高考数学第一轮复习复习第3节　随机事件与古典概型（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第3节　随机事件与古典概型（讲义），共24页。
1.理解样本点、有限样本空间的含义以及随机事件与样本点的关系.
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义.
3.理解概率的性质,会用频率估计概率,掌握随机事件概率的运算法则.
4.理解古典概型,能利用古典概型计算简单随机事件的概率.

1.样本空间和随机事件
2.事件之间的关系与运算
互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件.
3.频率与概率
概率是一个常数,是一个理论值,不随试验次数的变化而变化,而频率是一个试验值,随着试验次数的改变而改变,是一个变量.
4.概率的基本性质
(1)性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.
(2)性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P()=0.
(3)性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
(4)性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
(5)性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).
(6)性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
(1)概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B=,即A,B互斥时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0.
(2)当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
5.古典概型
1.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为( C )
A.0.4,0.4B.0.5,0.5
C.0.4,0.5D.0.5,0.4
解析:某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,正面朝上出现了40次,所以出现正面朝上的频率为40100=0.4,因为每次抛硬币时,正面朝上和反面朝上的机会相等,都是0.5,所以出现正面朝上的概率是0.5.
2.根据多年气象统计资料,某地在夏至当日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该地在夏至当日为晴天的概率为( C )
解析:某地在夏至当日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该地在夏至当日为晴天的概率为P=1-0.45-0.20=0.35.
3.袋中装有大小和材质均相同的红球4个、黄球2个、白球1个,从中随机取出一个球,记事件A为“取出的是红球”,事件B为“取出的是黄球”,则下列关于事件A和事件B的关系说法正确的是( D )
A.不互斥但对立B.不互斥也不对立
C.互斥且对立D.互斥但不对立
解析:由于取出1个球不能既是红球又是黄球,故A与B不能同时发生,A,B互斥,
又因为袋中还有白球,故A与B互斥但不对立.
4.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,二枚反面的概率等于 .
解析:试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,反,正),(反,正,反),(反,反,反)},共8种,出现一枚正面,二枚反面的样本点有3种,故概率为P=38.
答案:38
5.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为 .
解析:从甲、乙等5名同学中随机选3名,有C53种情况,其中甲、乙都入选有C31种情况,所以甲、乙都入选的概率P=C31C53=310.
答案:310
事件之间的关系及概率运算
1.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,若事件A=“向上的点数为3”,B=“向上的点数为6”,C=“向上的点数为3或6”,则有( D )
A.A⊆BB.C⊆B
C.A∩B=CD.A∪B=C
解析:事件A发生时,事件B一定不发生,A不正确;事件C发生,事件B不一定发生,但事件B发生,事件C一定发生,所以B⊆C,B不正确;事件A和事件B不能同时发生即A∩B=,C不正确;事件A或事件B发生,则事件C一定发生,反过来,事件C发生,一定是事件A或B发生,即A∪B=C,D正确.
2.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,有如下随机事件:C1=“点数不大于3”,C2=“点数大于3”,C3=“点数大于5”;D=“点数为奇数”;Ei=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6.下列结论正确的是( B )
A.C1⊆DB.D=E1∪E3∪E5
C.C2与C3互斥D.E1与E2互为对立
解析:因为事件C1含有“点数为2”的样本点,而事件D不含这个样本点,A不正确;
事件D含有3个样本点:“点数为1”“点数为3”“点数为5”,即D=E1∪E3∪E5,B正确;事件C2与C3都含有“点数为6”的样本点,C2与C3不互斥,C不正确;
事件E1与E2不能同时发生,但可以同时不发生,E1与E2互斥而不互为对立,D不正确.
3.(多选题)一个盒子中装有5支圆珠笔,其中3支一等品,2支二等品,大小质地完全相同,若从中随机取出3支,则下列事件与事件“取出1支一等品和2支二等品”互斥的有( ABD )
A.取出的3支笔中,至少2支一等品
B.取出的3支笔中,至多1支二等品
C.取出的3支笔中,既有一等品也有二等品
D.取出的3支笔中,没有二等品
解析:事件“取出的3支笔中,至少2支一等品”包括2支一等品和1支二等品,3支一等品两种结果,与事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同时发生,它们是互斥事件,故A正确;事件“取出的3支笔中,至多1支二等品”包括2支一等品和1支二等品,3支一等品两种结果,与事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同时发生,它们是互斥事件,故B正确;事件“取出的3支笔中,既有一等品也有二等品”包括1支一等品和2支二等品,2支一等品和1支二等品两种结果,与事件“取出1支一等品和2支二等品”可能同时发生,它们不是互斥事件,故C错误;事件“取出的3支笔中,没有二等品”指3支一等品,与事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同时发生,它们是互斥事件,故D正确.
4.甲、乙两人下象棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是14,则甲输的概率为( A )
A.14B.13C.34D.78
解析:记“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B,则A,B互斥,且P(A)=12,P(B)=14,由于甲不输即为事件A∪B,由互斥事件的概率加法公式可得P(A∪B)=P(A)+P(B)=12+14=34,所以甲输的概率是1-P(A∪B)=1-34=14.
(1)判断事件之间的运算关系时,不但要紧扣运算的定义而且还要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,求解时既可以列出全部的试验结果进行分析,也可类比集合的关系求解.
(2)判断两事件之间的互斥关系时,要明确互斥事件是不能同时发生,但能同时不发生.
(3)求复杂互斥事件的概率的两种方法:
①直接法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,分别求出这些事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解;
②间接法:直接分解为互斥事件的和较为复杂,而其对立事件较为简单的可以利用间接法求解,涉及“至多”“至少”型题目常用此法.
随机事件的频率与概率
[例1] (多选题)一部机器有甲、乙、丙三个易损零件,在一个生产周期内,每个零件至多会出故障一次,工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如图所示的柱状图,由频率估计概率,在一个生产周期内,下列说法正确的是( )
A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8
B.有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大
C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大
D.已知甲零件发生了故障,此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大
解析:由题图可知,在一个生产周期内机器正常的概率为20100=0.2,则至少有一个零件发生故障的概率为0.8,因此A正确;
有两个零件发生故障的概率为10+15+5100=0.3,只有一个零件发生故障的概率为15+20+10100=0.45,因此有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小,B错误;
乙零件发生故障的概率为20+10+5+5100=0.4,甲零件发生故障的概率为15+10+15+5100=0.45,则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小,C错误;
由题图可知,丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率更大,D正确.故选AD.
利用概率的统计定义求随机事件的概率
随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定,但是在大量重复试验的情况下,它的发生呈现出一定的规律性,可以用事件发生的频率去“度量”,因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率.此类题目的求解方法:先利用频率的计算公式计算出频率,然后根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.
[针对训练] (1)某超市计划按月订购一种冷饮,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间[20 ℃,25 ℃),需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划,统计了前三年6月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1,则x= .
(2)根据某省教育研究机构的统计资料,今在校中学生近视率约为37.4%.某眼镜商要到某一中学给学生配眼镜,若已知该校学生总数为600人,则该眼镜商至少应带眼镜 副.
解析:(1)这种冷饮一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ℃,由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为4+590=0.1,所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.
(2)由已知得该学校需要佩戴眼镜的人数大概为600×37.4%=224.4