2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第09讲：压轴题 原卷版

这是一份2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第09讲：压轴题 原卷版，共16页。

题型一：动态几何
1．（2021·江苏苏州·一模）如图，内接于，，，点为弧上一动点，直线于点．当点从点沿弧运动到点时，点经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·山东威海·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·山东济南·三模）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2＋t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为cm；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③
题型二：新定义问题
4．（2023·重庆·中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．0B．1C．2D．3
5．（2021·广西贺州·中考真题）如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（ ）
A．－1B．0C．1D．2
6．（2021·湖北荆州·中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．C．且D．
题型三：猜想和证明
7．（2023·四川巴中·中考真题）综合与实践．

(1)提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点O．
①的度数是___________．
②__________．
(2)类比探究．如图2，在和中，，且，连接并延长交于点O．
①的度数是___________．
②___________．
(3)问题解决．如图3，在等边中，于点D，点E在线段上（不与A重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为的中点，N为的中点．
①试说明为等腰三角形．
②求的度数．
8．（2020·河南驻马店·模拟预测）在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．
【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．
【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积．
题型四：阅读理解
9．（2023·江西新余·一模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
(1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
(2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．
【拓展运用】
(3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．
①当时，求点的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
10．（2023·山东青岛·二模）如图1，是的高，点E，F分别在边和上，且．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．

(1)如图2，在中，，边上的高为8，在内放一个正方形，使其一边在上，点M，N分别在，上，则正方形的边长＝______；
(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是第0层隔板的长度；
①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度（单位：cm）随着层数（单位：层）的变化而变化．请完成下表：
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？
题型五：开放探究
11．（2022·安徽滁州·二模）【证明体验】
（1）如图1，为的角平分线，，点在线段上，，求证：平分；
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，为上一点，连接交于点．若，
求证：；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，，点在上，，若，，，求的长．

12．（2022·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．
(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
(3)在线段PE上取点F，使PF＝3，过点F作MN⊥PE，截取FM＝ ，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
题型六：综合应用
13．（2024·河北邢台·三模）如图至图，中，，，点在折线上，连接，将沿向右上方折叠，折叠后得到或四边形．
探究如图，若，点在上
①当射线经过点时，求证：；
②当点，的距离最小时，求的长．
尝试如图，若，点在上，当点F在的延长线上时，求的值．
延伸如图，若，，恰好经过点时，直接写出的长．
14．（2024·福建宁德·二模）蹦床是一项运动员利用蹦床的反弹在空中表现杂技技巧的竞技运动，有“空中芭蕾”之美称．甲、乙两位蹦床运动员在某次训练过程中同时起跳，甲运动员着落蹦床后便停止运动，乙运动员着落蹦床后继续做放松运动，每次蹦床运动间隔停留时间忽略不计．图1是甲、乙两位运动员的运动高度与运动时间的二次函数图象，点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，且所有二次函数图象开口大小相同．
(1)求甲运动员在这次训练中运动的最大高度；
(2)图2是教练员观测到乙运动员在这次训练中，每次运动的最高点都在同一视线上，教练员的视线与水平线的夹角为．
①若甲、乙运动员在2.4s时运动高度相同，求直线的表达式；
②当时，求乙在第二次蹦床运动中最大运动高度的取值范围．（，，）
15．（2024·山东淄博·二模）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求该抛物线及直线的函数表达式；
(2)如图2，在上方的抛物线上有一动点P（不与B，C重合），过点P作，交于点D，过点P作轴，交于点E．在点P运动的过程中，请求出周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q为顶点为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，二次函数与轴交于A、B两点，与轴交于点C．点坐标为，点坐标为，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为D，交直线于点，设点的横坐标为．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)如图2，过点作，垂足为，当为何值时，最大？最大值是多少？
(3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标．
【专题精练】
一、单选题
17．（2023·四川宜宾·三模）如图，在中，，点D、E分别是的中点．将绕点A顺时针旋转，射线与射线交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：
①；②存在最大值为；③存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的是（ ）

A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④
18．（2023·湖北十堰·三模）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数 (m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
20．（2022·浙江宁波·二模）如图，正六边形中，点P是边上的点，记图中各三角形的面积依次为，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·山东东营·中考真题）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接.以下四个结论正确的是（ ）
①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时；④当时，.
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
22．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且AB＝2CE＝3AF，过F作FG⊥BE于P交BC于G，连接DP交BC于H，连BF、EF．下列结论：
①△PBF为等腰直角三角形；②H为BC的中点；③∠DEF＝2∠PFE；④．
其中正确的结论（ ）
A．只有①②③B．只有①②④C．只有③④D．①②③④
23．（2020·浙江金华·一模）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③
24．（21-22九年级上·广东深圳·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①CG＝；②AEG的周长为8；③EGF的面积为．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③C．①②D．②③
25．（2021·广东深圳·二模）如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，E为BC中点，连接AE交BD于点F，连CF，下列结论：①AE⊥BD；②S矩形ABCD＝10S△CEF；③；④正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
26．（2020·安徽滁州·模拟预测）在△EFG中，∠G＝90°，，正方形ABCD的边长为1，AD与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
27．（2024·陕西西安·二模）如图，菱形中，，， 为的中点，为上一点，连接，作且面积为，则的最小值为 ．
28．（2023·陕西咸阳·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是 ．

29．（2023·天津河西·一模）如图，正方形的边长为4，是边上一点，，连接，与相交于点，过点作，交于点，连接，则点到的距离为 ．

30．（2021·浙江湖州·二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．

31．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是边长为3的等边三角形，延长至点，使得．点在线段上，且，连接，以为边向右作等边，过点作交的延长线于点，点是的中点，则四边形的面积为 ．

32．（2023·浙江宁波·二模）如图，与交于A、B两点，过B作y轴的垂线，垂足为C，交于点D，点D关于直线的对称点E恰好落在x轴上，且轴，连接，则 ；若的面积为15，则的值为 ．
三、解答题
33．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线：与x轴交于A，D两点，，点A在直线l：上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线沿x轴翻折后得到抛物线，与直线l交于A，B两点，点P是抛物线上A，B之间的一个动点（不与点A、B重合），于M，轴交于N，求的最大值．
34．（2024·福建龙岩·模拟预测）在锐角内部取一点，过点分别作于点，作于点，以为直径作，的延长线与交于点．
(1)求证：；
(2)若，点在的延长线上，求证：是的切线；
(3)当时，连接，若于点，求的值．
35．（2024·广东佛山·模拟预测）四边形是的内接矩形，点E是上的一动点，连接，，，其中交于点F．
(1)如1图，当时，
①求证：；
②若，连接，．求证：四边形是菱形．
(2)如2图，若，，请用含k的式子表示的值．
36．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，抛物线交x轴正半轴于点A，过顶点作轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若时，则函数的取值范围是______；
(3)点为右侧第一象限抛物线上一点，过点作轴于点，点为轴正半轴上一点，连接，，延长线交轴于点B，点在轴负半轴上，连接、，若，求直线的解析式．
37．（2024·吉林长春·一模）如图，在菱形中，，．点为线段延长线上一点，且，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动．连结、，将绕点按逆时针方向旋转得到，设点运动的时间是秒．
(1)菱形的面积是________；
(2)用含的代数式表示线段的长；
(3)当、、三点共线时，求的值；
(4)当是直角三角形时，直接写出的值．
38．（2024·吉林长春·一模）如图，在正方形中，动点从点出发，沿运动到点停止．过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连结，直线与交于点．设为，且．
(1)当时， ， ；
(2)当点在上时，
①求的值；
②当为轴对称图形时，求的大小；
(3)若正方形的面积为，直接写出面积的最大值．
39．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）综合实践
菱形中，点在对角线上，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角，连接．
【问题发现】
（1）如图，当点与点重合时，线段、、之间的数量关系为 ．
【类比探究】
（2）如图，当点在边上时，时，求证：
【拓展延伸】
（3）如图，点在延长线上，为中点，当，，时，设求与之间的数量关系．
40．（2023·吉林白城·模拟预测）下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，已知正方形中，分别是、边上的点，且．求证：．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到，则．
四边形是正方形，，
．
．
又，点在一条直线上．
＿＿＿，＿＿＿．
【探究】（1）在图①中，若正方形的边长为，，其他条件不变，求的长．
解：正方形的边长为，．
设，则．
在中，由，解得＿＿＿，即＿＿＿．
（2）如图②，在四边形中，，是边上的点，且，则＿＿＿．
（3）如图③，在中，，为边上的高．若，则的长为＿＿＿．层数/层
0
1
2
3
…
隔板长度/cm
120
______
______
______
…