高考数学第一轮复习复习第4节　基本不等式（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第4节　基本不等式（讲义），共17页。
1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a>0,b>0).
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.基本不等式ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.
2.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为a+b2,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值S24(简记:和定积最大).
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2P(简记:积定和最小).
a2+b2≥2ab成立的条件与a+b2≥ab成立的条件不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而a+b2≥ab成立的条件是a>0,b>0.
1.ba+ab≥2(a,b同号).
2.ab≤a+b22(a,b∈R).
3.a2+b22≥(a+b2)2(a,b∈R).
4.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
(2)a>0,b>0,c>0则a+b+c3≥3abc.
5.a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b(a>0,b>0).
6.若a>0,b>0,则a2+b2≥2ab可变形为a≥2b-b2a或b≥2a-a2b.

1.当x2)在x=a处取最小值,则a等于( C )
A.1+2B.1+3
C.3 D.4
解析:当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)+1x-2+2≥2(x-2)·1x-2+2=4,当且仅当x-2=1x-2(x>2),即x=3时,取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.
4.(必修第一册P48习题T1(2)改编)函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是 .
解析:因为0≤x≤1,所以3-2x>0,
所以y=12·2x·(3-2x)≤12[2x+(3-2x)2]2=98,当且仅当2x=3-2x,
即x=34时,等号成立.
答案:98
利用基本不等式求最值
直接法
[例1] (3-a)(a+6)(-60,
所以b>1.
所以a+b=b+1b-1+b=b-1+2b-1+b=1+2b-1+b=1+2b-1+(b-1)+1=2+(b-1)+2b-1≥2+2(b-1)·2b-1=2+22(当且仅当b=1+2,a=1+2时,取等号).
常值代换法主要解决以下最值问题
已知形如或可化为x+y=t(t为常数),求ax+by型的最值以及形如或可化为ax+by=t,求cx+dy(cd≠0)型的最值,求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将ax+by看作是(ax+by)·x+yt或cx+dy看作是cx+dy=(cx+dy)·(atx+bty),变形后利用基本不等式求最值.
消元法
[例4] 已知x+y=1,y>0,x≠0,则12|x|+|x|y+1的最小值是( )
A.12B.14C.34D.54
解析:由x+y=1,y>0,得y=1-x>0,
解得x0,所以2ab+1a+1b≥2ab+2ab≥4,当且仅当a=b=1时,取等号.故选B.
2.已知函数f(x)=-x2x+1(x0,a+2b=3,则1a+1b的最小值为 .
解析:因为a+2b=3,所以13a+23b=1.所以1a+1b=(1a+1b)(13a+23b)=13+23+a3b+2b3a≥1+2a3b·2b3a=1+223,当且仅当a=2b时,取等号.
答案:1+223
4.已知正实数a,b满足ab-b+1=0,则1a+4b的最小值是 .
解析:由ab-b+1=0可得a=b-1b,
由a=b-1b>0且b>0得b>1,
所以1a+4b=bb-1+4b=1b-1+4(b-1)+5.
易知1b-1+4(b-1)≥4,所以1a+4b≥9,
当且仅当1b-1=4(b-1),即b=32,a=13时,等号成立,故1a+4b的最小值是9.
答案:9
基本不等式的综合应用
[例5] (1)对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为( )
A.2B.22C.4D.92
(2)已知正数x,y满足4x+9y=xy且x+y2恒成立,则正实数a的最大值是( )
A.4B.3C.2D.1
解析:因为x>2,所以x-2>0,所以4xa+1x-2≥4对任意x>2恒成立⇔4(x-2)a+1x-2+8a≥4对任意x>2恒成立⇔[4(x-2)a+1x-2+8a]min≥4,而4(x-2)a+1x-2≥24(x-2)a·1x-2=4a,当且仅当4(x-2)a=1x-2时,取等号.所以原问题转化为4a+8a≥4,解得00时,则有a+1a≤x+1x,
设g(a)=a+1a,要使题设不等式恒成立,
仅需g(a)max≤x+1x即可,而a∈[1,2]时,g(a)∈[2,52],所以x+1x≥52,
解得x∈(0,12]∪[2,+∞).
综上,x∈(-∞,12]∪[2,+∞).
答案:(-∞,12]∪[2,+∞)
基本不等式的实际应用
[例6]
如图,某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD,公园由矩形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成,已知休闲区A1B1C1D1的面积为1 000 m2,人行道的宽分别为5 m和8 m,设休闲区的长为x m.
(1)求矩形ABCD所占面积S(单位:m2)关于x的函数解析式;
(2)要使公园所占面积最小,问:休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少?
解:(1)因为休闲区的长为x m,休闲区A1B1C1D1的面积为1 000 m2,所以休闲区的宽为1 000x m,从而矩形ABCD的长与宽分别为(x+16) m,(1 000x+10) m,因此矩形ABCD所占面积S=(x+16)(1 000x+10)(x>0).
(2)S=(x+16)(1 000x+10)=10(x+1 600x)+1 160≥10×2x·1 600x+1 160=1 960,当且仅
当x=1 600x,即x=40时,取等号,则休闲区的宽为1 00040=25(m).因此要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为40 m,25 m.
利用基本不等式求解实际问题时,要根据实际问题,设出变量,注意变量应满足实际意义,抽象出目标函数的表达式,建立数学模型,再利用基本不等式求得函数的最值.
[针对训练] (2022·山东济南模拟)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=1 000v0.7v+0.3v2+d0,其中d0为安全距离,v为车速(单位:m/s).当安全距离d0取30 m时,该道路一小时“道路容量”的最大值约为( )
A.135B.149C.165D.195
解析:由题意得,N=1 000v0.7v+0.3v2+30=1 0000.7+0.3v+30v≤1 0000.7+20.3×30≈149,当且仅当0.3v=30v,即v=10时,取“=”,所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B.
[知识链接]
若a>0,b>0,则21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22,
当且仅当a=b时,等号成立,其中21a+1b和a2+b22分别叫做a,b的调和平均数和平方平均数.其几何表示及几何证明如下:
如图,在半圆O中,设AC=a,BC=b,且CD⊥AB,CE⊥OD,OF⊥AB,则R=OD=OF=a+b2,OC=R-b=a-b2,CF=OC2+OF2=a2+b22,在Rt△ADB中,由射影定理得CD=ab,在Rt△OCD中,由射影定理得CD2=DE·OD,所以DE=CD2OD=aba+b2=21a+1b,由图可知,DE≤CD≤OD=OF≤CF(当且仅当D与F重合,即a=b时,等号成立),即不等式21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a>0,b>0)成立(当且仅当a=b时,等号成立).
[典例]
1.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则( )
A.x+y≤1B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1
解析:对于选项A,B,由x2+y2-xy=1,
得(x+y)2-3xy=1,
又xy=(x+y)24-(x-y)24,
所以(x+y)2-3[(x+y)24-(x-y)24]=1,
即1=(x+y)24+3(x-y)24≥(x+y)24,
所以-2≤x+y≤2,所以A不正确,B正确;
对于选项C,D,由x2+y2-xy=1,
得x2+y2-1=xy≤x2+y22,
当且仅当x=y时,取等号,
所以x2+y2≤2,所以C正确,D不正确.故选BC.
2.(多选题)(2022·山东菏泽二模)设a,b为两个正数,定义a,b的算术平均数为A(a,b)=a+b2,几何平均数为G(a,b)=ab.20世纪50年代,美国数学家提出了“Lehmer均值”,即Lp(a,b)=ap+bpap-1+bp-1,其中p为有理数.下列结论正确的是( )
A.L0.5(a,b)≤L1(a,b)B.L0(a,b)≤G(a,b)
C.L2(a,b)≤A(a,b)D.Ln+1(a,b)≤Ln(a,b)
解析:对于A,L0.5(a,b)=a+b1a+1b=ab≤L1(a,b)=a+b2,当且仅当a=b时,等号成立,故A正确;对于B,L0(a,b)=21a+1b=2aba+b≤2ab2ab=ab=G(a,b),当且仅当a=b时,等号成立,故B正确;对于C,L2(a,b)=a2+b2a+b=a2+b2+a2+b22(a+b)≥a2+b2+2ab2(a+b)=(a+b)22(a+b)=a+b2=A(a,b),当且仅当a=b时,等号成立,故C不正确;对于D,当n=1时,由C可知,L2(a,b)≥a+b2=L1(a,b),故D不正确.故选AB.
可利用不等式链求最值,证明不等式等,其关键是要对其灵活变形.
[拓展演练]
1.已知x>0,y>0,且x+2y=3,则下列说法正确的是( )
A.1x+2y的最小值为3
B.x+2y的最大值为6
C.xy的最大值为98
D.2x+1+4y≥8
解析:因为x>0,y>0,x+2y=3,1x+2y=13(x+2y)(1x+2y)=13(5+2xy+2yx)≥13(5+22xy·2yx)=3,当且仅当2xy=2yx,即x=y=1时,等号成立,A正确;由22xy≤x+2y得(x+2y)2≤2(x+2y)=6,所以x+2y≤6,当且仅当x=2y=32时,取等号,B错误;3=x+2y≥22xy,xy≤98,当且仅当x=2y=32时,等号成立,C正确;2x+1+4y=2x+1+22y≥22x+1·22y=22x+2y+1=8,当且仅当2x+1=22y,即x=1,y=1时,等号成立,D正确.故选ACD.
2.(多选题)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )
A.a2+b2≥12
B.2a-b>12
C.lg2a+lg2b≥-2
D.a+b≤2
解析:对于选项A,因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=1,所以a2+b2≥12,正确;对于选项B,易知01),
则1+yx1+yx=1+t1+t2=m1+(m-1)2=mm2-2m+2=1m+2m-2≤12m·2m-2=122-2=2+12,当且仅当m=2m⇒yx=2-1时,取得“=”.所以a≥2+12,即实数a的最小值为2+12.故选D.
[例2] 已知a>b>0,则2a+4a+b+1a-b的最小值为( )
A.4×44B.6
C.3·38aa2-b2D.32
解析:因为a>b>0,所以2a+4a+b+1a-b=(a+b)+4a+b+(a-b)+1a-b,
因为(a+b)+4a+b≥2(a+b)·4a+b=4,
(a-b)+1a-b≥2(a-b)·1a-b=2,
所以2a+4a+b+1a-b≥6,当且仅当a+b=2,
a-b=1,即a=32,b=12时,等号成立.故选B.
[例3] 已知正实数a,b满足a+2b=2,则a2+1a+2b2b+1的最小值是( )
A.94B.73C.174D.133
解析:因为正实数a,b满足a+2b=2,且b2=(b+1)2-2(b+1)+1.
所以a2+1a+2b2b+1
=a+1a+2b+2-4+2b+1
=1a+2b+1
=14(a+2b+2)(1a+2b+1)=14(1+4+2b+2a+2ab+1)≥14×(5+22b+2a·2ab+1)=94,
当且仅当a=43,b=13时,取等号.故选A.
[例4] 若a,b∈R,ab>0,则a4+4b4+1ab的最小值为 .
解析:因为ab>0,所以a4+4b4+1ab≥24a4b4+1ab=4a2b2+1ab=4ab+1ab≥24ab·1ab=4,当且仅当a2=2b2,ab=12时,取等号,故a4+4b4+1ab的最小值为4.
答案:4