2024年高考数学第一轮复习讲义第四章4.5　三角函数的图象与性质(学生版+解析)

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知识梳理
1．用“五点(画图)法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，____________，____________，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，____________，____________，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq \f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq \f(1,2)个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝cs x在第一、二象限内单调递减．( )
(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．( )
(3)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．( )
(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．( )
教材改编题
1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
2．函数y＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,4)))的单调递减区间为________________．
3．函数y＝3－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的最大值为______，此时x＝__________.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y＝eq \r(cs x－\f(\r(3),2))的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)
D．R
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(2)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x的最小值为________．
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(3)函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为________．
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思维升华 三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
(2)把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域．
跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f(x)＝cs x－cs 2x，试判断函数的奇偶性及最大值( )
A．奇函数，最大值为2
B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为eq \f(9,8)
D．偶函数，最大值为eq \f(9,8)
(2)函数y＝lg sin x＋eq \r(cs x－\f(1,2))的定义域为________________．
题型二 三角函数的周期性与对称性
例2 (1)设函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \f(3,4)，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称
C．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上的最小值为－eq \f(5,4)
D．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))对称
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(2)函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋φ))＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________________．
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思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq \f(2π,ω)，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq \f(π,ω)求解．
跟踪训练2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))＋b(ω>0)的最小正周期为T.若eq \f(2π,3)0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0)，则“函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上单调递增”是“0