高考数学第一轮复习复习第2节　常用逻辑用语（讲义）

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1.通过已知的数学实例,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系以及数学定义与充要条件的关系.
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
①若p是q的充分条件,则A⊆B;
②若p是q的充分不必要条件,则AB;
③若p是q的必要不充分条件,则AB;
④若p是q的充要条件,则A=B.
口诀:小充分,大必要.
2.全称量词命题与存在量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
3.全称量词命题和存在量词命题的否定
1.(多选题)(必修第一册P28练习T1改编)下列命题是全称量词命题且为真命题的是( AC )
A.∀x∈R,-x2-11时一定能够得到|x|>1,但是|x|>1却不一定得到x>1,也可以是xn-1,则命题p的否定﹁p为( C )
A.∀n∈N*,n2≤n-1
B.∀n∈N*,n21且b>1;q:实数a,b满足a+b>2,ab>1,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:(1)法一 由sin x=1,得x=2kπ+π2(k∈Z),则cs(2kπ+π2)=cs π2=0,故充分性成立;又由cs x=0,得x=kπ+π2(k∈Z),而sin(kπ+π2)=1或-1,故必要性不成立,所以“sin x=1”是“cs x=0”的充分不必要条件.故选A.
法二 由sin x=1,得x=2kπ+π2(k∈Z),则cs(2kπ+π2)=cs π2=0,故充分性成立;又cs 3π2=0,sin 3π2=-1,故必要性不成立,所以“sin x=1”是“cs x=0”的充分不必要条件.故选A.
(2)因为a>1且b>1,所以a+b>2,ab>1,即p⇒q 成立;反之,若a,b满足a+b>2,ab>1,如a=3,b=12,但不满足a>1且b>1,即q⇒p不成立,所以p是q的充分不必要条件.故选A.
判断充分、必要条件的三种方法
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
(3)数形结合法:充要条件的判定问题中,若给出的条件与结论之间有明显的几何意义,且可以作出满足条件的几何图形,则可作出其几何图形后利用数形结合思想求解.
[针对训练]
1.p:x,y∈R,x2+y2|y|是x>y的既不充分也不必要条件,故C错误;对于D选项,若ln x>ln y,则x>y,反之,若x>y,得不出ln x>ln y,所以ln x>ln y是x>y的充分不必要条件,故D正确.故选ABD.
[例3] 若a,b,c是△ABC的三条边,则“a2+b2+c2=ab+bc+ca”是“△ABC是等腰三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若“△ABC是等腰三角形”,则当a=b≠c,则a2+b2+c2=ab+bc+ca不一定成立,若a2+b2+c2=ab+bc+ca,则2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,即a-b=0,b-c=0,c-a=0,则a=b=c,则“△ABC是等腰三角形”成立,即“a2+b2+c2=ab+bc+ca”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件.故选A.
[例4] 若命题“∀x∈[1,4],x2-4x-m≠0”是假命题,则m的取值范围是( )
A.-4≤m≤-3B.m