高考数学第一轮复习复习第4节　余弦定理和正弦定理（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第4节　余弦定理和正弦定理（讲义），共22页。
1.借助向量的运算,通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
2.能运用余弦定理、正弦定理解决三角形形状的判断问题.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
2.三角形常用面积公式
(1)S=12a·ha(ha表示边 a上的高).
(2)S=12absin C=12acsin B=12bcsin A.
(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sin C;
(2)cs(A+B)=-cs C;
(3)sinA+B2=csC2;
(4)csA+B2=sinC2.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中,a=bcs C+ccs B;b=acs C+ccs A;c=bcs A+acs B.
3.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A1=a,所以B=45°或135°.
3.(2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC等于( D )
A.1B.2
C.5D.3
解析:法一 由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcs B,
得BC2+2BC-15=0,
解得BC=3或BC=-5(舍去).
法二 由正弦定理ACsinB=ABsinC,得sin C=5719,从而cs C=41919(C是锐角),所以sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C=32×41919-12×5719=35738.又ACsinB=BCsinA,所以BC=3.
3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( C )
A.有一解
B.有两解
C.无解
D.有解但解的个数不确定
解析:由正弦定理bsinB=csinC,
得sin B=bsinCc=40×3220=3>1.
所以角B不存在,即满足条件的三角形不存在.
4.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC的面积= .
解析:易知c=4+9-2×2×3×12=7,
△ABC的面积等于12×2×3×32=332.
答案:7 332
5.在△ABC中,acs A=bcs B,则这个三角形的形状为 .
解析:由正弦定理,得sin Acs A=sin Bcs B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=π2,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案:等腰三角形或直角三角形
利用正弦定理、余弦定理解三角形
[例1] (2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cs∠ABC.
(1)证明:因为BDsin∠ABC=asin C,
所以在△ABC中,由正弦定理,得BD·b=ac,
又b2=ac,所以BD·b=b2,
又b>0,所以BD=b.
(2)解:如图所示,过点D作DE∥BC交AB于E,
因为AD=2DC,
所以AEEB=ADDC=2,DEBC=23,
所以BE=c3,DE=23a.
在△BDE中,cs∠BED=BE2+DE2-BD22BE·DE=
c29+4a29-b22×c3×2a3=c2+4a2-9b24ac=c2+4a2-9ac4ac,
在△ABC中,cs∠ABC=AB2+BC2-AC22AB·BC=
c2+a2-b22ac=c2+a2-ac2ac.
因为∠BED=π-∠ABC,
所以cs∠BED=-cs∠ABC,
所以c2+4a2-9ac4ac=-c2+a2-ac2ac,
化简得3c2+6a2-11ac=0,
方程两边同时除以a2,
得3(ca)2-11(ca)+6=0,
解得ca=23或ca=3.
当ca=23,即c=23a时,
cs∠ABC=c2+a2-ac2ac=49a2+a2-23a243a2=712;
当ca=3,即c=3a时,
cs∠ABC=c2+a2-ac2ac=9a2+a2-3a26a2=76>1(舍去).
综上,cs∠ABC=712.
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程(组),通过解方程(组)求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.
[针对训练] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+asin A=bsin B+csin C.
(1)求A的值;
(2)设D是线段BC的中点,若c=2,AD=13,求a 的值.
解:(1)根据正弦定理,
由bsin C+asin A=bsin B+csin C,
可得bc+a2=b2+c2,
即bc=b2+c2-a2,
由余弦定理可得,cs A=b2+c2-a22bc=12,
因为A为三角形内角,
所以A=π3.
(2)因为D是线段BC的中点,c=2,AD=13,
∠ADB+∠ADC=π,
则cs∠ADB+cs∠ADC=0,
所以AD2+BD2-AB22AD·BD+AD2+DC2-AC22AD·DC=0,
即13+a24-22213·a2+13+a24-b2213·a2=0,
整理得a2=2b2-44,
又a2=b2+c2-2bccs A=b2+4-2b,
所以b2+4-2b=2b2-44,
解得b=6或b=-8(舍去),
因此a2=2b2-44=28,
所以a=27.
三角形形状判断
[例2] 在△ABC中,已知sinA+sinCsinB=b+ca且还满足①a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B);②bcs A+acs B=csin C中的一个条件,试判断△ABC的形状,并写出推理过程.
解:由sinA+sinCsinB=b+ca及正弦定理得a+cb=b+ca,即ac+a2=b2+bc,所以a2-b2+ac-bc=0,
所以(a-b)(a+b+c)=0,所以a=b.
即△ABC为等腰三角形.
若选①,则△ABC为等边三角形.
由a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B)及正弦定理,得a(a-b)=(c-b)(c+b),
即a2+b2-c2=ab.
所以cs C=a2+b2-c22ab=12,
又C∈(0,π),所以C=π3.
所以△ABC为等边三角形.
若选②,则△ABC为等腰直角三角形.
因为bcs A+acs B=b·b2+c2-a22bc+a·a2+c2-b22ac=2c22c=c=csin C,
所以sin C=1,又C∈(0,π),所以C=π2,
所以△ABC为等腰直角三角形.
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] 在△ABC中,c-a2c=sin2B2(a,b,c分别为内角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
解析:c-a2c=sin2B2=1-csB2,
即cs B=ac.
法一 由余弦定理得a2+c2-b22ac=ac,
即a2+c2-b2=2a2,
所以a2+b2=c2.
所以△ABC为直角三角形,无法判断两直角边是否相等.故选A.
法二 由正弦定理得cs B=sinAsinC,
又sin A=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C,
所以cs Bsin C=sin Bcs C+cs Bsin C,
即sin Bcs C=0,又sin B≠0,
所以cs C=0,又角C为三角形的内角,
所以C=π2,所以△ABC为直角三角形,无法判断两直角边是否相等.故选A.
和三角形面积有关的问题
[例3] (2022·浙江卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cs C=35.
(1)求sin A的值;
(2)若b=11,求△ABC的面积.
解:(1)由正弦定理asinA=csinC,
得sin A=a·sinCc.
因为cs C=35,所以sin C=45,
又ac=54,所以sin A=5sinC4=55.
(2)由(1)知sin A=55,
因为a=5c4