2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第07讲：三角形综合 原卷版

这是一份2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第07讲：三角形综合 原卷版，共16页。
考点一：与三角形有关的线段考点二：与三角形有关的角
考点三：全等三角形的判断和性质考点四: 角平分线的性质和判定
考点五：垂直平分线的综合考点六：等腰（等三角形性质
考点七：等边三角形性质考点八：：直角三角形性质
考点九：三角形的综合问题
【题型精讲】
题型一：与三角形有关的线段
1．（2024·贵州黔南·一模）如图，中，，，，在上取一点（不与、点重合），连接，当的长度为整数值时，符合条件的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2024·云南昆明·二模）如图，是的中位线，按以下步骤作图：以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线交于点． 若 ，则长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河北邯郸·三模）观察发现：在三角形中，大角对大边，小角对小边．
猜想证明：
如图1，在中，．
求证： ．
证明：将沿直线①折叠，使点B与点C重合，如图2．
∴，
∴（②）．
在中，（③），
∴（④），
∴．
列说法不正确的是 （ ）
A．①处的垂直平分B．②表示等角对等边
C．③表示三角形的两边之和大于第三边D．④表示等式的基本性质
题型二：与三角形有关的角
4．（2024·山东济宁·三模）如图，中，，，D点在边上运动（D与A，B不重合），设，将沿翻折至处，与边相交于点E．若是等腰三角形，则的值为（ ）
A．或B．C．或D．
5．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，，点D是边上一点，且．过点B作的垂线，垂足为点F，交边于点E，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·重庆·二模）如图正方形的对角线与相交于点，点为边上一动点，连接，作于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型三：全等三角形的判断和性质
7．（2024·重庆·三模）如图，在正方形中，、分别为边、上一点，且，连接，，平分交于点，且点为中点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·黑龙江·三模）如图，四边形为正方形，的平分线交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接，，与相交于点H．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
9．（2024·重庆·一模）如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足，连接，点G在边上，连接交于点H，使得，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型四: 角平分线的性质和判定
10．（2024·山东临沂·二模）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（ ）
A．3B．2.5C．2D．1.5
11．（2024·天津滨海新·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（ ）
A．B．6C．D．9
12．（2023·广东广州·一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
题型五：垂直平分线的综合
13．（2024·山东济南·一模）如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于 的长为径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A， C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·山东潍坊·一模）如图，矩形中，，点E是上的一点，，的垂直平分线交的延长线于点F，连接交于点G，若G是的中点，则等于（ ）
A．B．12C．10D．
15．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（ ）
A． B．C．D．4
题型六：等腰（等三角形性质
16．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点C顺时针旋转得到（如图乙），此时与交于点O，则线段的长为（ ）
A．B．5C．4D．
17．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，正方形中，点为边延长线上一点，连接，将以为轴进行翻折，得到，射线交于点，连接，．则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．为的中点D．
18．（2024·江苏无锡·一模）如图，在正方形中，是延长线上一点，在上取一点，使点关于直线的对称点落在上，连接交于点，连接交于点，连接．现有下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④
题型七：等边三角形性质
19．（2024·安徽滁州·三模）已知线段，点是线段上一动点，和都是等边三角形，是的中点，是的中点，则线段的最小值为（ ）

A．B．C．2D．
20．（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
21．（2024·安徽马鞍山·二模）已知是边长为4的等边三角形，点D为高上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接和，则下列说法错误的是（ ）
A．的面积为
B．的最小值为1
C．周长的最小值为
D．为直角三角形时，的面积为
题型八：：直角三角形性质
22．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，，，D，E分别是，的中点，作于点F，连接，．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
23．（2024·河北石家庄·三模）如图，正方形的边长为6，点分别在上，，连接，与相交于点，连接，取的中点，连接，若，则的长为（ ）
A．B．C．2D．4
24．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，P为边上一动点，连接，把沿折叠使A落在处，当为等腰三角形时，的长为（ ）
A．2B．C．2或D．2或
题型九：三角形的综合问题
25．（2024·山东菏泽·二模）已知∶ 等边三角形中， 点D、E、F分别为边的中点， 点M在直线上，以点 M为旋转中心，将线段顺时针旋转 至 连接 ．
(1)如图1，当点M在点B左侧时，线段与的数量关系是 ；
(2)如图2，当点M在边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；
(3)当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由．
26．（2024·山东德州·二模） 中，，点O是斜边上一点，将线段绕点O旋转至 ，点D在直线外．
(1)如图1，当点O为的中点时， 连接．求的度数；
(2)如图2，在(1) 的条件下， 过点D作交边于点 E，当时，求证：四边形为菱形；
(3)如图3，连接，，若，，，求 的最小值．
27．（2024·湖北恩施·二模）如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且，探究线段之间的数量关系．
(1)特例发现
先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：．
(2)类比探究
再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）．
(3)拓展运用
如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长．
【专题精练】
一、单选题
28．（2023·河北·中考真题）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ）

A．B．C．12D．16
29．（2023·重庆·中考真题）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为（ ）

A．2B．C．1D．
30．（2023·北京·中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
31．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）

A．的最小值为B．的最小值为
C．周长的最小值为6D．四边形面积的最小值为
32．（2024·重庆·二模）在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接BE，并延长至点，使，连接DF，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
33．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（ ）
A．2.5B．C．D．3
34．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知四边形为平行四边形，，．如图①，若，动点P以的速度从点B出发沿线段运动到点C，同时动点Q以的速度从点B出发，沿路线运动，点P到达C点的同时，点Q也停止运动，图②是点P，Q运动时，的面积S随运动时间t变化关系的图象，则的值是（ ）

A．B．1C．2D．
35．（2024·四川眉山·一模）如图，在正方形中，E、F分别是上的点，且，分别交于M、N，连接，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
36．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在中，点E在上，点F在上，，垂足为O，若平分，点F是的中点，，，则线段的长为 ．
37．（2024·福建厦门·二模）如图，是平行四边形的对角线，在和上分别截取，使，分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线交于点P，若，平行四边形面积为24，则的面积是 ．
38．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知为反比例函数图象上一点，点在正半轴上，且为等边三角形．
（1） ；
（2）为边上一点，点在负半轴上，连接交于点，若，则经过点的反比例函数的解析式为 ．
39．（2024·山东菏泽·二模）如图， 正三角形、正四边形、正五边形中， 点E在的延长线上，点D在另一边反向延长线上，且 延长线交于点 F．图1中 的度数为 ， 图2 中度数为 ， 若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则度数为 ．（用含n的代数式表示）
三、解答题
40．（2024·陕西渭南·模拟预测）问题提出：
如图1，在四边形中，，，连接，将绕点D按逆时针方向旋转到处，点B，C分别落在点A，E处．
问题解决：
（1）的度数为_____；
（2）求证：．
拓展应用：
（3）如图2，某市公园里有一个四边形的人工湖．已知，．在人工湖上修建了一座观光桥，恰巧满足．为满足实际需求，要在人工湖上再修建一座观光桥，试求观光桥的长．
41．（2024·江苏扬州·二模）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
实践探究：
（1）如图1，若，则的值为______；
（2）如图2，当，时，求的值；
问题解决：
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
42．（2024·重庆·三模）图，在中，，，将绕着点顺时针旋转度得到线段，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，交于点，连接，．
(1)如图1，若，点恰好在线段上时，求的面积．
(2)如图2，在旋转的过程中，若为的中点，求证：．
(3)如图3，，在旋转的过程中，连接，在线段上取一点，使得，当取得最大值时，请直接写出的值．
43．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．
在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且．
【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；
请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长．
44．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N．
(1)【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则
(2)【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
(3)【拓展延伸】
①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值；
②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ．
45．（2024·广东清远·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图1，连接，当是直角三角形时，求m的值；
(3)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；
(4)点P在第一象限内运动过程中，若在y轴上存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），请直接写出m的值．