2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第07讲：三角形综合 解析版

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考点一：与三角形有关的线段考点二：与三角形有关的角
考点三：全等三角形的判断和性质考点四: 角平分线的性质和判定
考点五：垂直平分线的综合考点六：等腰（等三角形性质
考点七：等边三角形性质考点八：：直角三角形性质
考点九：三角形的综合问题
【题型精讲】
题型一：与三角形有关的线段
1．（2024·贵州黔南·一模）如图，中，，，，在上取一点（不与、点重合），连接，当的长度为整数值时，符合条件的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，化为最简二次根式，无理数的估算，如图，过作于，先求解，，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
而，
∴的整数值为，，，，
故选C
2．（2024·云南昆明·二模）如图，是的中位线，按以下步骤作图：以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线交于点． 若 ，则长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的作法和性质，由三角形中位线性质可得，，，推导出，又由作图可知为的角平分线，得到，即可得，得到，进而可得，再根据即可求解，掌握角平分线的作法和三角形中位线的性质是解题的关键．
【详解】∵是的中位线，
∴，，，
∴，
由作图可知，为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3．（2024·河北邯郸·三模）观察发现：在三角形中，大角对大边，小角对小边．
猜想证明：
如图1，在中，．
求证： ．
证明：将沿直线①折叠，使点B与点C重合，如图2．
∴，
∴（②）．
在中，（③），
∴（④），
∴．
列说法不正确的是 （ ）
A．①处的垂直平分B．②表示等角对等边
C．③表示三角形的两边之和大于第三边D．④表示等式的基本性质
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质可判断①，根据等腰三角形的性质可判断②，根据三角形的三边关系可判断③，根据等量代换可判断④，从而可得答案．
【详解】证明：将沿直线①折叠，使点B与点C重合，如图2．
∴，
∴（②）．
在中，（③），
∴（④），
∴．
①处的垂直平分；②表示等角对等边；③表示三角形的两边之和大于第三边；都正确，不符合题意；
④表示等量代换，故④不正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形的三边关系的应用，等量代换，掌握基础知识是解本题的关键．
题型二：与三角形有关的角
4．（2024·山东济宁·三模）如图，中，，，D点在边上运动（D与A，B不重合），设，将沿翻折至处，与边相交于点E．若是等腰三角形，则的值为（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质可求，，，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：将沿翻折至处，
，，，
，，
当，则，
，
；
当，则，
，
，
当，则，这种情况不存在，
故选：A．
5．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，，点D是边上一点，且．过点B作的垂线，垂足为点F，交边于点E，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌㩧等腰三角形的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理和外角的性质即可得到结论．
【详解】∵，，
，
，
，
，
，
故选：B．
6．（2024·重庆·二模）如图正方形的对角线与相交于点，点为边上一动点，连接，作于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质及垂直定义得出，，利用三角形内角和定理得出，利用即可证明，得出平分，利用三角形外角性质即可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，于，设、交于点，
∵正方形的对角线与相交于点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质、角平分线的判定、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
题型三：全等三角形的判断和性质
7．（2024·重庆·三模）如图，在正方形中，、分别为边、上一点，且，连接，，平分交于点，且点为中点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；过点作于点，证明，，得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴
∴
∵平分交于点，且点为中点．
∴，，
∴
又∵
在和中，
，
∴，
∴，
故选：D．
8．（2024·黑龙江·三模）如图，四边形为正方形，的平分线交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接，，与相交于点H．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】①由旋转的性质得，可得；②由正方形的性质得，即，进而可得；③先证明，可得，根据，平分可得进而可得；④先证明，可得，即，故可求解．
【详解】解：①∵四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
②由正方形的性质得，
平分，
，
，，
，
故②正确；
③，，
，
，
，
，
，
，
，
，平分，
，
，
，
故③正确；
④，
，
，
，
，
；
故④正确，
综上，正确的结论是①②③④，
故选：D．
【点睛】本题主要是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判断，角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，涉及的知识点多，综合性强，难度较大，灵活运用这些知识解题是关键．
9．（2024·重庆·一模）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足，连接，点G在边上，连接交于点H，使得，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，进而证明得到，再证明得到，，进一步证明，推出，则．
【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接，设交于O，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选；A．
题型四: 角平分线的性质和判定
10．（2024·山东临沂·二模）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论．
【详解】解：，，，
，
由作图可知平分，
，，
，
，
，
，
．
故选：B．
11．（2024·天津滨海新·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（ ）
A．B．6C．D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可．
【详解】解：根据题意，可知平分，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
12．（2023·广东广州·一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．过点C作，垂足为H，交于F点，过F点作，垂足为，则为所求的最小值，根据的面积为，，结合三角形的面积公式求出，即可解答．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，交于F点，过F点作，垂足为，则为所求的最小值，
∵是的平分线，
∴，
∴是点C到直线的最短距离（垂线段最短），
∵的面积为，，
∴，
∵的最小值是．
故选：D．
题型五：垂直平分线的综合
13．（2024·山东济南·一模）如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于 的长为径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A， C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理．连接、，如图，利用基本作图得到垂直平分，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后利用勾股定理计算的长．
【详解】解：连接、，如图，
由作法得垂直平分，垂直平分，
，，
在中，
，，，
，
为直角三角形，，
在中，，，
．
故选：A．
14．（2024·山东潍坊·一模）如图，矩形中，，点E是上的一点，，的垂直平分线交的延长线于点F，连接交于点G，若G是的中点，则等于（ ）
A．B．12C．10D．
【答案】D
【分析】根据“”证明可得，设，表示出，再利用勾股定理列式求，然后表示出，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，然后列出方程求出x的值，从而求出BF，再在中利用勾股定理求解即可．
【详解】∵矩形中，G是的中点，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
则，
在中，
，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
解得，
∴．
∵，
∴，
∵的垂直平分线交的延长线于点F，
∴，，
∴
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
15．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（ ）
A． B．C．D．4
【答案】A
【分析】如图连接交于，作于．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出、，在中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
【详解】解：如图连接交于，作于．
在中，，，
，
，
，
，
，
，
点在的垂直平分线上．
，
点在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
是直角三角形，
垂直平分线段，
，
，
，
在中，，
故选：A．
题型六：等腰（等三角形性质
16．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点C顺时针旋转得到（如图乙），此时与交于点O，则线段的长为（ ）
A．B．5C．4D．
【答案】A
【分析】此题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，
证明出是等腰直角三角形，得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵旋转角为，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，．
故选：A．
17．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，正方形中，点为边延长线上一点，连接，将以为轴进行翻折，得到，射线交于点，连接，．则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．为的中点D．
【答案】C
【分析】由正方形的性质和折叠的性质得出，推出，设，，得出，由三角形内角和定理得出，即可判断A；求出由三角形内角和定理得出，从而得出，即可判断B；假设为的中点，得为定值，与题意相互矛盾，即可判断C；连接和，证明，由相似三角形的性质即可判断D，从而得出答案．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
由折叠的性质可得：，，，，，，，
∴，
∴，
设，，
，
在中，
，即，故A正确；
，
，
，
∴，
∴，
，故B正确；
假设为的中点，则
∴，即：为定值，
∵为边延长线上一点，
∴的大小可以发生变化，则与题意相互矛盾，故C错误；
如图：连接和，
∵，，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
18．（2024·江苏无锡·一模）如图，在正方形中，是延长线上一点，在上取一点，使点关于直线的对称点落在上，连接交于点，连接交于点，连接．现有下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．如图1中，过点作于，证明即可判断①；过点作于，于，于．证明即可判断②；如图2中，过点作于，交于．先证明，再证明即可判断③；利用勾股定理计算，即可判断④．
【详解】解：如图1中，过点作于．
，关于对称，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，，故①正确，
，
过点作于，于，于．
，
，
，
，
，
，
，故②正确，
如图2中，过点作于，交于．
，关于对称，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，故③错误，
，，
，，，
，故④正确，
故选：D．
题型七：等边三角形性质
19．（2024·安徽滁州·三模）已知线段，点是线段上一动点，和都是等边三角形，是的中点，是的中点，则线段的最小值为（ ）

A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】取的中点，的中点，得到，，当为与之间的距离时，最小，求出到的距离,即可求解，
本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线，特殊角三角函数，解题的关键是：连接辅助线，得到最小值．
【详解】解：取的中点，的中点，

连接，，则，，
当为与之间的距离时，最小，
过点作，
∵，，
∴，
在中，，，
故选：D．
20．（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】①根据等边三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，即可求证；②根据旋转的性质得出，即可证明是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出根据全等三角形的性质得出，则，即可推出．
【详解】解：①∵是等边三角形，
∴，，
∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，即，
∵，
∴，故①正确，符合题意；
②∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，故②正确，符合题意；
③∵是等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
综上：正确的有①②③，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
21．（2024·安徽马鞍山·二模）已知是边长为4的等边三角形，点D为高上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接和，则下列说法错误的是（ ）
A．的面积为
B．的最小值为1
C．周长的最小值为
D．为直角三角形时，的面积为
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角函数的应用、线段的最值问题等知识点，当点与点重合时，将绕点A顺时针旋转得到，得出点在线段上运动
是解题关键．
【详解】解：由题意得：
∵
∴
∴的面积，故A正确；
当点与点重合时，将绕点A顺时针旋转得到，作如图所示：

由题意可知：点在线段上运动
∴当时，有最小值
∵
∴，
∵
∴,
∴
∵
∴
∴
∵，为中点
∴，故B正确；
作点关于的对称点，连接，如图所示：

∵
又
∴
∵
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴，故C正确；
由以上分析可知：,
若，如图所示：

则，
∴的面积
若，如图所示：

则
∴的面积
故D错误；
故选：D
题型八：：直角三角形性质
22．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，，，D，E分别是，的中点，作于点F，连接，．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据等腰直角三角形得到，再由三角形中位线得到，，解得到，最后在中运用勾股定理即可求解．
【详解】解：，，，
，，
，分别是，的中点，
，，，
，
∴，
∴，
，
∵，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
23．（2024·河北石家庄·三模）如图，正方形的边长为6，点分别在上，，连接，与相交于点，连接，取的中点，连接，若，则的长为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，由正方形的性质结合勾股定理得出，，，证明，得出，求出，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵为的中点，
∴，
故选：A．
24．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，P为边上一动点，连接，把沿折叠使A落在处，当为等腰三角形时，的长为（ ）
A．2B．C．2或D．2或
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，根据为等腰三角形，分三种情况进行讨论：，分别求得的长，并判断是否符合题意．
【详解】①如图，当时，过作，交于E，交于F，则垂直平分，垂直平分，
∴，
由折叠得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，解得；
②如图，当时，

由折叠得，，
∴，
连接，则中，，
∴（不合题意），
故这种情况不存在；
③如图，当时，

由折叠得，，
∴，
∴点落在上的中点处，
此时，，
∴．
综上所述，当为等腰三角形时，的长为或2．
故选：C．
题型九：三角形的综合问题
25．（2024·山东菏泽·二模）已知∶ 等边三角形中， 点D、E、F分别为边的中点， 点M在直线上，以点 M为旋转中心，将线段顺时针旋转 至 连接 ．
(1)如图1，当点M在点B左侧时，线段与的数量关系是 ；
(2)如图2，当点M在边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；
(3)当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由．
【答案】(1)
(2)成立，证明见解析
(3)成立，证明见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及正确画出辅助线，构造全等三角形．
（1）连接，通过证明，即可得出结论；
（2）连接，通过证明，即可得出结论；
（3）先根据题意画出图形，连接，通过证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵点D、E、F分别为边的中点，
∴，，
∴，，
由旋转可得：，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）解：成立，证明如下：
连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵点D、E、F分别为边的中点，
∴，，
∴，，
由旋转可得：，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）解：成立，证明如下：
连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵点D、E、F分别为边的中点，
∴，，
∴，，
由旋转可得：，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
26．（2024·山东德州·二模） 中，，点O是斜边上一点，将线段绕点O旋转至 ，点D在直线外．
(1)如图1，当点O为的中点时， 连接．求的度数；
(2)如图2，在(1) 的条件下， 过点D作交边于点 E，当时，求证：四边形为菱形；
(3)如图3，连接，，若，，，求 的最小值．
【答案】(1)的度数为
(2)见解析
(3)的最小值为
【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的判定，中垂线的判定，平行四边形的判定，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系求最值，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）由O是的中点以及旋转的性质得，，于是，再根据三角形内角和，即可求出．
（2）连接，由，O是的中点，得，又得到垂直平分，结合，得，又，证得四边形是平行四边形，结合，即证得四边形是菱形．
（3）在上截取，连接，证明，得到，由此转化为求最小值，点D在以点O为圆心，以为半径的圆上运动，当点A、D、F共线时有最小值，即最小值为的长，过点A作于点M，证明，求得，利用勾股定理求得，即得解．
【详解】（1）解：∵O是的中点
∴
由旋转的性质得：
∴
∵
∴
即的度数为．
（2）如图，连接
∵，O是的中点
∴
∵
∴垂直平分
∵
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形．
（3）如图3，在上截取，连接
∴，
由旋转性质，，
∴
∵
∴
∴
∴
∵点D在以点O为圆心，以为半径的圆上运动，当点A、D、F共线时有最小值，即最小值为的长，过点A作于点M
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴ ，
∴ 的最小值为．
∴的最小值为．
27．（2024·湖北恩施·二模）如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且，探究线段之间的数量关系．
(1)特例发现
先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：．
(2)类比探究
再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）．
(3)拓展运用
如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键．
（1）证明，则，即可得到结论；
（2）证明，得到，则，即可得到结论；
（3）作，求出，证明，得到，则，，求出，，由得到，则，即可得到．
【详解】（1）证明：当时，
，，
∵，
∴
∴
当时，，
∴
∴，
∴
（2）∵
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
∴
（3）作
∵直线l，直线l，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，，
∴，，
∴
∴
∴，
∴
∴
【专题精练】
一、单选题
28．（2023·河北·中考真题）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ）

A．B．C．12D．16
【答案】B
【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵中，点M是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键．
29．（2023·重庆·中考真题）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（ ）

A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】连接，根据正方形得到，，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得，再证明，求得，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出的长度．
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
平分，
，
，
在与,
，
，
，
，
O为对角线的中点，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得是解题的关键．
30．（2023·北京·中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
31．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）

A．的最小值为B．的最小值为
C．周长的最小值为6D．四边形面积的最小值为
【答案】A
【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．
【详解】解：如图所示，

延长，
依题意
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
则为的中点
如图所示，

设的中点分别为，
则
∴当点在上运动时，在上运动，
当点与重合时，即，
则三点共线，取得最小值，此时，
则，
∴到的距离相等，
则，
此时
此时和的边长都为2，则最小，
∴，
∴
∴，
或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，

此时
故A选项错误，
根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确；
周长等于，
即当最小时，周长最小，
如图所示，作平行四边形，连接，

∵，则
如图，延长,，交于点，
则，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
∴
∴
∴
∴
∴，则，
∴是直角三角形，

在中，
∴当时，最短，
∵
∴周长的最小值为，故C选项正确；
∵
∴四边形面积等于

∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合
∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键．
32．（2024·重庆·二模）在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接BE，并延长至点，使，连接DF，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查正方形性质，旋转的旋转，等腰三角形性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质和等腰三角形性质表示出，结合正方形性质得到，再利用等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用等腰三角形性质即可得到的度数．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：A．
33．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（ ）
A．2.5B．C．D．3
【答案】D
【分析】由矩形中，对角线分得到的两个角的度数之比是，，且，得，，由，得，，由，得，得，得，即可得．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵对角线分得到的两个角的度数之比是，
∴设，则，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∵，
∴设，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
34．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知四边形为平行四边形，，．如图①，若，动点P以的速度从点B出发沿线段运动到点C，同时动点Q以的速度从点B出发，沿路线运动，点P到达C点的同时，点Q也停止运动，图②是点P，Q运动时，的面积S随运动时间t变化关系的图象，则的值是（ ）

A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】当点Q运动到点D处时，如图，作，求解，，可得此时，可得，当点P运动到点C处时，点Q在上，如图，可得，可得，作的延长线于M，可得此时，，从而可得答案．
【详解】解：当点Q运动到点D处时，如图，作，

∵，
∴，，
∵，
∴，
∴此时，
∴，
当点P运动到点C处时，点Q在上，如图，

∵，
∴，
∴，
∴，
作的延长线于M，
∵，
∴，
∴，
∴此时，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的面积的计算，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
35．（2024·四川眉山·一模）如图，在正方形中，E、F分别是上的点，且，分别交于M、N，连接，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】①如图，证明和，即可判断；
②利用相似三角形的性质可得，则是等腰直角三角形可作判断；
③如图，将绕点A顺时针旋转得到，证明，则，可作判断；
④设正方形的边长为，则， ，利用平行线分线段成比例求出，利用勾股定理求出，，即可判断．
【详解】如图，∵四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，故②正确，
③如图，
∴将绕点A顺时针旋转得到，
则，．
∵．
∵，
∴H、B、E三点共线，
在和中，
，
∴，
∴，故③正确，
设正方形的边长为，则，，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形．
二、填空题
36．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在中，点E在上，点F在上，，垂足为O，若平分，点F是的中点，，，则线段的长为 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，取中点G，连接，则由三角形中位线定理得到，，证明，得到，再证明，得到，则，由勾股定理得，则．
【详解】解：如图所示，取中点G，连接，
∵点F是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
37．（2024·福建厦门·二模）如图，是平行四边形的对角线，在和上分别截取，使，分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线交于点P，若，平行四边形面积为24，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质和尺规作图，先由平行四边形的性质得到，再由作图方法可知，平分，则由角平分线的性质得到，再根据三角形面积计算公式得到，则，即可得到．
【详解】解：∵平行四边形面积为24，
∴，
设点P到线段的距离分别为，
由作图方法可知，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
38．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知为反比例函数图象上一点，点在正半轴上，且为等边三角形．
（1） ；
（2）为边上一点，点在负半轴上，连接交于点，若，则经过点的反比例函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】（1）如图1，作于， 由题意知，，根据，求解作答即可；
（2）如图2，作交轴于，作轴于，作轴于，作于，由等边三角形，可得，，则，由，可求，则，由，可证是等边三角形，设，，则，，，，，，由，，可得，即，证明，则，即，可得，将②代入①得，，可求，则，，即，然后求过点的反比例函数解析式即可．
【详解】（1）解：如图1，作于，
图1
由题意知，，
∵为等边三角形，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图2，作交轴于，作轴于，作轴于，作于，
图2
∵等边三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，或（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
设，，则，，，，，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即，
将②代入①得，，
解得，，
∴，，
∴，
设过点的反比例函数解析式为，
将代入得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数解析式，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦等知识．熟练掌握反比例函数的几何意义，反比例函数解析式，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦是解题的关键．
39．（2024·山东菏泽·二模）如图， 正三角形、正四边形、正五边形中， 点E在的延长线上，点D在另一边反向延长线上，且 延长线交于点 F．图1中 的度数为 ， 图2 中度数为 ， 若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则度数为 ．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角．
通过证明，即可分别求出正三角形、正四边形、正五边形时的度数，找出规律即可解答．
【详解】解：图1：在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
图2：∵四边形为正方形，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴；
图3：∵五边形为正五边形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴；
∴ “正n边形”，其它条件不变时，的度数等于该多边形的一个内角，
即度数为．
故填：，，．
三、解答题
40．（2024·陕西渭南·模拟预测）问题提出：
如图1，在四边形中，，，连接，将绕点D按逆时针方向旋转到处，点B，C分别落在点A，E处．
问题解决：
（1）的度数为_____；
（2）求证：．
拓展应用：
（3）如图2，某市公园里有一个四边形的人工湖．已知，．在人工湖上修建了一座观光桥，恰巧满足．为满足实际需求，要在人工湖上再修建一座观光桥，试求观光桥的长．
【答案】（1）；（2）见详解；（3）
【分析】（1）根据旋转的性质得到，再由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可求解；
（2）解可得，再由旋转的性质得到，根据线段和差即可求证；
（3）取中点为点Q，连接，延长，过作于，过作于，由等腰三角形的“三线合一”及勾股定理求得，对运用等面积法求得，可得四边形为矩形，则对运用勾股定理勾股定理可得，对中运用勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：，
∴，
故答案为：；
（2）由旋转得，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴；
（3）取中点为点Q，连接，延长，过作于，过作于，
，为的中点，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形为矩形，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
∴
在中，根据勾股定理可得：
，负值舍掉．
【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，三角形内角和定理，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，数量掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
41．（2024·江苏扬州·二模）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
实践探究：
（1）如图1，若，则的值为______；
（2）如图2，当，时，求的值；
问题解决：
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据折叠的性质可得，，从而可得，即可得结果；
（2）利用“一线三等角”得出，则，，代入计算得，再利用勾股定理求出的长，从而得出答案；
（3）过作于点，则易得，，，由对应边成比例可得，设，，则在中，由勾股定理可得，的关系，从而可求得结果．
【详解】解：（1）根据折叠的性质，得，，
，
四边形是矩形，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
，，
在矩形中，，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
，
，
，
，
；
（3）过作于点，如图，
平分，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，，则，，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
即，
，
．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．
42．（2024·重庆·三模）图，在中，，，将绕着点顺时针旋转度得到线段，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，交于点，连接，．
(1)如图1，若，点恰好在线段上时，求的面积．
(2)如图2，在旋转的过程中，若为的中点，求证：．
(3)如图3，，在旋转的过程中，连接，在线段上取一点，使得，当取得最大值时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知，，过点作于点，得，利用旋转及等腰三角形的性质求得，可知，得，进而即可求解；
（2）过点作于，交于点，连接，由旋转及等腰三角形的性质可知，，进而可证明，得，根据，，易证，进而可证明，得，由旋转可知，，根据等腰三角形的性质可知，结合平行线分线段成比例得，即：，即可证得；
（3）结合等腰直角三角形的性质，将绕点逆时针旋转得，过点作垂直于的延长线于，则，由旋转可知，为等腰直角三角形，再证明，可得，在上取，则，再证，得，，则，，可知点在以为圆心，为半径的圆上，进而可知当经过点时，取得最大值，即点在线段上时，设，求的，，，过点作，过点作，过点作，可知四边形为矩形，再根据直角三角形求得，，在中，根据即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
过点作于点，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴，
由旋转可知，，，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点作于，交于点，连接，
由旋转可知，，，即，
∴，，
∴，，
又∵点为的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
∴，
∴，
由旋转可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴；
（3）将绕点逆时针旋转得，可知为等腰直角三角形，
则，，
过点作垂直于的延长线于，则，可知为等腰直角三角形，
∴，，，
由旋转可知，为等腰直角三角形，则，，
∴，，即：，
∴，
∴，
∴，
在上取，则，
∵，则，
∴，
又∵，
∴，
∴，，则，，
即点在以为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴当经过点时，取得最大值，即点在线段上时，
设，则，，，
过点作，
∵，则，
∴，，则，
∴，则，
∴，
过点作，过点作，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
则，
在中，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定及性质等知识，掌握以上知识，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
43．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．
在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且．
【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；
请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长．
【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；；（）
【分析】（1）由“”可证，可得，即可求解；
（2）①先证和是等腰直角三角形，可得，，，，可求，，通过证明，可求，即可求解；
②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；
（3）连接，，，由题意可得点在线段的垂直平分线上运动，由题意易得，当点E与点A重合时，过点M作于点H，当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，进而得出点M的运动轨迹，然后问题可求解．
【详解】（）证明：连接，
∵，，
且当时，，
，，，，
，
，
∴∠EDF，
，
在和中，
，
∴，
，
，
即；
（），理由如下：
过点作于，于，
，，
，
，，
和是等腰直角三角形，
，，，，，
，
，
设，则，
，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
，
；
如图4，当点在射线上时，过点作于，于，
，，
，
，，
和是等腰直角三角形，
，，，，，
∴，
，
设，，
，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
，
；
当点在的延长线上时，如图5，
，，
，
，，
和是等腰直角三角形，
，，，，，
∴，
，
设，，
，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
，
；
综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，；
（3）解：连接，，，如图（1），
的中点为，，
，
∴点在线段的垂直平分线上运动，
∵点D为靠近B的四等分点，
∴，
由（2）得，
∴
当点E与点A重合时，过点M作于点H，如图，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，代入得，
∴；
当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，如图，
∵，代入得，
∴，
∴，
如图，点M的运动轨迹即为的长，
∵在Rt中，
∴
∴
∴点运动的路径长为
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
44．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N．
(1)【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则
(2)【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
(3)【拓展延伸】
①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值；
②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ．
【答案】(1)4
(2)是定值4，见解析
(3)①最大值为8；②
【分析】（1）由题意得四边形为矩形，则得；由已知得，，则可得的长，从而得结果的值；
（2）过D点分别作，则得四边形为矩形，则得；由已知得是等腰直角三角形，从而得；证明，有；最后可求得的值；
（3）①由变形得，由（2）知为定值4，则可求得的最大值；
②连接，得，表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段，当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合；设交于点O，过C作，则可求得，进而得，分别在中利用勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）解：，
，
四边形为矩形，
；
，
；
，，
，
，
，
故答案为：4；
（2）解：是定值4；
如图，过D点分别作，垂足分别为G，H；
则，
四边形为矩形，
；
，，
，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
；
；
，
，
即，
，
，
，
即
，，
；
即为定值；
（3）解：①，
即，
，
，
由（2）知，即，
，
的最大值为8；
②如图，连接，
，P为的中点，
，
表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段，
当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合；
设交于点O，则；
过C作于S，
，
，
，
由勾股定理得，
；
当点N与点C重合时，点P与点Q重合，
由（2）知，，则，
，
在中，由勾股定理得：；
当点N与点B重合时，点P与点K重合，此时
由（2）知，，即，
，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
．
故点P的运动路径为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，旋转的性质等知识，综合性强，构造适当的辅助线是关键与难点．
45．（2024·广东清远·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图1，连接，当是直角三角形时，求m的值；
(3)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；
(4)点P在第一象限内运动过程中，若在y轴上存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），请直接写出m的值．
【答案】(1)；
(2)m的值为1或
(3)或或
(4)m的值为或
【分析】（1）将点，，代入得，，计算求解，进而可得抛物线的表达式；待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解；当时，轴，，则，计算求出满足要求的解即可；当时，，，，根据勾股定理求解即可；
（3）由题意知，点M的坐标为，则，，，当为等腰三角形时，分，，三种情况列方程计算求解即可；
（4）由，点P在第一象限内运动，可知，．由，可得，，．由点P与点C相对应，可知分或两种情况求解即可．
【详解】（1）解：将点，，代入得，，
解得，，
∴；
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，，
∴；
（2）解：由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解；
当时，由题意知，轴，
∴，
∴，
解得，（舍去），或；
当时，
∵，，
∴，，，
由勾股定理得，，即，
又∵，
联立①②，解得或（舍去），
综上所述，m的值为1或；
（3）解：∵点M在直线上，且，
∴点M的坐标为，
∴，，，
当为等腰三角形时，分以下三种情况求解；
①当时，则，
∴，
解得；
②当时，则，
∴，
解得或（舍去）；
③当时，则，
∴，
解得或（舍去）．
综上所述，或或．
（4）解：∵，点P在第一象限内运动，
∴，．
∵，
∴，，．
∵点P与点C相对应，
∴或，
①当时，即时，如图1，
∴直线的解析式为，
∴，
解得或（舍去）．
②当时，即时，如图2，作轴于，
∴，．
∵，
∴，即，
解得或（舍去），
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，余弦，二次函数与特殊的三角形综合，二次函数与相似综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，余弦，二次函数与特殊的三角形综合，二次函数与相似综合是解题的关键．