2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第08讲：方程、不等式的实际应用问题 解析版

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题型一：一元一次方程的实际问题
1．（2024·广西钦州·二模）《孙子算经》中记载了这样一道题：”今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽，又三家合取一鹿，恰尽”．问：有多少户人家？大意为：有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户共分一头，恰好分完，若设共有户，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设共有户，根据“有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户共分一头，恰好分完，”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解： 共有户，
则由题意可得，，
故选：C．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图像描述如图所示，有下列结论：
①火车的速度为30米/秒；
②火车的长度为150米；
③火车整体都在隧道内的时间为35秒；
④隧道长度为1200米．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，一元一次方程：行程问题(一元一次方程的应用)，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合火车速度是匀速，结合图象得出点的横坐标等于，则火车整体都在隧道内的时间为35秒，当，此时火车完全进入隧道内，即可判断②是正确的；运用路程除以时间等于速度，得出①火车的速度为30米/秒，结合路程等于时间乘以速度，列式计算，即可作答．
【详解】解：∵火车匀速通过隧道时且火车本身长度是不变的
∴点的横坐标等于
∵火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图像描述如上图所示
∴（秒），
则③火车整体都在隧道内的时间为35秒是正确的；
当，此时火车完全进入隧道内，即，
故②火车的长度为150米是正确的；
则当火车当进去隧道时到完全进入隧道，所用时间为秒，
∴（米/秒）
∴①火车的速度为30米/秒是正确的；
设隧道长为米
则结合图象信息，得
解得
∴④隧道长度为1200米是正确的；
故选：D．
3．（2024·云南楚雄·二模）云南蒙自石榴是全国特色水果之一，是全国农产品地理标志．它的果实呈浅红色，果肉挺实，丰厚鲜美，甜酸娇嫩，口感宜人，有清热解毒、良性收敛肌肤等功效，深受群众喜爱，成为人们日常生活中不可缺少的美食．小红到水果批发市场购买石榴，店里标注石榴每千克20元，她与老板经过议价，老板同意在购买很多的情况下，按原价打九折卖给小红．称完质量后，老板告诉小红：“你比上一位顾客多买了5千克，打折后你比他按原价购买还少花10元．”则小红购买石榴的质量是（ ）
A．45千克B．50千克C．55千克D．60千克
【答案】C
【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，设小红购买石榴的质量是千克，则上一位顾客购买石榴的质量是千克，根据小红花的钱比上一位顾客少花10元，列式求解即可．
【详解】解：设小红购买石榴的质量是千克，则上一位顾客购买石榴的质量是千克，
根据题意得：，
整理得，解得，
答：小红购买石榴的质量是55千克，
故选：C．
题型二：二元一次方程组的实际问题
4．（2024·四川南充·二模）我国明代数学著作《算法统宗》记载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两”．若设共有名客人，两银子，可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两，构建方程组即可．本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出方程组．
【详解】解：由题意，
∵若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两”．若设共有名客人，两银子，
∴．
故选：B．
5．（2024·湖北荆州·模拟预测）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了列二元一次方程组；根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：由题意得：；
故选：B．
6．（2024·四川达州·一模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡图各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿.问鸡兔各有多少只?若设鸡有只，兔有只，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查列二元一次方程组解决古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程组是解决问题的关键．根据题意，设鸡有只，兔有只，则由等量关系有35个头和有94条腿列出方程组即可得到答案．
【详解】解：设鸡有只，兔有只，则由题意可得，
，
故选：C．
题型三：分式方程的实际问题
7．（2024·四川南充·三模）近年来，电动汽车因环保、低噪、节能等优势深受顾客喜爱．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的5倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费．设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，据题意可得方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，燃油车平均每千米的加油费元，根据题意，得，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键．
【详解】根据题意，设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，燃油车平均每千米的加油费元，
根据题意，得，
故选D．
8．（2024·湖南衡阳·二模）某班学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为，下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，
根据题意得：，
即，
故选：D．
9．（2024·福建福州·模拟预测）某校决定开展名著阅读活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意、找到等量关系是列出方程的关键．
设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第一批购买了套，第二批购买了套，根据第二批比第一批少4套列出方程即可．
【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第一批购买了套，
由题意得．
故选：B．
题型四：不等式（组）的实际应用问题
10．（2024·河北唐山·二模）某电梯乘载的重量超过300公斤时会响起警示音，且小华、小欧的体重分别为45 公斤、70公斤.小华、小欧依序最后进入电梯，小华走进后，警示音没响，小欧走进后，警示音响起.设两人没进入电梯前已乘载的重量为x 公斤，则x 满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．根据题意分别列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意可知：
当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，两人没进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，
由图可知：
小华的重量为45公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，
所以此时电梯乘载的重量，
解得，
因为小欧的重量分别为70公斤．且进入电梯后，警示音响起，
所以此时电梯乘载的重量，
解得，
因此．
故选：A．
11．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键．
【详解】解：由题意可知，解得：，
∴销售单价不可能是90元，故①不正确；
利润与销售价的函数关系式：
，
，
抛物线的开口向下，
当时，随的增大而增大，
而，
当时，（元）．
当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确；
当时，，
解得：，（不符合题意，舍去），
则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确；
综上，正确的结论只有1个，
故选：B．
12．（2024·浙江台州·二模）州市域铁路线台州站至城南站全长 理论票价实行里程分段计价制，理论票价（单位：元）与行驶里程（单位：）之间的函数关系如图（，为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为 时，所得理论票价为元，实际票价则为元，经查从甲站到乙站的实际票价为元，则甲乙两站的里程不可能为（ ）

A．44 kmB．45 kmC．46 kmD．47 km
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式组的应用；根据题意求得线段解析式为 ，进而根据从甲站到乙站的实际票价为元，列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】解：设段解析式为，将代入得，
，
解得：
∴
当时，，即
依题意，当行驶里程为 时，所得理论票价为元
设线段的解析式为代入
∴
解得：
∴线段解析式为
依题意，
解得：
故选：D．
题型五：一元二次方程的实际问题
13．（2024·山西晋城·三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒（25mg）从200元降至15元若该药品每轮降价率相同，设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该药品经过两次降价后的价格=原价（每次降价的百分率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每轮降价率为x，则根据题意可列方程为
，
故选：D．
14．（2024·安徽合肥·二模）自2016年我国正式实施全面两孩政策以来，合肥市学龄儿童人数逐年增长，某校2021年新生入学人数是600人，2023年新生入学人数达到726人，若设入学人数的年平均增长率为，则以下方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据2021年到2023年新生入学人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：B．
15．（2024·山西晋中·二模）某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出件，每件获利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低元，那么平均每天可多售出件．商场要想平均每天获利元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这款文创产品每件降价元，根据题意列出方程即可，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这款文创产品每件降价元，
根据题意可列方程为：，
故选：．
题型六：中考数学实际应用题
16．（2024·湖北宜昌·模拟预测）麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一批麻花礼盒进行销售，成本价为30元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为40元/件时，每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件．
(1)求超市销售该麻花礼盒每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)若超市销售该麻花礼盒每天要获得不低于5000元的利润，但物价部门规定，销售该麻花礼盒的利润率不得高于，该超市应如何确定销售单价．
【答案】(1)
(2)当销售单价定为65元时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大，最大利润为6125元
(3)
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，不等式组的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件求解即可；
（2）设利润为w，求出关于w的二次函数，根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意列不等式组，求解即可．
【详解】（1）；
（2）设利润为w元，由题意得
，
∴当时，w最大为6125，
∴当销售单价定为65元时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大，最大利润为6125元；
（3）由题意得，
解得，
所以，销售单价应为元．
17．（2024·湖北恩施·模拟预测）【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将这棵古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．
【解决问题】思路：把矩形的面积与边长（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．
(1)请用含有的代数式表示的长；
(2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由：
(3)求面积与的函数解析式，写出的取值范围；并求当为何值时，花园面积最大？
【答案】(1)
(2)能，
(3)，当时，花园面积最大
【分析】（1）设，根据解得即可．
（2）设，则矩形的长，依题意，得：，解方程，结合要求，取舍根，解答即可．
（3）设，则，依题意，得：，根据二次函数性质确定最值即可．
本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，二次函数的最值，熟练掌握矩形的性质，构造二次函数求最值，一元二次方程的应用是解题的关键．
【详解】（1）设，根据，
．
故答案为：．
（2）设，则矩形的长，依题意，得：，
即，
解得：，，
当时，，成立，
当时，舍去，
答：花园面积可能是，此时边的长为12米．
（3）∵，则，依题意，得：
，
点与的距离分别是和，
，
，
面积与的函数解析式为：
，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，取到最大值，
即当时，花园面积最大，最大值为．
18．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
(1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且购买的总费用不高于1160元，最多购买A型羽毛球拍多少副？
【答案】(1)型球拍每副元，型球拍每副元
(2)最多购买A型羽毛球拍副
【分析】本题考查了二元一次方程组与不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解题的关键．
（1）设型球拍每副x元，型球拍y元，根据等量关系：购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元，列出二元一次方程组并解之即可；
（2）设购买A型羽毛球拍m副，根据不等关系：购买的总费用不高于1160元，列出不等式，最后解不等式即可．
【详解】（1）解：设型球拍每副x元，型球拍y元；
由题意得：，
解得：，
答：型球拍每副元，型球拍每副元；
（2）解：设购买A型羽毛球拍m副，
由题意，得：，
解得：；
答：最多购买A型羽毛球拍副．
19．（2024·湖北恩施·三模）随着旅游业的发展，某地的烤活鱼走进了广大群众的视野，深受游客们的喜爱，五一期间某公司为满足供货需求，提前从甲地购买海鲜、蔬菜、肉类三种物资共100吨，计划组织20辆汽车装运，要求20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，每辆汽车的运载量和每吨所需运费如下表．
(1)设x辆汽车装运肉类，y辆汽车装运海鲜，用含x，y的式子填写下表；
(2)已知100吨物资恰好运完，试求y与x的函数关系式，并求出共有多少种装运方案；
(3)请求出在（2）的条件下怎样装运花费费用最少？最少费用是多少？
【答案】(1)见解析
(2)共9种装运方案
(3)当用9辆车运肉类、2辆车运海鲜、9辆车运蔬菜时费用最少，为11680元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据题意进行填空即可；
（2）根据题意列出y与x的关系式，再根据题意列出不等式求出x的范围，即可求解；
（3）设20辆车装运花费的总费用为w，根据题意得出w与x的关系式，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）根据题意得
（2）解：由题意可知
，
即，
∵或，
∴或，
且x为整数，
∴、2、3、4、5、6、7、8、9
共9种装运方案；
（3）设20辆车装运花费的总费用为w，则
，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，总费最少，最少费用为元，
此时，
答：当用9辆车运肉类、2辆车运海鲜、9辆车运蔬菜时费用最少，为11680元．
20．（2024·山西朔州·模拟预测）2024年3月28日小米发布了自己的首款新能源汽车小米，上市首日27分钟内大定突破5万台，上市24小时大定88898台，为提高产能工厂决定招聘一些无经验的新工人和有过相关工作经验的熟练工，经过调研发现2名熟练工和3名新工人每月可安装12辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装13辆电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)工厂计划招聘400名员工，计划一个月至少生产安装1000台汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发6200元的工资，给每名新工人每月发5600元的工资，为按时完工工厂应招聘多少名新工人，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？
【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车
(2)200名
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，找出数量关系列出方程组和函数解析式是解答本题的关键．
（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，列出方程组求解即可；
（2）设为按时完工工厂应招聘m名新工人，根据一个月至少生产安装1000台汽车求出m的取值范围，然后列出函数解析式，利用一次函数的增减性求解．
【详解】（1）解：设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，
根据题意得：，
解得：
答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车．
（2）设为按时完工工厂应招聘m名新工人，
根据题意得：，
解得
．
．
∴当时，W取最小值，最小值为2360000．
答：为按时完工工厂应招聘200名新工人，此时工厂每月支出的工资总额最少．
【专题精练】
一、单选题
21．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A．45B．50C．55D．60
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可．
【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得
解得：，，
∵商家想尽快销售完该款商品，
∴，
∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故选：B．
22．（2024·山西吕梁·模拟预测）2024年4月3日，太原广播电视台携手柳州市融媒体中心推出《柳侯之风嘉惠双城——柳州-太原清明节双城联动大型融媒体直播》节目，受到了社会各界的关注，在直播中，他们为观众准备了一批“惊喜盲盒”．如图，制作该盲盒的矩形纸板的宽为，剪去两个矩形和一个正方形（阴影部分）后，沿虚线折起即可制成一个有盖的长方体纸盒．若矩形A的面积为，正方形B的边长为，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据图示用含x的式子表示出矩形A的长与宽，进而表示出面积即可．
【详解】解：由题意知，矩形A的长为，宽为，
故可列方程，
故选A．
23．（2024·云南德宏·一模）某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩．第一期该市投入资金万元，安装型充电桩个和型充电桩个；第二期又投入万元，安装型充电桩个和型充电桩个．已知这两期安装、两种型号的充电桩单价不变．设安装型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了列二元一次方程组；设安装型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元，根据题意列出方程组，即可求解．
【详解】解：设安装型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元，根据题意得，
故选：D．
24．（2024·广东广州·二模）一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】因为设江水流速为，所以顺流速度为，逆流速度为；根据“顺流航行与逆流航行所用时间相等”列分式方程即可．本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
【详解】解：根据题意，可得，
故选：A．
25．（2024·浙江嘉兴·一模）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有（ ）

A．15.5cmB．19.5cmC．23cmD．30cm
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，
设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为，根据题意列方程组求出，进而求解即可．
【详解】解：设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为，
根据题意得：
解得： ．
则8个碗放在一起时，它的高度为．
故选B．
26．（2024·广东深圳·模拟预测）电影《飞驰人生2》讲述了传奇车手张驰重回巴音布鲁克赛场为自己证明的故事，一上映就获得全国人民的追捧，影片第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用中平均增长率问题，根据题意，把增长率记作x，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，列出方程即可．
【详解】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，
依题意得：．
故选：D．
27．（2024·吉林·二模）中国古代数学名著《算法统宗》里有这样一道题：“隔壁听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤．”意思是：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：明代时一斤等于十六两，故有半斤八两这个成语）．设共有x人，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】题考查了由实际问题抽象出一元一次方程、设有x人分银子，根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”，结合所分银子数量不变，即可列出关于x的一元一次方程．
【详解】解：设有x人分银子，
根据题意得：，
故选：B．
28．（2024·河北石家庄·二模）智能手机是现代人必备的通信工具，手机软件种类繁多，实验课上为了测试手机应用不同软件的耗电量，进行了如下实验，当用一款智能手机刷短视频90分钟和微信聊天30分钟消耗了电量的30%，经试验发现，将刷短视频时间缩短，微信聊天时间变成3倍后消耗电量和之前一样，已知微信聊天10分钟耗电量约70毫安，则下列说法不正确的是（ ）
A．该手机电池容量4900毫安
B．设短视频聊天10分钟耗电毫安，可列方程：
C．刷短视频10分钟耗电量约为160毫安
D．相同时间内刷短视频的耗电量是微信聊天的2倍
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设刷短视频10分钟耗电x毫安，则刷短视频90分钟耗电毫安，根据题意列出方程，得出刷短视频10分钟耗电140毫安，进而可得出答案
【详解】解：设刷短视频10分钟耗电x毫安，则刷短视频90分钟耗电毫安，
根据题意得出，
解得：，故选项B正确，
所以刷短视频10分钟耗电140毫安，刷短视频90分钟耗电毫安，故选项C不正确，
所以手机电池容量为：毫安，故选项A正确；
所以相同时间内刷短视频的耗电量是微信聊天的2倍，故选项D正确，
故选：C
29．（2024·福建福州·模拟预测）把9个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为（ ）
A．7B．4C．1D．6
【答案】C
【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．根据题意设左边中间位置为c，左上为b．求出“九宫格”中的b、c，再求出a即可求解．
【详解】如图，
依题意可得，
解得．
∴，
解得．
，
解得．
故选：C．
30．（2024·河北石家庄·三模）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（ ）
甲：设人数为人，可列方程，
乙：设羊价为元，可列方程为．
A．只有甲对B．只有乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都错
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设人数为人，可列方程，如果设羊价为元，可列方程，然后即可作答．
【详解】设人数为人，可列方程，
如果设羊价为元，可列方程，
则甲对，乙错．
故选：A．
二、填空题
31．（2024·湖北宜昌·模拟预测）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少．答：人数为 人，买鸡的钱数为 钱．
【答案】 9 70
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：合理设未知数，理解题意列出方程．直接根据题中信息：每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，列出方程求解，即可得到答案．
【详解】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，
根据题意，得，
解得，
故答案为：9，70．
32．（2024·北京大兴·模拟预测）小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则 花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个面包的定价相差 元．
【答案】 ②
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，可设面包贵的定价为元，面包便宜的定价为y元，根据使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差元，列出方程即可求解．
【详解】解：设面包贵的定价为x元，面包便宜的定价为y元，依题意有：，
则，
解得．
故参加特惠活动花费较少，两个面包的定价相差元．
故答案为：②，．
33．（2024·湖北襄阳·模拟预测）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？答：（1）人数为 人；（2）车有 辆．
【答案】 39 15
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
设有人，辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”列方程组求解．
【详解】解：设有人，辆车，依题意得：
，
解得．
答：有39人，15辆车．
故答案为：39；15．
34．（2024·江苏无锡·二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得洒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，则清酒 斗．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设清酒x斗，根据现在拿30斗谷子，共换了5斗酒得：，即可解得答案．
【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗，
根据题意得：，
解得，
∴清酒斗．
故答案为：．
35．（2024·山东济宁·三模）习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用第三周参与阅读人次第一周参与阅读人次参与阅读人次的月平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
36．（2024·山东青岛·三模）某社区计划对某块区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？设乙施工队每天分别能完成绿化的面积是，则可以列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙施工队每天能完成绿化的面积是，则甲施工队每天能完成绿化的面积是，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程．
【详解】设乙施工队每天能完成绿化的面积是，则甲施工队每天能完成绿化的面积是，
依题意，得：，
故答案为：．
三、解答题
37．（2024·湖北宜昌·模拟预测）“恒升包装”公司的产品质量上乘，信誉良好．该公司今年3月初接到商家24000件产品的订单，按计划生产5天后，商家因需求将产品追加5000件，该公司经理加大对工人的奖励力度，提高工人的积极性，结果每天比原计划多生产200件，刚好（包括前面5天一起）在原计划的时间内完成生产任务按时交付商家．该公司原计划每天生产产品多少件？
【答案】800件
【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天生产产品x件，根据原计划生产的天数等于已经生产的天数加上追加5000件厚生产的天数，列方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天生产产品x件，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，
答：原计划每天生产产品800件．
38．（2024·四川广元·三模）如图，要在旺苍县盐井河林场东西方向的两地之间修一条公路，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在上的点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西方向上.
(1)是否穿过原始森林保护区?为什么? (参数数据：
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前4天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天?
【答案】(1)不会穿过原始森林保护区．
(2)原计划完成这项工程需要天．
【分析】（1）过作于，于点，于点，根据题意，得，，可推出，；根据等角对等边，得，设，根据，三角锐角函数，求出，进行比较，即可；
（2）设原计划天完成，根据工作总量等于工作时间乘以工作效率，得到等量关系，解出，即可．
【详解】（1）解：如图，所示：过作于，于点，于点，
∵，，
∴，，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：（米）．
∴不会穿过原始森林保护区．
（2）解：设原计划天完成，则实际完成这项工程需要天，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴原计划完成这项工程需要天．
39．（2024·山西吕梁·模拟预测）云冈石窟是我国最大的石窟之一，1961年被国务院公布为全国首批重点文物保护单位．云冈石窟旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．若购买1作A款纪念品和3件B款纪念品共花费190元，购买3件A款纪念品和2件B款纪念品共花费290元．
(1)求A，B两款纪念品的单价．
(2)某游客决定购买A，B两款纪念品共10件，且购买A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，应如何购买才能使所花费用最低，最低费用为多少元？
【答案】(1)A，B两款纪念品的单价分别为70元，40元
(2)购买4件A款纪念品，6件B款纪念品时所花费用最低，最低费用为520元
【分析】本题考查二元一次方程组及一次函数解实际应用题，涉及解二元一次方程组、一次函数的图象与性质、解不等式等知识，读懂题意，熟练掌握解实际应用题的方法是解决问题的关键．
（1）设两款纪念品的单价分别为x元，y元，根据等量关系列出方程组求解即可得到答案；
（2）设购买A款纪念品件m件，则购买B款纪念品件，设总费用为W元，得到一次函数，结合，再利用一次函数图像与性质即可得到答案．
【详解】（1）解：设A，B两款纪念品的单价分别为x元，y元，
由题意知，
解得，
即A，B两款纪念品的单价分别为70元，40元．
（2）解：设购买A款纪念品件m件，则购买B款纪念品件，设总费用为W元，
则，
，
W随m的增大而增大，
购买A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，
，
解得，
m为正整数，
m的最小值为4，
当时，（元），
（件），
即购买4件A款纪念品，6件B款纪念品时所花费用最低，最低费用为520元．
40．（2024·湖北十堰·模拟预测）小明妈妈商店经销一种商品，根据以往的经验，每年进入了4月，这种商品需求量就会增大，妈妈让小明帮忙制定一个销售方案，小明查阅去年妈妈销售这种商品的记录，发现：该商品的进价为每件20元，去年3月份售价为每件30元．4月1日至19日每天在前一天的基础上涨价1元，4月20日至30日价格稳定在每件50元．3月31日销售这种商品160件，以后每天比上一天减少4件．设进入4月的第x天销售该商品的销售量为p，利润为y元．（每天利润=每天销售量×单件利润）
(1)分别求出p与x的函数关系式及y与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于2400元？
【答案】(1)；
(2)第15天时，当天的销售利润最大，最大利润为2500元．
(3)11天
【分析】本题主要考查二次函数、一次函数的应用能力：
（1）根据题意写出p与x的函数关系式及y与x的函数关系式即可；
（2）分和求出相应的函数解析式，求出各自最大利润值，然后再比较可得结论；
（3）令，可得前19天中有10天每天销售利润不低于2400元，后11天中，只有1天达到2400元，故可得结论
【详解】（1）解：，
当时，，
当时，，
综上：；
（2）解：当时，，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为2500元．
当时，，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值，最大值为2400元，
综上可知，当时，当天的销售利润最大，最大利润为2500元；
（3）解：令，
解得，（，舍去），
∴前19天中有10天每天销售利润不低于2400元，后11天中，只有1天达到2400元，
∴共有11天每天销售利润不低于2400元．
答：共有11天每天销售利润不低于2400元．
41．（2024·湖北襄阳·模拟预测）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为30m的篱笆围成．已知墙长为18m，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为．
(1)请直接写出y与x，S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)能否围成一个的矩形劳动实践基地，若能，请求出此时垂直于墙的一边的长；若不能，请说明理由．
(3)若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14m，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值．
【答案】(1)；
(2)能围成一个的矩形劳动实践基地，垂直于墙的一边长为
(3)垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为
【分析】本题考查二次函数解实际应用题，涉及求一次函数与二次函数表达式、二次函数最值等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
（1）根据题意，表示出长方形的长与宽，根据矩形面积公式即可得到二次函数表达式，由墙的最大可用长度为即可确定自变量的取值范围；
（2）令，解方程即可解题；
（3）由（1）中得到函数关系式，利用二次函数图像与性质，在自变量范围内讨论求出其最值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
∴，
（2）解：能围成一个的矩形劳动实践基地，理由：
，
解得，，
∵，
∴，
答：垂直于墙的一边长为；
（3）解：∵，
解得，
∴，
，
∵，
∴开口向下，
∵对称轴为直线，，
∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小，
∴当时，，
答：垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为．
42．（2024·河南驻马店·二模）盆栽不仅仅是一种组合，更是一种生活态度、一种情感表达，同时也是一种生态功能和文化的象征．盆栽培育专家研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对 A，B 两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验数据统计发现，药物施用量与A，B植物的生长高度，的关系如图2所示．
(1)请分别求植物 A、植物 B生长高度与药物施用量的函数解析式；
(2)研究发现，当两种植物高度差距不超过时，会有一种别致的美，请求出此时药物施用量的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键；
（1）根据题意直接利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）根据两种植物高度差距不超过建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设植物B生长高度与药物施用量的函数解析式为 根据题意，得

解得
．
将代入 得．
∴交点坐标为．
设植物A生长高度与药物施用量的函数解析式为 根据题意，得
，解得．

（2）解：根据题意，得 ，
解得
故盆栽呈现别致美的时候，药物施用量的取值范围为
43．（2024·湖南湘西·模拟预测）四月初，台湾遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，引起了某地区7.3级地震，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共8000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵20元，用900元购买甲种物品的件数恰好与用800元购买乙种物品的件数相同．
(1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元；
(2)经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这8000件物品，需筹集资金多少元？
【答案】(1)甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是180元、160元
(2)若该爱心组织按照此需求的比例购买这8000件物品，需筹集资金1320000元
【分析】本题考查分式方程和一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
（1）设每件乙种物品价格是x元，则每件甲种物品价格元，根据用900元购买甲种物品的件数恰好与用800元购买乙种物品的件数相同，列出方程进行求解即可；
（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为件，根据该爱心组织按照此需求的比例购买这8000件物品，列出一元一次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：设每件乙种物品价格是x元，则每件甲种物品价格是元，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解。
答：甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是180元、160元；
（2）解：设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为件；
由题意得
解得
即甲种物品件数2000件，乙种物品件数6000件；
需筹集资金为（元）
答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这8000件物品，需筹集资金1320000元．
44．（2024·河南漯河·二模）“河阴石榴砀山梨，荥阳柿子甜如蜜”，荥阳柿子不仅种植历史悠久，而且栽植广、品种多、产量高、品质佳．某柿农与快递公司合作寄送柿子到Z市．
素材1：
素材2：
请根据上述素材，回答下列问题．
(1)请求出m的值，并求出当柿子重量超过时单件寄送费y（元）与柿子重量之间的函数表达式．
(2)现将一批柿子寄往Z市，已知这批柿子的重量超过且小于，若这批柿子分两个件寄送（两个件均不超过）的费用比单件寄送的费用低，则这批柿子的重量应在什么范围内．
(3)柿农准备将一批重量为的柿子全部寄送到Z市，请直接写出最低寄送费用，并给出费用最低的一种寄送方案．
【答案】(1)，
(2)这批柿子的重量应大于且小于
(3)最低寄送费用为160元，方案见解析
【分析】本题主要考查一元一次方程、一次函数和一元一次不等式的应用：
（1）利用电子存单2的总费用和计量重量列出方程求出m，从而得解；
（2）设计方案求出总费用，比较大小即可；
（3）要尽可能的多寄送，则分两个件寄送，且每个件均不小于，从而得解．
【详解】（1）解：由电子存单2的信息，可得，
解得．
由题意，可得．
（2）解：设这批柿子的重量为．
单件寄送的费用为元，
分两个件寄送的费用为（元）．
由题意，得，
解得．
这批柿子的重量应大于且小于．
（3）解：最低寄送费用为160元．
寄送方案：分两个件寄送，且每个件均不小于．（如一个件，另一个件；或一个件，另一个件等，合理即可）
当柿子重量为时，寄送费用的单价最低，为5.6元，因此按此单价寄送的数量越多，总费用越低．
故若寄送，应分两个件寄送，且每个件均不小于，
最低费用为（元）．
物资种类
肉类
海鲜
蔬菜
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨所需运费/元
120
160
100
物资种类
肉类
海鲜
蔬菜
装运汽车数量（辆）
x
y
______
装运物品的总量（吨）
6x
______
______
物资种类
肉类
海鲜
蔬菜
装运汽车数量（辆）
x
y
装运物品的总量（吨）
6x
快递公司规定：从当地寄送柿子到Z市按重量收费，重量不超过时，需要寄送费56元；重量超过时，超过部分另收寄送费m元．
电子存单1
电子存单2
电子存单3
托寄物：柿子
计量重量：
件数：1
总费用：56元
托寄物：柿子
计量重量：
件数：1
总费用：72元
托寄物：柿子
计量重量：
托寄物：柿子
计量重量：
件数：2
总费用：152元