高考数学第一轮复习复习第4节　三角函数的图象与性质（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第4节　三角函数的图象与性质（讲义），共20页。
1.能画出y=sin x,y=cs x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-π2,π2)内的单调性.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,-1),(2π,0).
余弦函数y=cs x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π2,0),(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
1.对称性与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.要注意求函数y=Asin(ωx+)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω>0,避免出现增减区间混淆的情况.
3.对于y=tan x不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(kπ-π2,kπ+π2)(k∈Z)内为增函数.
1.若函数y=2sin 2x-1的最小正周期为T,最大值为A,则( A )
A.T=π,A=1B.T=2π,A=1
C.T=π,A=2D.T=2π,A=2
2.函数f(x)=2csx-1定义域为( C )
A.[π3+2kπ,2π3+2kπ](k∈Z)
B.[π6+2kπ,5π6+2kπ](k∈Z)
C.[-π3+2kπ,π3+2kπ](k∈Z)
D.[-π6+2kπ,π6+2kπ](k∈Z)
解析:由题意,函数f(x)=2csx-1有意义,则满足2cs x-1≥0,即cs x≥12,解得-π3+2kπ≤x≤π3+2kπ,k∈Z,所以函数f(x)的定义域为[-π3+2kπ,π3+2kπ](k∈Z).
3.(多选题)已知函数f(x)=sin 2x+2cs2x,则( BC )
A.f(x)的最大值为3
B.f(x)的图象关于直线x=π8对称
C.f(x)的图象关于点(-π8,1)对称
D.f(x)在[-π4,π4]上单调递增
解析:f(x)=sin 2x+2cs2x=sin 2x+cs 2x+1=2sin(2x+π4)+1,则f(x)的最大值为2+1,故A错误;
f(π8)=2sin(2×π8+π4)+1=2+1,
则f(x)的图象关于直线x=π8对称,故B正确;
f(-π8)=2sin[2×(-π8)+π4]+1=1,
则f(x)的图象关于点(-π8,1)对称,故C正确;
当x∈[-π4,π4]时,2x+π4∈[-π4,3π4],
故当2x+π4∈[-π4,π2],即x∈[-π4,π8]时,
函数单调递增;
当2x+π4∈[π2,3π4],
即x∈[π8,π4]时,
函数单调递减,故D错误.
4.cs 23°,sin 68°,cs 97°的大小关系是 .
解析:sin 68°=cs 22°,
又y=cs x在[0,π]上是减函数,
所以cs 22°>cs 23°>cs 97 °,
即sin 68°>cs 23°>cs 97°.
答案:sin 68°>cs 23°>cs 97°
5.(必修第一册P207练习T5改编)函数y=cs(π4-2x)的单调递减区间为 .
解析:由y=cs(π4-2x)=cs(2x-π4),
得2kπ≤2x-π4≤2kπ+π(k∈Z),
解得kπ+π8≤x≤kπ+5π8(k∈Z),
所以函数的单调递减区间为[kπ+π8,kπ+5π8](k∈Z).
答案:[kπ+π8,kπ+5π8](k∈Z)
三角函数的定义域、值域
1.函数y=2sin(πx6-π3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( A )
A.2-3B.0
C.-1D.-1-3
解析:因为0≤x≤9,所以-π3≤πx6-π3≤7π6,
所以sin(πx6-π3)∈[-32,1],
所以y∈[-3,2],所以ymax+ymin=2-3.
2.函数y=1tanx-1的定义域为 .
解析:要使函数有意义,
则tanx-1≠0,x≠π2+kπ,k∈Z,
即x≠π4+kπ,k∈Z,x≠π2+kπ,k∈Z.
故函数的定义域为{x|x≠π4+kπ,且x≠π2+kπ,k∈Z}.
答案:{x|x≠π4+kπ,且x≠π2+kπ,k∈Z}
3.函数y=sinx-csx的定义域为 .
解析:法一 要使函数有意义,必须使sin x-cs x≥0.在同一平面直角坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cs x的图象,如图所示.
在[0,2π]内,满足sin x=cs x的x的值为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以函数y=sinx-csx的定义域为{x|2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z}.
法二 sin x-cs x=2sin(x-π4)≥0,将x-π4视为一个整体,由正弦函数y=sin x的图象和性质可知2kπ≤x-π4≤π+2kπ,k∈Z,解得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z,所以函数y=sinx-csx的定义域为{x|2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z}.
答案:{x|2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z}
4.当x∈[π6,7π6]时,函数y=3-sin x-2cs2x的值域为 .
解析:因为x∈[π6,7π6],所以sin x∈[-12,1].
又y=3-sin x-2cs2x
=3-sin x-2(1-sin2x)
=2(sin x-14)2+78,
所以当sin x=14时,ymin=78,
当sin x=-12或sin x=1时,ymax=2,
即函数的值域为[78,2].
答案:[78,2]
(1)求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式,常借助三角函数图象来求解.
(2)求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略:
①形如y=asin x+bcs x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+)+k的形式,再求最值(值域);
②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).
三角函数的单调性
求三角函数的单调区间、比较大小
[例1] (1)已知函数f(x)=2cs(x+π6),设a=f(π7),b=f(π6),c=f(π4),则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.c>a>bD.b>a>c
(2)函数y=sin(π3-2x)的单调递减区间为 .
解析:(1)a=f(π7)=2cs 13π42,b=f(π6)=2cs π3,c=f(π4)=2cs 5π12,因为y=cs x在[0,π]上单调递减,
又13π42c.故选A.
(2)函数y=sin(π3-2x)=-sin(2x-π3)的单调递减区间是函数y=sin(2x-π3)的单调递增区间.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z.故所给函数的单调递减区间为[kπ-π12,kπ+5π12],k∈Z.
答案:(1)A (2)[kπ-π12,kπ+5π12],k∈Z
(1)利用三角函数单调性比较大小,需将待比较的角转化为同一个单调区间.
(2)求y=Asin(ωx+)(或y=Acs(ωx+))(ω≠0)的单调区间,需将ωx+看作一个整体,结合相应函数单调性求解,当ω0,函数f(x)=12cs ωx-32sin(π-ωx)在(π3,π2)上单调递增,则ω的取值范围是( )
A.[2,6]B.(2,6)
C.[2,103]D.(2,103)
解析:f(x)=12cs ωx-32sin(π-ωx)=12·cs ωx-32sin ωx=sin ωxcs5π6+cs ωxsin5π6=sin(ωx+5π6),又f(x)在(π3,π2)上单调递增,
所以2kπ-π2≤π3ω+5π6,π2ω+5π6≤2kπ+π2,k∈Z,
解得6k-4≤ω≤4k-23,
由6k-4≤4k-23得k≤53,
又ω>0,k∈Z,因此k=1,
所以2≤ω≤103.故选C.
对于已知函数单调区间的某一部分确定参数ω的范围问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
[针对训练]
1.函数f(x)=tan(2x-π3)的单调递增区间是( )
A.[kπ2-π12,kπ2+5π12](k∈Z)
B.(kπ2-π12,kπ2+5π12)(k∈Z)
C.(kπ+π6,kπ+2π3)(k∈Z)
D.[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z)
解析:由kπ-π2f(1)
C.f(2)>f(1)>f(3)D.f(1)>f(3)>f(2)
解析:由π2≤2x-π4≤3π2,可得3π8≤x≤7π8,所以函数f(x)在区间[3π8,7π8]上单调递减,由于10)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,则ω= .
解析:因为f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,
所以当0≤ωx≤π2,
即0≤x≤π2ω时,y=sin ωx单调递增;
当π2≤ωx≤3π2,
即π2ω≤x≤3π2ω时,y=sin ωx单调递减.
由f(x)=sin ωx(ω>0)在[0,π3]上单调递增,
在[π3,π2]上单调递减,知π2ω=π3,
所以ω=32.
答案:32
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
[例3] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3