新九年级数学时期讲义第11讲图形的相似--基础班(学生版+解析)

这是一份新九年级数学时期讲义第11讲图形的相似--基础班(学生版+解析)，共25页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1.平行线分线段成比例
1比例性质：
①；②（其中b叫做比例中项）
2 更比性质(交换比例的内项或外项)：
3反比性质(把比的前项、后项交换)：
．
4合、分比性质：．
5等比性质：如果，那么
6如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）
7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得等.
注：平行线分线段成比例定理的推论：
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
【例题精选】
例1 (2023•成都模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（ ）
A．AC：EC＝2：5B．AB：CD＝2：5C．CD：EF＝2：5D．AC：AE＝2：5
例2(2023•涡阳县一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（ ）
A．3：1B．3：4C．3：5D．2：3
【随堂练习】
1.(2023•恩施州模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AE：EC＝5：3，BF＝10，则CF的长为（ ）
A．16B．8C．4D．6
2．(2023秋•凤翔县期末）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4.2，则DF的长是（ ）
A．B．6C．6.3D．10.5
3．(2023秋•锦州期末）如图，已知AB∥CD∥EF，CF：AF＝3：5，DE＝6，BE的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．(2023•武侯区模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，若AE＝1，CE＝AD＝2，则AB的长是（ ）
A．6B．5C．4D．2
2.相似多边形及性质
相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.
如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.
当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.
相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.
【例题精选】
例1(2023•邗江区一模）下列图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个菱形
C．两个矩形D．两个直角三角形
例2(2023秋•南昌期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．任意两个圆B．任意两个等腰三角形
C．任意两个菱形D．任意两个矩形
【随堂练习】
1．(2023秋•汾阳市期末）下列图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个菱形B．两个等边三角形
C．两个矩形D．两个直角三角形
2．(2023秋•安居区期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．所有的菱形都相似
B．所有的正方形都相似
C．所有的等边三角形都相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
3．(2023秋•东海县期末）将直角三角形的三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（ ）
A．仍是直角三角形B．一定是锐角三角形
C．可能是钝角三角形D．一定是钝角三角形
4．(2023秋•肥城市期末）分别画出下列四组图形，必是相似三角形的为（ ）
A．两个直角三角形
B．有一个角为110°的两个等腰三角形
C．有一个角为55°的两个等腰三角形
D．两条边对应成比例，其中一边的对角对应相等的两个三角形
3.相似三角形的判定
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【例题精选】
例1(2023•浦东新区三模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFEB．△BDCC．△BDAD．△AFD
例2(2023•江西一模）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE．
求证：△ABE∽△DEF．
【随堂练习】
1．(2023•淮安模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）求证：△ADE∽△ABD．
2．(2023•余干县模拟）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．
4.相似三角形的综合应用
【例题精选】
例1(2023春•武邑县校级月考）如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（ ）
A．5mB．6mC．125mD．4m
例2 (2023秋•中山市校级期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（ ）尺．
A．50B．45C．5D．4.5
【随堂练习】
1．(2023•成都模拟）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10m，，则容器的内径是（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm
2．(2023秋•卫辉市期末）如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度（精确到0.1米）约是（ ）
A．18.75米B．18.8米C．21.3米D．19米
3．(2023秋•嘉兴期末）如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（ ）
A．15cmB．20cmC．25cmD．30cm
4．(2023秋•宝安区期末）数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（ ）
A．32米B．28米C．24米D．16米
综合运用：
1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．
2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．
3.如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，
（1）求AB的长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
4.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；
（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
5.正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．
6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
第11讲 图形的相似
1.平行线分线段成比例
1比例性质：
①；②（其中b叫做比例中项）
2 更比性质(交换比例的内项或外项)：
3反比性质(把比的前项、后项交换)：
．
4合、分比性质：．
5等比性质：如果，那么
6如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）
7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得等.
注：平行线分线段成比例定理的推论：
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
【例题精选】
例1 (2023•成都模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（ ）
A．AC：EC＝2：5B．AB：CD＝2：5C．CD：EF＝2：5D．AC：AE＝2：5
分析：根据平行线分线段成比例定理对各选项进行判断．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴AC：EC＝BD：DF＝2：5，
AC：AE＝BD：BF＝2：7．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
例2(2023•涡阳县一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（ ）
A．3：1B．3：4C．3：5D．2：3
分析：根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，然后根据比例的性质求AE：AC的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【随堂练习】
1.(2023•恩施州模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AE：EC＝5：3，BF＝10，则CF的长为（ ）
A．16B．8C．4D．6
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠ADE＝∠EFC，
∴∠B＝∠EFC，
∴EF∥AB，
∴＝，
∵AE：EC＝5：3，BF＝10，
∴＝，
解得：CF＝6，
故选：D．
2．(2023秋•凤翔县期末）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4.2，则DF的长是（ ）
A．B．6C．6.3D．10.5
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
解得，EF＝6.3，
∴DF＝DE+EF＝10.5，
故选：D．
3．(2023秋•锦州期末）如图，已知AB∥CD∥EF，CF：AF＝3：5，DE＝6，BE的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
即＝，
∴BE＝10，
故选：D．
4．(2023•武侯区模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，若AE＝1，CE＝AD＝2，则AB的长是（ ）
A．6B．5C．4D．2
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝6，
故选：A．
2.相似多边形及性质
相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.
如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.
当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.
相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.
【例题精选】
例1(2023•邗江区一模）下列图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个菱形
C．两个矩形D．两个直角三角形
分析：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似形，
又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
例2(2023秋•南昌期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．任意两个圆B．任意两个等腰三角形
C．任意两个菱形D．任意两个矩形
分析：根据我们把形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．
【解答】解：A、任意两个圆是相似图形，故此选项正确；
B、任意两个等腰三角形不是相似图形，故此选项错误；
C、任意两个菱形不是相似图形，故此选项错误；
D、任意两个矩形不是相似图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了相似图形，关键是掌握①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
【随堂练习】
1．(2023秋•汾阳市期末）下列图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个菱形B．两个等边三角形
C．两个矩形D．两个直角三角形
【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似形，
又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：B．
2．(2023秋•安居区期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．所有的菱形都相似
B．所有的正方形都相似
C．所有的等边三角形都相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【解答】解：A、所有的菱形都相似，说法错误；
B、所有的正方形都相似，说法正确；
C、所有的等边三角形都相似，说法正确；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，说法正确；
故选：A．
3．(2023秋•东海县期末）将直角三角形的三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（ ）
A．仍是直角三角形B．一定是锐角三角形
C．可能是钝角三角形D．一定是钝角三角形
【解答】解：∵将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形的三条边与原三角形的三条边对应成比例，
∴两三角形相似．
又∵原来的三角形是直角三角形，而相似三角形的对应角相等，
∴得到的三角形仍是直角三角形．
故选：A．
4．(2023秋•肥城市期末）分别画出下列四组图形，必是相似三角形的为（ ）
A．两个直角三角形
B．有一个角为110°的两个等腰三角形
C．有一个角为55°的两个等腰三角形
D．两条边对应成比例，其中一边的对角对应相等的两个三角形
【解答】解：两个直角三角形不一定相似；
因为只有一个直角相等，
∴A不一定相似；
有有一个角为110°的两个等腰三角形一定相似；
因为110°的角只能是顶角，
所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，
∴B一定相似；
一个角为55°的两个等腰三角形不一定相似；
因为55°的角可能是顶角，也可能是底角，
∴C不一定相似；
两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；
因为这个对应角不一定是夹角；
∴D不一定相似；
故选：B．
3.相似三角形的判定
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【例题精选】
例1(2023•浦东新区三模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFEB．△BDCC．△BDAD．△AFD
分析：根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
例2(2023•江西一模）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE．
求证：△ABE∽△DEF．
分析：根据相似三角形的判定方法即可求出答案．
【解答】解：设AB＝4，
在正方形ABCD中，
AB＝AD＝CD＝4，∠A＝∠D＝90°
∴DF＝1，AE＝ED＝2，
∴＝＝，
∴△ABE∽△DEF．
【点评】本题考查相似三角形的判定以及正方形的性质，解题的关键是熟悉相似三角形的判定方法．
【随堂练习】
1．(2023•淮安模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）求证：△ADE∽△ABD．
【解答】解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠BDE＝∠CAD，
∴△BDE∽△CAD；
（2）证明：∵△BDE∽△CAD，
∴∠BED＝∠ADC，
∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠ADC
即∠AED＝∠ADB．
又∵∠BAD＝∠DAE，
∴△ADE∽△ABD．
2．(2023•余干县模拟）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，
∴△ADP∽△BCP．
4.相似三角形的综合应用
【例题精选】
例1(2023春•武邑县校级月考）如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（ ）
A．5mB．6mC．125mD．4m
分析：先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高．
【解答】解：作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴＝，
∵AM＝0.7m，AN＝25m，BC＝0.14m，
∴EF＝＝＝5（m）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比解题是关键．
例2 (2023秋•中山市校级期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（ ）尺．
A．50B．45C．5D．4.5
分析：设竹竿的长度为x尺，根据同一时刻物高与影长成正比可得出＝，再解即可．
【解答】解：设竹竿的长度为x尺，由题意得：
＝，
解得：x＝45，
答：竹竿的长度为45尺，
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
【随堂练习】
1．(2023•成都模拟）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10m，，则容器的内径是（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm
【解答】解：连接AD、BC，
∵，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴＝＝，
∵A，D两个端点之间的距离为10m，
∴BC＝15m，
故选：C．
2．(2023秋•卫辉市期末）如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度（精确到0.1米）约是（ ）
A．18.75米B．18.8米C．21.3米D．19米
【解答】解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C＝∠MNA＝90°，
∵∠BAC＝∠MAN，
∴△BCA∽△MNA．
∴＝，
即，
∴MN＝1.6×20÷15≈21.3（m），
答：楼房MN的高度为21.3m．
故选：C．
3．(2023秋•嘉兴期末）如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（ ）
A．15cmB．20cmC．25cmD．30cm
【解答】解：∵AB∥DE，
∴△CAB∽△CDE，
∴＝，
而BC＝BE，
∴DE＝2AB＝2×15＝30（cm）．
故选：D．
4．(2023秋•宝安区期末）数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（ ）
A．32米B．28米C．24米D．16米
【解答】解：根据题意，易得到△ABP∽△PDC．
即＝
故CD＝×AB＝×1＝32米；
那么该大厦的高度是32米．
故选：A．
综合运用：
1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．
解析：解：设=x，
得a=4x，b=5x，c=7x．
∵a+b+c=48，
∴4x+5x+7x=48，
解得x=3，
∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．
2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．
解析：解：设BE=x，
∵EF=32，GE=8，
∴FG=32﹣8=24，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴=，
∴则==+1①．
∵DG∥AB，
∴△DFG∽△CBG，
∴== 代入①，
=+1，
解得：x=±16（负数舍去），
故BE=16．
3.如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，
（1）求AB的长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
解析：解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC=14，
∴AB=4，
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
4.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；
（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
解析：解：（1）C点坐标为（，1），A点坐标为（，0）；
（2）∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴正方形BEFG的边长为6，则正方形ABCD的边长为2，OB：OE=1：3，
∴OB：（OB+6）=1：3，解得OB=3，
∴点C的坐标为（3，2）．
5.正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．
解析：解答：正方形ABCD中，∠DAB=90°，∠DAC=45°，
又∵∠AFE=∠AGE=90°，
∴四边形AFEG是矩形，∠AEG=90°-∠DAC=45°，
∴∠GAE=∠AEG=45°，
∴GE=AG，
∴矩形AFEG是正方形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形AFEG∽正方形ABCD，
∴=（）2=（）2=，
∴S正方形AFEG=S正方形AFEG=×62=16．
6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
解析：解：（1）由已知得MN=AB，MD=AD=BC，
∵ 矩形DMNC与矩形ABCD相似，，
∵ MN=AB，DM=AD，BC=AD，
∴ AD2=AB2， ∴ 由AB=4得，AD=；
（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为