2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第03讲：相似三角形 原卷版

这是一份2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第03讲：相似三角形 原卷版，共16页。
考点一：A字词型相似问题
考点二：8型相似问题
考点三：母子型相似问题
考点四：旋转相似问题
考点五：K字型相似问题
考点六：三角形内接矩形相似问题
考点七：相似三角形的动点问题
考点八：相似三角形和其他知识交汇问题
【题型精讲】
题型一：A字词型相似问题
1．（2021·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5
2．（2020·湖北武汉·一模）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ．
3．（20-21九年级上·吉林·阶段练习）如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是 ．
题型二：8型相似问题
4．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线交于点，交的延长线于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·四川遂宁·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·安徽合肥·一模）如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（ ）
A．9B．12C．18D．24
题型三：母子型相似问题
7．（2020·重庆沙坪坝·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·江苏南通·一模）如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ．
​
题型四：旋转相似问题
10．（2021·广东佛山·一模）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，如果，且，求的值；
(3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．
11．（22-23九年级上·河南周口·期末）在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，.
(1)观察猜想
如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________．
(2)类比探究
如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
12．（2023·重庆江北·一模）在等腰三角形中，．点E为上一点，连接．

(1)如图1，若，过点C作交BE延长线于点D，连接，过点A作交于点F，连接，求证：；
(2)如图2，过A作交延长线于点D，将绕着点A逆时针旋转至，连接，使得于点G，与交于点M，若点M为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若，，将沿着翻折得到，点落在BE延长线上，交于点P，点Q、R分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方．
题型五：K字型相似问题
13．（2021·浙江温州·三模）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA的长为（ ）
A．B．2C．D．
14．（2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
15．（2020·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
题型六：三角形内接矩形相似问题
16．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ．
17．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长．
18．（23-24九年级上·陕西西安）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ．
（2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积．
（3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度．
题型七：相似三角形的动点问题
19．（2024·山东泰安·一模）如图1，在等腰中，，动点从点出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为，与之间关系的图象如图2所示，则的长是（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·广东湛江·三模）如图，在中，，E是边上一动点，沿A→C→B的路径移动，过点E作，垂足为D．设，的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·河北邯郸·三模）在中，于点，点从点出发沿向点运动，设线段的长为，线段的长为（如图1），而关于的函数图象如图2所示．是函数图象上的最低点．当为锐角三角形时的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型八：相似三角形和其他知识交汇问题
22．（2024·福建福州·三模）如图1，在中，，，D是线段上的动点（不与点A，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，.过点作交的延长线于点．
(1)若，，求的大小；
(2)求证：；
(3)如图2，当B，E，D三点共线时，若，，求的长．
23．（2024·浙江温州·二模）如图，点是以为直径的上一点，过中点作于点，延长交于点，连结 交点，连结．
(1)[认识图形]求证：．
(2)[探索关系]①求与的数量关系．
②设，，求关于的函数关系．
(3)[解决问题]若，，求的长．
24．（2024·山东济南·一模）如图所示，中，，，若D是 内一点，将线段绕点 C顺时针旋转 得到，连结．
(1)①如图1，判断与的位置关系并给出证明；
②如图2，连接，当 时，请直接用等式表示线段和的数量关系；
(2)如图3，O是斜边的中点，M为上方一点，且与斜边的交点在线段上，若，，，求的长．
【专题精练】
一、单选题
25．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．6B．7C．D．
26．（2024年重庆市九年级第三阶段质量检测数学试题）如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
27．（2024·浙江温州·二模）如图，把一张宽为的长方形纸片沿，折叠 ． 顶点A，B，C，D的对应点分别为，，，， 点 与重合，点A恰与，的交点重合．若，则的 长 为 （ ）
A．B．C．D．
28．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是的直径，点C是上半圆的中点，D是上一点，延长至E，，连接．若为的切线，则的值为（ ）
A．2B．3C．D．
29．（2024·河北石家庄·三模）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
30．（2024·山东潍坊·二模）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长交边于点，交边的延长线于点．若，，则线段的长度是（ ）
A．2B．2.5C．3D．
31．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
32．（2024·黑龙江·二模）如图，等腰直角三角形中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤四边形是菱形，正确结论的序号是 （ ）
A．②④⑤B．①②③④⑤C．①③④D．①②④⑤
二、填空题
33．（2024·广东惠州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，边与x轴交于点C，且，反比例函数（）的图象经过点A，若，则 ．
34．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，点、分别是、边上的点，将沿翻折，点的对应点恰好落在 的延长线上，且平分，若，则长为 ．

35．（2024·四川成都·二模）如图，在等边中，，点D是边上一点，且，过点D作于点E，连接，则 ；点F是的中点，连接，过点F作交于点G，则 ．

36．（2024·山东济南·一模）如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ．
37．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，点E、O分别在边上，，对角线，点P为对角线上一动点，点Q为上一动点，半径为1．若，则 ．
三、解答题
38．（2024·浙江台州·二模）如图，内接于， 连接并延长交弦 于点E， 交于点D， 且，连接，．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，求 (用含k 的式子表示)．
39．（2024·山东济宁·二模）如图，在矩形中，，E是边上的一点，将沿着折叠，点A恰好落在边上的点F 处，连接．
(1)求证：；
(2)求的值．
40．（2024·广东阳江·二模）综合探究
已知的两边分别与相切于点，，的半径为．
(1)如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；
(2)如图2，点在上运动，当线段经过圆心时，的大小满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，若线段与的另一个交点为点，的半径．
①求图中阴影部分的周长；
②连接，为边上的一点，且，延长交于点，求的长．
41．（2024·江苏连云港·二模）在中，，， 点D在边上， 过点D作， 交边于点 E， 点Q在线段上， 且． 连接， 并延长交边于点 P．
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图1，若，求的长；
(3)如图2，连接，若和互补，求证：
42．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，在矩形中，，，动点P、Q分别从C点、A点同时以每秒的速度出发，且分别在边，上沿，的方向运动，当点Q运动到点B时，P、Q两点同时停止运动，连接，设点P运动的时间为ts．
(1)如图1，在点P、Q运动过程中．
①点P与点D的最短距离为_________；②当时，t的值为_________；
(2)作，与边相交于点E，连接，延长交边于点F．
①求的正切值（用含t的代数式表示）；
②如图2，当时，试探究线段、、三者之间的等量关系，并加以证明；
③如图3，连接，若平分，直接写出的值．
43．（2024·河北石家庄·三模）已知四边形是边长为9的正方形，点在射线上．
(1)如图1，当点位于边的中点时，以为圆心，以为半径作半圆，连接，点是半圆弧上任意一点．
①点之间的最短距离为__________；
②连接，若与相似，求的长；
(2)如图2，当点位于边的延长线上，且时，以为圆心，以5为半径作半圆，交及其延长线于点．现将半圆绕点按逆时针方向旋转度，得到半圆，点的对应点为点．
①当点、、三点共线时，求；
②当半圆与正方形的边相切时，求圆心到边的距离．