜n＜m＜aD．n＜b＜a＜m
【解答】解：
如图抛物线y2＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点（a，0），（b，0），抛物线与直线y1＝3的交点为（m，3）（n，3）由图象可知m＜a＜b＜n，
故选：A．
5．已知二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则b＝（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴△＝b2﹣4＝0，
解得b＝±2，
故选：B．
二．解答题（共4小题）
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）b＝ 4a ；（用含a的代数式表示）
（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；
【解答】解：（1）由题意得：
抛物线的x＝＝﹣2 解得b＝4a，
故答案为：4a；
（2）当a＝﹣1时，b＝﹣4；
∴抛物线y＝﹣x2﹣4x+c；
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程x2+4x﹣c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解
∴△＝b2﹣4ac≥0 即：（﹣4）2﹣4×（﹣1）•c＝16+4c≥0，解得c≥﹣4
∴抛物线y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4与直线y＝c 在﹣3＜x＜1的范围内有交点
当x＝﹣2时 y＝﹣4；当x＝1时，y＝5
故可得：﹣4＜c＜5
7．如图，抛物线y＝x2﹣3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
（3）设抛物线y＝x2﹣3x+k的顶点为M，求△ABM的面积．
【解答】解：
（1）将点C（0，﹣4）代入y＝x2﹣3x+k得﹣4＝k．
故k的值为﹣4．
（2）由（1）得抛物线为y＝x2﹣3x﹣4，
∴令y＝0，得0＝x2﹣3x﹣4，解得，x1＝4，x2＝﹣1．
故抛物线与x轴的交点坐标，点A（﹣1，0）；点B（4，0）．
（3）如图，
∵抛物线为y＝x2﹣3x﹣4，化为顶点式得：．
∴顶点M为
∴△ABM的高为
∵|AB|＝|4﹣（﹣1）|＝5，
∴S△ABM＝，
故△ABM的面积为．
8．抛物线C1：y＝x2向左平移1个单位长度，在向下平移4个单位长度得到抛物线C2．
（1）求抛物线C2对应的函数解析式以及抛物线C2与x轴的交点坐标；
（2）当x取什么值时，抛物线C2在x轴的下方？
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝x2，
∴C1的顶点坐标为（0，0），
根据题意，得平移后抛物线C2的顶点坐标为：（﹣1，﹣4），
∴抛物线C2的解析式为：y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，有x2+2x﹣3＝0，
解得，x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线C2与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）；
（2）∵抛物线抛物线C2的解析式为：y＝x2+2x﹣3，其中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当﹣3＜x＜1时，抛物线C2在x轴的下方．
9．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一个根是4，求方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0；
（2）解：把b＝﹣2a代入方程ax2﹣bx+6＝0得：ax2+2ax+6＝0，
把x＝4代入方程ax2+2ax+6＝0得：16a+8a+6＝0，
a＝﹣，则b＝．
即方程为﹣x2﹣x+6＝0，
解得：x＝﹣6，x＝4，
即方程的另一个根为﹣6．