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第52讲 随机事件的概率与古典概型（精讲）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
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这是一份第52讲 随机事件的概率与古典概型（精讲）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用），文件包含第52讲随机事件的概率与古典概型精讲原卷版docx、第52讲随机事件的概率与古典概型精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
题型目录一览
一、知识点梳理
一、随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示．
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
1.试验可以在相同条件下重复进行；
2.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
3.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
二、样本空间
我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．
三、随机事件和确定事件
1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．
2.作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．
3.空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件．
4.确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．
四、事件的关系与运算
①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：
不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件．
②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：
五、互斥事件与对立事件
1.互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示：
如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．
2.对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．
3.互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
六、概率与频率
1.频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．
2.概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．
3.概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．
七、随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示.
八、古典概型
1.定义：一般地，若试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
注：（1）解决古典概型的问题要注意清楚以下三个方面
①本试验是否具有等可能性；
②本试验的基本事件有多少个；
③事件是什么．
（2）一般解题步骤：
①仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
②判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；
③分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；
④利用公式求出事件的概率．
九、概率的基本性质
1.对于任意事件都有：．
2.必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．
3.概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．
推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．
4.对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．
5.若，是一次随机实验中的两个事件，则．
二、题型分类精讲
题型一 随机事件关系与运算
【典例1】连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件{两次出现的点数相同}，事件{两次出现的点数之和为4}，事件{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件{两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件，；
(2)若事件，则事件E与已知事件是什么运算关系？
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由随机事件，求出样本点，然后求解即可；
（2）由事件E，结合已知事件A、B、C、D求解即可.
【详解】（1）由题意得，事件，
事件，
事件，
事件.
则，；
（2）由（1）知，事件，，
因为，
所以.
【题型训练】
一、单选题
1．已知，，如果，那么（ ）
A．0.18B．0.42C．0.6D．0.7
【答案】C
【分析】结合事件的包含关系以及概率的知识求得答案.
【详解】由于，所以.
故选：C.
2．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.3，是不可能事件的概率为0.1，则这10个事件中具有随机性的事件的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】计算出必然事件和不可能事件的个数，用事件总数减去它们之和即得答案.
【详解】这10个事件中必然事件的个数为，不可能事件的个数为，
所以具有随机性的事件的个数为．
故选：B
3．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有( )
A．B．C． D．与之间没有关系
【答案】C
【分析】根据题意，结合列举法求得事件和事件，进而得到两事件的关系，得到答案.
【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，
其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，
所以.
故选：C.
4．抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数为大于2小于5”，“点数为偶数”，则表示的事件为（ ）
A．“点数为4”B．“点数为3或4”
C．“点数为偶数”D．“点数为大于2小于5”
【答案】A
【分析】先分别求得事件所包含的基本事件，进而求得表示的事件.
【详解】“点数为大于2小于”,
“点数为偶数”,则,
故表示的事件为“点数为4”.
故选：A
5．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A＋B和AB包含的样本点数分别为（ ）
A．1；6B．4；2C．5；1D．6；1
【答案】C
【分析】先求出试验E的样本空间，事件A＋B和AB中所含的样本点，即可求出答案.
【详解】试验E的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}．
其中事件A中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个；
事件B中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2个．
所以事件A＋B中所含的样本点为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个；
事件AB中所含的样本点为（2，4），共1个．
故选：C．
6．若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现金支付的概率为（ ）
A．0.10B．0.15C．0.40D．0.45
【答案】B
【分析】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则为即用现金支付也用非现金支付，.
【详解】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则为即用现金支付也用非现金支付，
则，，则，.
故选：B.
7．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可.
【详解】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，
则样本空间.
由题意得，，，，
则，，且.即ABC都正确；
又，.
.故D不正确.
故选：D.
8．A,B两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“元件正常”，“B元件正常”，用分别表示A,B两个元件的状态，用表示这个串联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效.下列说法正确的个数是（ ）
①样本空间； ②事件；
③事件“电路是断路”可以用（或）表示；
④事件“电路是通路”可以用（或）表示，共包含3样本点.
A．0B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据事件的定义确定样本点，判断各个命题．
【详解】因为分别取值0和1，因此的取值为，①正确；
事件中，而任取，因此②正确；
事件“电路是断路”中，至少有一个取0，因此事件“电路是断路”，
，，，从而“电路是断路”可表示为，③错；
事件“电路是通路”中，两个都取1，因此事件“电路是通路”，
，从而“电路是通路”可表示为，其中只有一个样本点，④错．
正确的个数是2，
故选：B．
二、填空题
9．从装有个红球和个白球的口袋内任取个球观察颜色．设事件为“所取两个球至少有一个白球”，事件为“所取两个恰有一个红球”，则表示的事件为 ．
【答案】恰有一个红球
【分析】用列举法列出样本空间、、，即可求出.
【详解】因为从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，
这一随机试验的样本空间白、白，白、红，红、红，
且白、红，白、白，白，红，
所以白、红，故表示的事件为恰有一个红球．
故答案为：恰有一个红球
10．打靶3次，事件“击中发”，其中．那么表示 ．
【答案】至少击中1发
【分析】根据和事件的定义判断.
【详解】根据并事件的定义可知，表示至少有一个发生，
所以表示至少击中1发.
故答案为：至少击中1发.
11．已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且，，，则 .
【答案】0.8
【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可.
【详解】由.
故答案为：0.8
12．、两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“元件正常”，“元件正常”，用、分别表示、两个元件的状态，用表示这个串联电路的状态.以表示元件正常，表示元件失效.下列说法正确的是 .
①样本空间；
②事件；
③事件“电路是断路”可以用（或）表示；
④事件“电路是通路”可以用（或）表示，共包含个样本点.
【答案】①②
【分析】列举出所有的基本事件，可判断①；列举出事件包含的基本事件，可判断②；分析事件“电路是断路”，然后用事件加以表示，可判断③；分析事件“电路是通路”，然后用事件加以表示，可判断④.
【详解】对于①，样本空间，①对；
对于②，事件包含两种情况，元件不正常且元件正常，元件正常且元件正常，
故事件，②对；
对于③，“电路是断路”，说明元件和元件至少有一个不正常，
即事件“电路是断路”可以用（或）表示，③错；
对于④，“电路是通路”，说明两个元件都正常，
所以，事件“电路是通路”可以用（或）表示，④错.
故答案为：①②.
13．根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同时及格的概率为0.75，则至少有一科及格的概率为 .
【答案】0.95
【分析】根据概率的基本性质中和事件的概率公式代入数据即可.
【详解】设“小张语文成绩及格”，“小张数学成绩及格”，
则“语文和数学同时及格”，“语文数学两科至少有一科及格”，
由已知得，，，，
代入和事件概率公式得，
.
故答案为：0.95.
题型二 频率与概率
策略方法
1．概率与频率的关系
频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
【典例1】（单选题）手机支付已经成为人们常用的付费方式，某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下，
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求相应的频率，用频率估计概率.
【详解】由题意可知：该顾客年龄在内且未使用手机支付的频率为，
用频率估计概率，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合频率与概率之间的关系运算求解.
【详解】由题意可知：体重减轻的频率为，
用频率估计概率可知：体重减轻的概率为.
故选：A.
2．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为，经调查，某市市场上的食用油大约有个品牌，则不合格的食用油品牌大约有（ ）
A．个B．个
C．个D．个
【答案】C
【分析】先求出市场上食用油不合格率，再根据频数样本容量频率可得结果.
【详解】因为市场上食用油合格率为，所以市场上食用油不合格率为，
又市场上的食用油大约有个品牌，所以不合格的食用油品牌大约有个.
故选：C
3．天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用频率和概率的关系得到答案.
【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个，
故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为.
故选：B
4．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（ ）
A．0.58B．0.61C．0.62D．0.68
【答案】B
【分析】利用频率和概率的关系求解即可.
【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，
所以合计列对应的频率最为合适.
故选：B.
5．对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题：抽到红球，则回答问题，且箱子中只有白球和红球．
问题：你的生日的月份是否为偶数?（假设生日的月份为偶数的概率为）
问题：你是否有在校使用手机?
已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球个，红球个，调查结束后共收到张有效答卷，其中有张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是（精确到）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】计算出回答问题的学生人数，以及回答问题回答“是”的学生人数，进而可求得该校学生有在校使用手机的概率.
【详解】由题意可知，回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为，
回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为，
因此，估计该校学生有在校使用手机的概率是.
故选：B.
6．手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机抽取1人，则该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，算出100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的的人数，结合古典概型的概率公式，进而可以得到未使用手机支付的概率.
【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在内且未使用手机支付的共有（人），
所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.
故选：D.
7．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是.
其中正确命题有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断．
【详解】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值，
一批产品次品率为0.05，则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，①错误；
对于②，100次并不是无穷多次，只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故②错误；
对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误；
对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值，
抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，④正确.
故选：D.
8．一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球，某班分成20个小组进行随机摸球试验，每组各做50次，每次有放回地摸1个球并记录颜色．统计共摸到红球619次，则袋中红球的个数最有可能为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】B
【分析】根据频率与概率之间的关系即可列式子求解.
【详解】设红球的个数为，由题意可知：，
所以红球的个数最可能是5个，
故选：B
9．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（ ）
A．该四面体一定不是均匀的B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72
C．再抛掷一次，标记4的面落地D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2
【答案】D
【分析】根据频率和概率的关系分析每个选项.
【详解】A选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，A选项错误；
BCD选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为，即，
B选项中所估计的概率和频率差别过大，
C选项认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为，但频率只有，因此不能认为必然发生，BC选项错误；
D选项，标记3的面落地概率估计是，和实验频率非常接近，D选项正确.
故选：D
二、多选题
10．利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表：
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好
C．随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
【答案】ABC
【分析】根据题中统计数表中的数据变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A选项：根据表中数据得到试验次数相同时，频率可能不同，则说明随机事件发生的频率具有随机性，所以A选项正确；
对于B选项：分别对比每个序号重复试验次数分别为20，100，500的频率可得试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，则试验次数越多越好，所以B选项正确；
对于C选项：根据表中数据得到随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近，所以C选项正确；
对于D选项：我们要想得到某事件发生的概率，需要进行多次重复试验才能得到概率的估计值，所以D选项错误；
故选：ABC.
11．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下面的统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
根据表中数据，下列结论中正确的有（ ）
A．顾客购买乙商品的概率最大
B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2
【答案】BCD
【分析】根据统计表逐项分析可得答案.
【详解】对于A，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误；
对于B，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为，故B正确；
对于C，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为，故C正确；
对于D，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为，故D正确．
故选：BCD．
12．小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了次，每次朝上的点数都是，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是的概率和频率均为
B．若抛掷次，则朝上的点数是的频率约为
C．抛掷第次，朝上的点数一定不是
D．抛掷次，朝上的点数为的次数大约为次
【答案】BD
【分析】根据频率和概率的定义，一次判断选项即可．
【详解】对选项A，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为，故A错误；
对选项B，因为频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，
频率逐渐趋向于概率的值，而抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为，
故B正确；
对选项C，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为，
所以抛掷第次，朝上点数可能是，也可能不是，故C错误；
对选项D，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为，
抛掷次，频率接近，频数大约为次，故D正确.
故选：BD
三、填空题
13．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示．
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是 ．
【答案】
【分析】根据试验中频率与概率的关系，即可求解.
【详解】由题意知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差就越小.
所以使误差较小的可能性大的估计值是.
故答案为：.
14．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数：
据此估计甲获得冠军的概率为 .
【答案】
【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率.
【详解】20组数据中，共13组数据表示甲获得冠军，
故估计甲获得冠军的概率为.
故答案为：
15．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人．
【答案】
【分析】求出在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，即可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数.
【详解】由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，
故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有.
故答案为：.
16．某事件的概率是，下列说法正确的是 ．
（1）发生的可能性是；
（2）在10000个试验中，事件发生9700次；
（3）随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动．
【答案】（1）（3）
【分析】根据频率和概率的定义，依次判断即可．
【详解】事件的概率是，发生的可能性是，（1）正确；
通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则在10000个试验中，应该事件发生9700次左右，不一定发生9700次，（2）错误；
因为频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，
频率逐渐趋向于概率的值，随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动．（3）正确；
故答案为：（1）（3）.
17．某制造商今年月份生产了一批乒乓球，随机抽取个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：mm），将数据分组如下：
若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为，则这批乒乓球的直径误差不超过的概率是 ．
【答案】
【分析】根据表格提供数据以及概率、频率的知识求得正确答案.
【详解】标准尺寸是，并且误差不超过，即直径需落在[39.97，40.03]范围内．
由频率分布表知，频率为，
所以直径误差不超过的概率约为.
故答案为：
18．为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是 .
【答案】132
【分析】在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，由此可知第一个问题被问到600次，在被问到的600人中300人学号是奇数，比300人多出来的人数就是闯过红灯的人数，可以求出该组样本的频率，最后利用样本频率估计总体的方法即可求解.
【详解】被调查的1200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，
所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”，
所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为，
用样本频率估计总体，从而估计这1200人中闯过红灯的人数为人.
故答案为：132.
题型三 互斥事件与对立事件
策略方法
1.判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2.复杂事件的概率的两种求法
(1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便．
【典例1】（单选题）2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中国广西大寨村和重庆荆竹村成功入选．辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客．小明准备利用假期从中选一个乡村游玩，记事件：小明选大寨村，事件：小明选荆竹村，事件：小明选绿江村．已知，，则＝（ ）
A．0.12B．0.18C．0.7D．0.9
【答案】C
【分析】利用互斥事件与对立事件的概率公式即可得解.
【详解】由题意，得事件，，为互斥事件，
所以，则.
故选：C．
【题型训练】
一、单选题
1．在试验“抛掷两枚质地均匀的硬币”中，事件A= “至少有一枚硬币正面朝上”，事件 “两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（ ）
A．A与B互斥B．A与C对立
C．B与C不互斥D．B与C对立
【答案】B
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断.
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有正反；正正；反正；反反，共4种情况，
其中满足事件的共有正反，反正和正正；满足事件的是正正一种情况，
满足事件的是反反一种情况，
对A，则显然事件和事件可能同时发生，即正正这种情况，故A错误；
对B，事件为事件为互斥事件，且两者构成了所有的发生情况，即必有一个发生，则A与C对立，故B正确；
对C，事件与事件显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故C错误；
对D，事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故D错误.
故选：B.
2．某超市举行有奖促销活动，活动中设置一等奖、二等奖、幸运奖三个奖项，其中中幸运奖的概率为0.3，中二等奖的概率为0.2，不中奖的概率为0.38，则中一等奖的概率为（ ）
A．0.16B．0.22C．0.12D．0.1
【答案】C
【分析】根据事件间的关系，利用概率公式，可得答案.
【详解】由于奖项一等奖、二等奖，幸运奖和不中奖四个事件是相互互斥的，
且构成事件为必然事件，故中一等奖的概率为．
故选：C.
3．在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（ ）
①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”；
②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”；
③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；
④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果.
【详解】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件．
∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件．
∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件，
∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件，
故选：B．
4．下列叙述正确的是（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一定越来越接近一个确定数值
B．若随机事件A发生的概率为，则
C．若事件A与事件B互斥，则
D．若事件A与事件B对立，则
【答案】D
【分析】选项A，事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，并非越来越接近；选项B， ；选项C. 事件A与事件B互斥，；选项D，对立事件的概率和为1.
【详解】选项A，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小，
即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，并不一定越来越接近这个确定数值，故A不正确；
选项B，样本空间Ω的子集称为随机事件，
必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，
必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，即，故B不正确；
选项C. 若事件A与事件B互斥，则它们不可能同时发生，即发生则一定不发生，
所以，则，
则有，不一定与相等，故C不正确；
选项D. 若事件A与事件B对立，则为必然事件，且事件A与事件B互斥，则，故D正确.
故选：D.
5．在一个不透明的盒子中，放有除颜色外完全相同的2个白球和3个红球，摇匀后，从中任意取出两个球，下列说法与“取出的两个球都是白球”是互斥但不是对立的事件是（ ）
A．取出两球同色B．取出的两球异色
C．取出的两球至少有一个红球D．取出的两球至少一个白球
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐项判断即可得解.
【详解】记事件“取出的两个球都是白球”，事件“取出的两个球是1个白球和1个红球”，事件“取出的两个球都是红球”，
可知事件两两互斥，且样本空间，
对于选项A：因为“取出两球同色”，
即事件“取出两球同色”与“取出的两个球都是白球”不互斥，故A错误；
对于选项B：因为“取出的两球异色”，即事件互斥且不对立，故B正确；
对于选项C：因为“取出的两球至少有一个红球”，
可知事件A与事件为对立事件，故C错误；
对于选项D：因为“取出的两球至少一个白球”，
即事件“取出的两球至少一个白球”与“取出的两个球都是白球”不互斥，故D错误；
故选：B.
6．已知随机事件A和B互斥，且，则等于（ ）
A．0.8B．0.7C．0.5D．0.2
【答案】C
【分析】利用互斥事件加法公式和对立事件概率公式计算即可.
【详解】因为随机事件A和B互斥，且，
所以，所以.
故选：C.
7．已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ）
A．0.8B．0.7C．0.6D．0.5
【答案】B
【分析】利用互斥事件性质以及已知数据代入公式计算即可求得，再由对立事件性质可得.
【详解】由随机事件和互斥可知，
由，
将代入计算可得，
又和对立，可得，解得.
故选：B
8．从一批产品中随机抽取件产品进行质量检测，记“件产品都是次品”为事件，“件产品都不是次品”为事件，“件产品不都是次品”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A．任意两个事件均互斥
B．任意两个事件均不互斥
C．事件与事件对立
D．事件与事件对立
【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念判断即可.
【详解】从一批产品中随机抽取件产品进行质量检测，
则可能情况有：件产品都是次品，件产品是次品，件产品是次品，件产品是次品；
记“件产品都是次品”为事件，“件产品都不是次品”为事件，“件产品不都是次品”为事件，
则事件、事件可能同时发生，故事件与事件不互斥，故A错误；
事件与事件不可能同时发生，故事件与事件互斥，
但是事件与事件可以都不发生，如出现件产品是次品或件产品是次品时，
故事件与事件不对立，故B、D错误；
事件“件产品不都是次品”，包含“件产品是次品”，“件产品是次品”，“件产品是次品”；
故事件与事件对立，故C正确；
故选：C
9．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与至少有一个红球
【答案】C
【分析】先写出从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球所包含的基本事件，再根据选项写出各事件的基本事件，利用互斥事件与对立事件的定义判断即可.
【详解】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b，
则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：
A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误；
B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB，
两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；
C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，
两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；
D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误.
故选：C.
10．已知事件A与B互斥，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由事件互斥及概率的性质判断各项的正误即可.
【详解】由事件A与B互斥，则，，A错，B对；
由，，故C、D错.
故选：B
11．设，为同一随机试验中的两个随机事件，，的对立事件分别为，，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则事件与互斥
B．若，则事件与一定互斥
C．若，则的值为0.3
D．若事件与相互独立且同时发生的概率为0.4，则
【答案】D
【分析】根据随机事件相互独立，互斥，对立的定义，以及公式，即可判断选项.
【详解】对于A，， ，因为，
则，
所以，即事件与事件不互斥，故A错误；
对于B，，，，
则不一定为0，
事件与事件不一定互斥，故B错误；
对于C，，，，
因为事件与不一定独立，所以不一定成立，故C错误；
对于D，因为与也相互独立，
则，解得，故D正确．
故选：D
二、多选题
12．一个盒子中装有支钢笔，其中支一等品，支二等品，从中不放回的依次随机取出支，则下列说法正确的是（ ）
A．事件“至少有一支一等品”与“至少有一支二等品”是互斥事件
B．事件“至少有一支一等品”与“都是二等品”是对立事件
C．记事件“至多有一支一等品”，事件“两支都是二等品”，则A．
D．记事件“至多有一支一等品”，事件“至多有一支二等品”，则
【答案】BC
【分析】根据题意，由互斥事件与对立事件的定义即可判断AB，由事件的包含关系以及概率的计算即可判断CD.
【详解】当取的是一支一等品和一支二等品时，选择中两事件可同时发生，故A错误；
至少有一支一等品的对立事件是两个都是二等品，故B正确；
至多有一支一等品包含两支都是二等品这种情况，故C正确；
对于D，当事件同时发生时，即取的是一支一等品和一支二等品，，故D错误．
故选:BC．
13．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“记下的点数为3”，事件“记下的点数为偶数”，事件“记下的点数小于3”，事件“记下的点数大于2”，则（ ）
A．事件与互斥B．事件与互斥
C．事件与对立D．事件与对立
【答案】ABD
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.
【详解】依题意骰子面朝上的点数可能为、、、、、共个基本事件，
则事件“记下的点数为偶数”包含、、共个基本事件，
事件“记下的点数小于3” 包含、共个基本事件，
事件“记下的点数大于2”包含、、、共个基本事件，
所以事件与互斥，故A正确；
事件与互斥，故B正确；
事件与不互斥也不对立，故C错误；
事件与互斥且对立，故D正确；
故选：ABD
14．设为两个互斥的事件，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据互斥事件的含义及概率计算公式逐项判定即可.
【详解】因为为两个互斥的事件，且，
所以,即，故A正确，B错误；
因为为两个互斥的事件，不一定为对立事件，所以也不一定为对立事件，
故不一定为1，故C错误；
因为为两个互斥的事件，所以，故D正确，
故选：AD.
15．下列叙述正确的是（ ）
A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
C．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
D．在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率为
【答案】ACD
【分析】由互斥和对立事件的概念可判断A，B；根据概率的基本性质可判断C，D.
【详解】对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，A正确；
对于B选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，B错误；
对于C选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，
则甲不输的概率为，C正确；
对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，
其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，
从而所求概率为，D正确．
故选：ACD．
三、填空题
16．已知事件与事件互斥，若，，那么 .
【答案】0.8
【分析】根据概率的基本性质计算.
【详解】.
故答案为：0.8.
17．已知事件，，两两互斥，若，，，则 ．
【答案】
【分析】先利用互斥事件的概率公式求出，再利用互斥事件的概率公式求解即可.
【详解】因为事件，，两两互斥，
所以，
因为，所以，
又因为，所以，
故答案为：.
18．一个盒子内装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么从盒中摸出1个球，摸出黑球或红球的概率是 ．
【答案】0.75
【分析】根据一个盒子内装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球，白球和黑球的事件两两互斥求解.
【详解】解：因为一个盒子内装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，则从中摸出1个球，
摸出红球，白球和黑球的事件两两互斥，
又摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
所以摸出黑球的概率是，
所以从盒中摸出1个球，摸出黑球或红球的概率是，
故答案为：.
19．已知事件与事件互斥，如果，，那么 .
【答案】
【分析】根据互斥得到，计算，得到答案.
【详解】事件与事件互斥，则，，
故.
故答案为：.
20．已知是随机事件，则“”是“与互斥而不对立”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可结合必要不充分条件求解.
【详解】由不能得到与互斥而不对立，
若与互斥而不对立，则，
所以“”是“与互斥而不对立”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分
21．设为三个随机事件，若A与是互斥事件，与是相互对立事件，且，则 .
【答案】
【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值.
【详解】由与是对立事件，可得
由与是互斥事件，可得.故答案为：
22．社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为，则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为 ．
【答案】
【分析】根据两人是否完成任务之间是相互独立，结合独立事件和对立事件的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意知，两人能完成该项任务的概率分别为，且两人是否完成任务是相互独立的，
可得两人都未完成任务的概率为,
则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为.故答案为：.
题型四 古典概型
策略方法 用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下：
①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型．
②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数．
③求值，代入公式P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)求值．
【典例1】（单选题）从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生的概率为（ ）
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
【答案】A
【分析】5人中任选2人，基本事件共10种，其中2人中恰有一名男生占6种基本事件，可求概率.
【详解】设2名男同学为，3名女同学为，
从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，
选中的2人恰好是一男一女的情况共有共6种可能
则选中的2人恰好是一男一女的概率为0.6，
故选：A.
【典例2】（单选题）书籍是人类进步的阶梯，数学名著更是如此，《九章算术》《孙子算经》《周髀算经》《海岛算经》是我国古代数学领域影响深远的四部著作，而《几何原本》《阿基米德全集》《圆锥曲线论》被称为“古希腊三大数学书”，代表了文艺复兴之前欧洲数学的最高成就，这些著作对后世的数学发展有着深远而广泛的影响．现从这七本名著中任选三本，则至少两本是中国数学名著的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题以中外数学名著为背景，根据组合知识、古典概型的概率求解.
【详解】从七本名著中任选三本的所有情况有（种），至少两本是中国数学名著的情况有（种），
所以从这七本名著中任选三本，至少两本是中国数学名著的概率为，．
故选：C．
【题型训练Ⅰ-简单的古典概型问题】
一、单选题
1．某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概型计算即可.
【详解】由题意可知甲乙两人抽取主题的情况有种，相同的情况有6种，
所以其概率为.
故选：D
2．某对新婚夫妇响应国家号召，计划生育3个孩子，若每胎只有一个孩子，且每胎生男生女的概率相同，记事件A为“3个孩子中有男有女”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】利用对立事件性质和列举法求解古典概型概率问题.
【分析】由题意可知，所有不同情况的总数为，
A的对立事件为“3个孩子全是男孩或者全是女孩”，有2种情况，
故．
故选：D．
3．从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，能构成三角形的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先罗列出能构成三角形的情况，再应用排列组合得到所有的情况，最后计算概率即可.
【详解】能构成三角形的组合有三种，
一共有种情况，所以能构成三角形的概率为，
故选：A
4．从2，3，5，7这四个数中随机地取2个不同的数相乘，其结果能被10整除的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由符合条件的事件除以基本事件总数即可求出.
【详解】从2，3，5，7这四个数中随机地取2个不同的数相乘基本事件总数有，其结果能被10整除的只能是取
故所求概率为，
故选：A．
5．为纪念12.9运动，高一（5）班需要从班级朗诵队里的4名男生和2名女生中随机选取两名，代表班级参加朗诵比赛，则恰好选取一名男生和一名女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据古典概型列举基本事件总数，及恰好选取一名男生和一名女生的事件总是，从而可得概率.
【详解】记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b，从中选择两名为：
AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15个基本事件，
其中恰好选取一名男生和一名女生有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db共8种，
所以概率为.
故选：C.
6．“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．将“仁、义、礼”排成一排，其中“义”不在首位的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用列举法及古典概型即可求解.
【详解】将“仁、义、礼”排成一排的所有可能有：仁义礼；仁礼义；义仁礼；义礼仁；礼仁义；礼义仁.共6种可能；
“义”不在首位：仁义礼；仁礼义；礼仁义；礼义仁，有4种可能.
由古典概型得，“义”不在首位的概率为.
故选：B
7．袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中1个红球、1个黄球、2个蓝球．从中任取2个小球，则这两个小球的颜色不同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据古典概型求概率，先求颜色相同概率，再用1减去颜色相同概率即得到颜色不同概率.
【详解】总的基本事件有6个，这两个小球的颜色相同的情况只有1种，
所以这两个小球的颜色相同的概率为，故这两个小球的颜色不同的概率为．
故选：D.
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过15的素数（素数是指在大于1的自然数中，除了1和自身外没有其他因数的自然数）中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用组合数求出从不超过15的素数中随机取两个不同取法，再确定和等于16的情况数，应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】不超过15的素数有，随机取两个不同取法有种，
其中和等于16的情况有或两种情况，
所以随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是.
故选：C
9．甲、乙两位同学将高一6次物理测试成绩（成绩为整数，满分为100分）记录如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损．
则甲同学的平均成绩高于乙同学平均成绩的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先计算平均值，再结合古典概型公式计算即可.
【详解】由题意可得，
设被污损的数字为，则．
满足题意时，，即，即可能的取值为，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值．
故选：B．
10．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有4，5，6，7四个数字，这些小球除数字外都相同．小红、小明两人玩“猜数字”游戏，小红先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由小明猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称小红、小明两人“心心相印”，则两人“心心相印”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先算出样本空间包含的样本点数，再求出两人“心心相印”的包含的样本点数，相比即可求出概率.
【详解】样本空间包含的样本点数为，
m，n满足，那么就称小红、小明两人“心心相印”
当时，当时，
当时，当时，
则小红、小明两人“心心相印”事件包含了个样本点，
两人“心心相印”的概率是，
故选：D
11．某大学为了了解学生课外图书阅读量的情况，从大二学生中抽取50名，统计他们今年上半年阅读的书籍数量，发现读书不低于6本的人数占，不低于8本的人数占.现从读书不低于6本的学生中随机地选取2名进行座谈，则这2名学生1名读书低于8本且不低于6本，1名读书不低于8本的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意求得读书本数对应的学生人数，再利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解.
【详解】读书低于8本且不低于6本的人数为，分别记作，
不低于8本的人数为，分别记作，
则从中选出2名学生的基本事件为：，共15件，
其中1名读书低于8本且不低于6本，1名读书不低于8本的基本事件有，共8件，
则所求概率为.
故选：B.
12．某中学团委为庆祝“五四”青年节，举行了以“弘‘五四’精神，扬青春风采”为主题的文艺汇演，初中部推荐了2位主持人，高中部推荐了4位主持人，现从这6位主持人中随机选2位主持文艺汇演，则选中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可列举出从6位主持人中随机选2位主持文艺汇演的所有组合情况，再挑选出符合题意的情况，利用概率计算公式即可得其概率为.
【详解】设初中部的2位主持人分别为，高中部的4位主持人分别为1，2，3，4，
则从这6位主持人中随机选2位，共有15种不同的选法，
分别是，，，，，，，，，，，，，，，
选中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人有8种不同的选法，
分别是，，
故所求概率为，
故选：D．
13．若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用古典概型及直线方程计算即可.
【详解】由题意可知抛掷两次骰子得出的点数有，
共36种结果，即点有36个.
而满足在上的有3种，故其概率为.
故选：C
14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互为对立事件B．
C．D．事件B与事件C相互不独立
【答案】C
【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求、判断B、C；根据独立事件的判定判断D.
【详解】由事件定义，事件A与事件B可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
事件B的样本点为共18种，
事件C的样本点为共有12种，
事件的样本点为共6种，
所以，B错误；，C正确；
因为，所以事件B与事件C相互独立，D错误．
故选：C
二、多选题
15．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（ ）
A．取出的两个球上标号为不同数字的概率为
B．取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
C．取出的两个球上标号为相同数字的概率为
D．甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
【答案】BCD
【分析】利用古典概率模型求解.
【详解】由题，样本空间为，共9个样本点，
对A，取出的两个球上标号为不同数字的概率为，A错误；
对B，取出的两个球上标号之积能被3整除的样本点有共5个，所以概率为，B正确；
对C，取出的两个球上标号为相同数字的概率为，C正确；
对D，甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的基本事件有共3个，
所以甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率，D正确；
故选:BCD.
16．一个盒子装有标号的5张标签，则（ ）
A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为
B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为
D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
【答案】AD
【分析】根据题意，利用古典摡型的概率计算公式，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，有放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中标号相等的取法有种，所以概率为，所以A正确；
对于B中，有放回的随机选取两张标签，，有种取法，
其中第一次标号大于第二次的取法有种，所以概率为，所以B不正确；
对于C中，无放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中标号之和为5的有种取法，所以概率为，所以C不正确；
对于D中，无放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中第一次标号大于第二次有种，所以概率为，所以D正确；
故选：AD.
三、填空题
17．从甲、乙等5名同学中随机选择3名参加志愿者活动，则甲、乙两人中恰有一人参加的概率为 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，将其余3名同学分别记作丙、丁、戊，
从中选出3名同学参加活动，所有的情况为（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，
其中甲、乙两人中恰有一人参加活动的情况为（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），共6种，
所以甲、乙两人中恰有一人参加的概率为．
故答案为：.
18．在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了20组随机数：
由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】在20组数中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138满足要求，共10个，由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为．
故答案为：
19．某对新婚夫妇响应国家号召，计划生育3个孩子．假设每胎只有一个小孩，且每胎生男生女的概率相等，记事件为“该夫妇儿女双全”，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，结合对立事件的概念，即可求解.
【详解】由题意知，基本事件为：{男男男}，{男男女}，{男女男}，{女男男}，{女女男}，{女男女}，{男女女}，{女女女}，共8种情况，
其中的对立事件为“该夫妇的3个孩子全是男孩或者全是女孩”，有{男男男}，{女女女}，共2种情况，所以概率为．
故答案为：.
20．根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为 ．
纵式：
横式：
【答案】
【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹不一样多的两位数，利用古典概率公式计算即可.
【详解】用算筹随机摆出一个不含数字的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出个两位数，
其中个位和十位上的算筹都为的有种；
个位和十位上的算筹都为的有种；
个位和十位上的算筹都为的有种；
个位和十位上的算筹都为的有种；
个位和十位上的算筹都为的有种；
共有种；
所以，个位和十位上算筹不一样多的概率为种；
故答案为：
21．2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲､乙､丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐3辆车，沪昆高速杭州入口有共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数，再求出3个窗口各有1辆车在等候的事件含有的基本事件数，利用古典概率公式计算得解.
【详解】该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数为，
3个窗口各有1辆车在等候的事件含有个基本事件，
所以每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为.
故答案为：
22．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为6的概率是 ．
【答案】
【分析】基本事件总数，利用穷举法得到向上的点数之和等于6包含的基本事件有5个，由此能求出出现向上的点数之和等于6的概率．
【详解】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，
基本事件总数，
出现向上的点数之和等于6包含的基本事件有：
，共5个，
∴出现向上的点数之和等于6的概率为．故答案为：．
【题型训练Ⅱ-与排列组合结合】
一、单选题
1．口袋中有5个白球，3个红球和2个黄球，小球除颜色不同，大小形状均完全相同，现从中随机摸出2个小球，摸出的2个小球恰好颜色相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据古典概型求概率的公式计算.
【详解】所求概率.
故选：A.
2．江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用组合数求出所有可能情况数，应用古典概型的概率求法、对立事件概率求法求概率即可.
【详解】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有种情况，
至少选一个苏州古镇的概率为．
故选：C
3．第19届亚运会的样物由“琮琮”“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个同类吉举物完全相同，无区别，若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将挂件两两一组看成6个个体，先求出分个3位同学的种数，再求出有一位同学得到同类吉祥物挂件的种数，即可求解.
【详解】令6个挂件分别是，
则把这6个挂件分给3位同学，共有种情况，
恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的有种，
恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是故选:B.
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一个大于的偶数都可以写成两个素数的和”，如.在不超过的素数中，随机选取个不同的数，其和等于的概率是(注：若一个大于的整数除了和它本身外无其他因数，则称这个整数为素数)（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】列举出不超过的素数，可确定总体基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】不超过的素数有：，，，，，，，，，，，，共个，
从中随机选取个不同的数，共有个基本事件；
其中两个素数和为的情况有，，，共个基本事件；
所求概率.
故选：C.
5．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选6只小白鼠，随机地将其中3只分配到试验组且饲养在高浓度臭氧环境，另外3只分配到对照组且饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：）.则指定的两只小鼠分配到不同组的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】应用组合数及古典概型的概率求法求两只小鼠分配到相同组的概率，再由对立事件的概率求法求目标概率.
【详解】指定的两只小鼠分配到相同组的概率为，
所以指定的两只小鼠分配到不同组的概率为.
故选：D
6．书籍是人类进步的阶梯，数学名著更是如此，《九章算术》《孙子算经》《周髀算经》《海岛算经》是我国古代数学领域影响深远的四部著作，而《几何原本》《阿基米德全集》《圆锥曲线论》被称为“古希腊三大数学书”，代表了文艺复兴之前欧洲数学的最高成就，这些著作对后世的数学发展有着深远而广泛的影响．现从这七本名著中任选三本，则至少两本是中国数学名著的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题以中外数学名著为背景，根据组合知识、古典概型的概率求解.
【详解】从七本名著中任选三本的所有情况有（种），至少两本是中国数学名著的情况有（种），
所以从这七本名著中任选三本，至少两本是中国数学名著的概率为，．
故选：C．
7．某选拔性考试需要考查4个学科（语文、数学、物理、政治），则这4个学科不同的考试顺序中物理考试与数学考试不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用全排列与插空法分别求得所需要考试顺序种类，再利用古典概型即可得解.
【详解】这4个学科不同的考试顺序有种，
先安排语文、政治形成3个空隙，再将数学、物理插入到其中2个空隙中，
则物理考试与数学考试不相邻的考试顺序共有种，
所以所求概率为.
故选：B.
8．将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区做环保宣传，每个志愿者只能去其中一个社区且每个社区只能安排一名志愿者，则甲不被分到A社区的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区的所有情况，以及甲不被分到A社区的情况，求出概率.
【详解】甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区，共有种情况，
其中甲不被分到A社区，则从乙、丙、丁中选择一个分到A社区，
剩余3人分配到3个社区，故共有种情况，
故甲不被分到A社区的概率是．
故选：C
9．将，，，，共5名同学从左到右随机排成一排，则与之间恰好有1名同学的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出基本事件总数，再确定“与之间恰好有1名同学”包含的基本事件个数，由此能求出“与之间恰好有1名同学”的概率．
【详解】将，，，，这5名同学从左至右随机地排成一排，
基本事件总数为：，
则符合“与之间恰好有1名同学”的事件总为：
故与之间恰好有1名同学的概率为.
故选：C.
10．2023年6月25日19时，随着最后一场比赛终场哨声响起，历时17天的．2023年凉山州首届“火洛杯”禁毒防艾男子篮球联赛决赛冠军争夺赛在凉山民族体育馆内圆满闭幕，为进一步展现凉山男儿的精神风貌主办方设置一场扣篮表演，分别由西昌市、冕宁县、布拖县、昭觉县4个代表队每队各派1名球员参加扣篮表演，则西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用分步计数及组合排列数求西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的情况数，再应用全排列求4个代表队任意排的情况数，应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】由题意，西昌代表队队员在第二、三位选一个位置有种，
其它三个代表队在剩下三个位置上作全排有种，
所以西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位共有种情况；
而4个代表队任意排有种，
所以西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的概率为.
故选：A
11．三位同学参加某项体育测试，每人要从跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出三个同学选择两个项目的试验的基本事件数，再求出有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数，即可列式作答.
【详解】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有个，它们等可能，
有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数有个，
所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率.
故选：C
12．五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合组合计数知识，由分类与分步计数原理分别计算样本空间与事件包含的样本点个数，再应用古典概型概率公式求解即可.
【详解】由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.
该旅游博主游览五岳可分两类方法：
第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有种方法；
第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有种方法；
由分类计数原理可得，共有种方法.
设“该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件事：
第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有种方法；
第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：
若该月只游览两大名山，则只有种方法；
若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有种方法，
则第二步共有种方法；
由分步计数原理，则完成事件共有种方法.
由古典概型概率公式得.
故选：C.
13．2025年四川省新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．假若今年高一的小明与小芳都对所选课程没有偏好，则他们所选六科中恰有四科相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先得到两人所选六科的情况数，再分两种情况，求出所选六科中恰有四科相同的情况数，计算出概率.
【详解】两人所选六科的情况共有种情况，
由于语文数学英语必选，故所选六科中恰有四科相同的情况，包含以下情况，
第一，物理历史有一科相同，政治地理化学生物不相同，
先得到小明选课情况数，即种情况，则小芳的选择也就确定了，
故此时共有种情况，
第二，物理历史不相同，政治地理化学生物有一科相同，
先得到小明选课情况数，即种情况，则小芳从小明选择的四选二科目中选择一个，
再从小明没有选择的四选二科目中选择一个，故有种情况，
故此时共有种情况，
故们所选六科中恰有四科相同的概率是.
故选：B
二、填空题
14．一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出个球，那么两次取到的球颜色相同的概率为
【答案】
【分析】利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出个球，
那么两次取到的球颜色相同的概率为.
故答案为：.
15．据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之．”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．现从3名男生和2名女生中任选3人参加围棋比赛，则所选3人中至多有1名女生的概率为 ．
【答案】
【分析】利用组合的知识结合古典概型的概率公式可解.
【详解】从5人中任选3人，一共有种选法．
所选3人中至多有1名女生的情况有以下两种：3人全都是男生，有种选法；3人中有2名男生1名女生，有种选法．则所选3人中至多有1名女生的概率,
故答案为：.
16．2023年8月，某志愿者团队从，，，，，这6名志愿者中随机选取4名志愿者去河北参加抗洪抢险，则，，中至少有2人被选中的概率为 .
【答案】
【分析】利用组合应用求出试验的基本事件总数以及指定3人中至少选中2人的事件含有的基本事件数，再利用古典概率列式计算即得.
【详解】依题意，从6名志愿者中随机选取4名的试验有个基本事件，
，，中至少有2人被选中的事件有个基本事件，
所以，，中至少有2人被选中的概率为.
故答案为：
17．2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲､乙､丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐3辆车，沪昆高速杭州入口有共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数，再求出3个窗口各有1辆车在等候的事件含有的基本事件数，利用古典概率公式计算得解.
【详解】该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数为，
3个窗口各有1辆车在等候的事件含有个基本事件，
所以每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为.
故答案为：
18．某工厂生产、两种型号的不同产品，产品数量之比为.现用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本，则其中种型号的产品有件，现从样本中抽出两件产品，此时含有型号产品的概率为 .
【答案】
【分析】首先求出样本中种型号的产品数量，再由组合数公式及古典概型的概率公式计算可得.
【详解】依题意样本中种型号的产品有件，
现从样本中抽出两件产品共有种取法，其中含有型号产品的有种取法，
所以含有型号产品的概率.
故答案为：
19．将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为 ．
【答案】
【分析】根先将四人平均分成两组，再安排服务工作共有种，再根据全排求甲、乙安排一起服务的种数，结合古典概型即可求解.
【详解】将四人分成两人两组共有种，
再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有种，
又甲、乙安排在一起共有种，
所以甲、乙安排在一起的概率为，
故答案为：.
20．在某道选词填空题中，共有4个空格、5个不同的备选单词，其中每个空格只有一个正确答案（备选单词中有一个是多余的），若随机从备选单词中选4个不同的单词分别填入空格中，则恰答对3个空格的概率是 ．
【答案】
【分析】由古典概型的概率计算公式可得.
【详解】由题意得，样本空间包含的样本点个数为，且每个样本点都是等可能的；
记事件“恰答对3个空格”，则；
由古典概型的概率计算公式得，.
则恰答对3个空格的概率是.
故答案为：.
21．国家鼓励中小学校开展课后服务，某中学为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、舞蹈社团、朗诵社团分别还可以接收1名学生，恰好甲、乙、丙、丁4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进朗诵社团，乙进书法社团或舞蹈社团的概率为 .
【答案】
【分析】先利用排列计算出总的种数，再计算出甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的种数，最后代入古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有种，
其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有种，
由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为，
故答案为：.
22．云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动.在活动期间，有6名志愿者报名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为 .
【答案】
【分析】先根据全排列求出所有的基本事件个数，然后利用特殊元素优先考虑结合相邻元素捆绑法求解满足题意的基本事件个数，利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】6名志愿者排成一排合影共有中排法，
而乙、丙志愿者相邻，甲志愿者不在两边的排法有种排法，
故甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为.
故答案为：
①随机事件关系与运算
②频率与概率
③互斥事件与对立事件
④古典概型Ⅰ-简单的古典概型问题
⑤古典概型Ⅱ-与排列组合结合
顾客年龄（岁）
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
5
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
13
27
12
1
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
124
174
366
命中的频率
0.68
0.62
0.58
0.61
顾客年龄（岁）
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
13
27
9
0
其他支付方式人数
0
0
2
9
5
5
1
四面体的面
1
2
3
4
频数
44
36
42
78
序号
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.5
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
125
176
369
命中的频率
0.68
0.625
0.587
0.615
334
221
433
551
454
452
315
142
331
423
212
541
121
451
231
414
312
552
324
115
分组
频数
频率
10
0.10
20
0.20
50
0.50
20
0.20
合计
100
1.00
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
甲
95
87
88
92
93
85
乙
85
86
86
99
9
88
6830
3215
7056
6431
7840
4523
7834
2604
5346
0952
6837
9816
5734
4725
6578
5924
9768
6051
9138
6754
题型目录一览
一、知识点梳理
一、随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示．
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
1.试验可以在相同条件下重复进行；
2.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
3.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
二、样本空间
我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．
三、随机事件和确定事件
1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．
2.作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．
3.空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件．
4.确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．
四、事件的关系与运算
①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：
不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件．
②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：
④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：
五、互斥事件与对立事件
1.互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示：
如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．
2.对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．
3.互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
六、概率与频率
1.频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．
2.概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．
3.概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．
七、随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示.
八、古典概型
1.定义：一般地，若试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
注：（1）解决古典概型的问题要注意清楚以下三个方面
①本试验是否具有等可能性；
②本试验的基本事件有多少个；
③事件是什么．
（2）一般解题步骤：
①仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
②判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；
③分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；
④利用公式求出事件的概率．
九、概率的基本性质
1.对于任意事件都有：．
2.必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．
3.概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．
推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．
4.对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．
5.若，是一次随机实验中的两个事件，则．
二、题型分类精讲
题型一 随机事件关系与运算
【典例1】连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件{两次出现的点数相同}，事件{两次出现的点数之和为4}，事件{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件{两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件，；
(2)若事件，则事件E与已知事件是什么运算关系？
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由随机事件，求出样本点，然后求解即可；
（2）由事件E，结合已知事件A、B、C、D求解即可.
【详解】（1）由题意得，事件，
事件，
事件，
事件.
则，；
（2）由（1）知，事件，，
因为，
所以.
【题型训练】
一、单选题
1．已知，，如果，那么（ ）
A．0.18B．0.42C．0.6D．0.7
【答案】C
【分析】结合事件的包含关系以及概率的知识求得答案.
【详解】由于，所以.
故选：C.
2．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.3，是不可能事件的概率为0.1，则这10个事件中具有随机性的事件的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】计算出必然事件和不可能事件的个数，用事件总数减去它们之和即得答案.
【详解】这10个事件中必然事件的个数为，不可能事件的个数为，
所以具有随机性的事件的个数为．
故选：B
3．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有( )
A．B．C． D．与之间没有关系
【答案】C
【分析】根据题意，结合列举法求得事件和事件，进而得到两事件的关系，得到答案.
【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，
其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，
所以.
故选：C.
4．抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数为大于2小于5”，“点数为偶数”，则表示的事件为（ ）
A．“点数为4”B．“点数为3或4”
C．“点数为偶数”D．“点数为大于2小于5”
【答案】A
【分析】先分别求得事件所包含的基本事件，进而求得表示的事件.
【详解】“点数为大于2小于”,
“点数为偶数”,则,
故表示的事件为“点数为4”.
故选：A
5．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A＋B和AB包含的样本点数分别为（ ）
A．1；6B．4；2C．5；1D．6；1
【答案】C
【分析】先求出试验E的样本空间，事件A＋B和AB中所含的样本点，即可求出答案.
【详解】试验E的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}．
其中事件A中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个；
事件B中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2个．
所以事件A＋B中所含的样本点为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个；
事件AB中所含的样本点为（2，4），共1个．
故选：C．
6．若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现金支付的概率为（ ）
A．0.10B．0.15C．0.40D．0.45
【答案】B
【分析】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则为即用现金支付也用非现金支付，.
【详解】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则为即用现金支付也用非现金支付，
则，，则，.
故选：B.
7．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可.
【详解】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，
则样本空间.
由题意得，，，，
则，，且.即ABC都正确；
又，.
.故D不正确.
故选：D.
8．A,B两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“元件正常”，“B元件正常”，用分别表示A,B两个元件的状态，用表示这个串联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效.下列说法正确的个数是（ ）
①样本空间； ②事件；
③事件“电路是断路”可以用（或）表示；
④事件“电路是通路”可以用（或）表示，共包含3样本点.
A．0B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据事件的定义确定样本点，判断各个命题．
【详解】因为分别取值0和1，因此的取值为，①正确；
事件中，而任取，因此②正确；
事件“电路是断路”中，至少有一个取0，因此事件“电路是断路”，
，，，从而“电路是断路”可表示为，③错；
事件“电路是通路”中，两个都取1，因此事件“电路是通路”，
，从而“电路是通路”可表示为，其中只有一个样本点，④错．
正确的个数是2，
故选：B．
二、填空题
9．从装有个红球和个白球的口袋内任取个球观察颜色．设事件为“所取两个球至少有一个白球”，事件为“所取两个恰有一个红球”，则表示的事件为 ．
【答案】恰有一个红球
【分析】用列举法列出样本空间、、，即可求出.
【详解】因为从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，
这一随机试验的样本空间白、白，白、红，红、红，
且白、红，白、白，白，红，
所以白、红，故表示的事件为恰有一个红球．
故答案为：恰有一个红球
10．打靶3次，事件“击中发”，其中．那么表示 ．
【答案】至少击中1发
【分析】根据和事件的定义判断.
【详解】根据并事件的定义可知，表示至少有一个发生，
所以表示至少击中1发.
故答案为：至少击中1发.
11．已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且，，，则 .
【答案】0.8
【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可.
【详解】由.
故答案为：0.8
12．、两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“元件正常”，“元件正常”，用、分别表示、两个元件的状态，用表示这个串联电路的状态.以表示元件正常，表示元件失效.下列说法正确的是 .
①样本空间；
②事件；
③事件“电路是断路”可以用（或）表示；
④事件“电路是通路”可以用（或）表示，共包含个样本点.
【答案】①②
【分析】列举出所有的基本事件，可判断①；列举出事件包含的基本事件，可判断②；分析事件“电路是断路”，然后用事件加以表示，可判断③；分析事件“电路是通路”，然后用事件加以表示，可判断④.
【详解】对于①，样本空间，①对；
对于②，事件包含两种情况，元件不正常且元件正常，元件正常且元件正常，
故事件，②对；
对于③，“电路是断路”，说明元件和元件至少有一个不正常，
即事件“电路是断路”可以用（或）表示，③错；
对于④，“电路是通路”，说明两个元件都正常，
所以，事件“电路是通路”可以用（或）表示，④错.
故答案为：①②.
13．根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同时及格的概率为0.75，则至少有一科及格的概率为 .
【答案】0.95
【分析】根据概率的基本性质中和事件的概率公式代入数据即可.
【详解】设“小张语文成绩及格”，“小张数学成绩及格”，
则“语文和数学同时及格”，“语文数学两科至少有一科及格”，
由已知得，，，，
代入和事件概率公式得，
.
故答案为：0.95.
题型二 频率与概率
策略方法
1．概率与频率的关系
频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
【典例1】（单选题）手机支付已经成为人们常用的付费方式，某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下，
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求相应的频率，用频率估计概率.
【详解】由题意可知：该顾客年龄在内且未使用手机支付的频率为，
用频率估计概率，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药．结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人．如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合频率与概率之间的关系运算求解.
【详解】由题意可知：体重减轻的频率为，
用频率估计概率可知：体重减轻的概率为.
故选：A.
2．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为，经调查，某市市场上的食用油大约有个品牌，则不合格的食用油品牌大约有（ ）
A．个B．个
C．个D．个
【答案】C
【分析】先求出市场上食用油不合格率，再根据频数样本容量频率可得结果.
【详解】因为市场上食用油合格率为，所以市场上食用油不合格率为，
又市场上的食用油大约有个品牌，所以不合格的食用油品牌大约有个.
故选：C
3．天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用频率和概率的关系得到答案.
【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个，
故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为.
故选：B
4．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（ ）
A．0.58B．0.61C．0.62D．0.68
【答案】B
【分析】利用频率和概率的关系求解即可.
【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，
所以合计列对应的频率最为合适.
故选：B.
5．对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题：抽到红球，则回答问题，且箱子中只有白球和红球．
问题：你的生日的月份是否为偶数?（假设生日的月份为偶数的概率为）
问题：你是否有在校使用手机?
已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球个，红球个，调查结束后共收到张有效答卷，其中有张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是（精确到）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】计算出回答问题的学生人数，以及回答问题回答“是”的学生人数，进而可求得该校学生有在校使用手机的概率.
【详解】由题意可知，回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为，
回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为，
因此，估计该校学生有在校使用手机的概率是.
故选：B.
6．手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机抽取1人，则该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，算出100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的的人数，结合古典概型的概率公式，进而可以得到未使用手机支付的概率.
【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在内且未使用手机支付的共有（人），
所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.
故选：D.
7．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是.
其中正确命题有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断．
【详解】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值，
一批产品次品率为0.05，则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，①错误；
对于②，100次并不是无穷多次，只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故②错误；
对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误；
对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值，
抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，④正确.
故选：D.
8．一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球，某班分成20个小组进行随机摸球试验，每组各做50次，每次有放回地摸1个球并记录颜色．统计共摸到红球619次，则袋中红球的个数最有可能为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】B
【分析】根据频率与概率之间的关系即可列式子求解.
【详解】设红球的个数为，由题意可知：，
所以红球的个数最可能是5个，
故选：B
9．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如下表）．下列说法正确的是（ ）
A．该四面体一定不是均匀的B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72
C．再抛掷一次，标记4的面落地D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2
【答案】D
【分析】根据频率和概率的关系分析每个选项.
【详解】A选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，A选项错误；
BCD选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为，即，
B选项中所估计的概率和频率差别过大，
C选项认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为，但频率只有，因此不能认为必然发生，BC选项错误；
D选项，标记3的面落地概率估计是，和实验频率非常接近，D选项正确.
故选：D
二、多选题
10．利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表：
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越多越好
C．随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
【答案】ABC
【分析】根据题中统计数表中的数据变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A选项：根据表中数据得到试验次数相同时，频率可能不同，则说明随机事件发生的频率具有随机性，所以A选项正确；
对于B选项：分别对比每个序号重复试验次数分别为20，100，500的频率可得试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，则试验次数越多越好，所以B选项正确；
对于C选项：根据表中数据得到随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近，所以C选项正确；
对于D选项：我们要想得到某事件发生的概率，需要进行多次重复试验才能得到概率的估计值，所以D选项错误；
故选：ABC.
11．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下面的统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
根据表中数据，下列结论中正确的有（ ）
A．顾客购买乙商品的概率最大
B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2
【答案】BCD
【分析】根据统计表逐项分析可得答案.
【详解】对于A，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误；
对于B，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为，故B正确；
对于C，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为，故C正确；
对于D，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为，故D正确．
故选：BCD．
12．小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了次，每次朝上的点数都是，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是的概率和频率均为
B．若抛掷次，则朝上的点数是的频率约为
C．抛掷第次，朝上的点数一定不是
D．抛掷次，朝上的点数为的次数大约为次
【答案】BD
【分析】根据频率和概率的定义，一次判断选项即可．
【详解】对选项A，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为，故A错误；
对选项B，因为频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，
频率逐渐趋向于概率的值，而抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为，
故B正确；
对选项C，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为，
所以抛掷第次，朝上点数可能是，也可能不是，故C错误；
对选项D，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为，
抛掷次，频率接近，频数大约为次，故D正确.
故选：BD
三、填空题
13．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示．
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是 ．
【答案】
【分析】根据试验中频率与概率的关系，即可求解.
【详解】由题意知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差就越小.
所以使误差较小的可能性大的估计值是.
故答案为：.
14．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数：
据此估计甲获得冠军的概率为 .
【答案】
【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率.
【详解】20组数据中，共13组数据表示甲获得冠军，
故估计甲获得冠军的概率为.
故答案为：
15．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人．
【答案】
【分析】求出在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，即可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数.
【详解】由题意，在随机抽取的50人中，持反对态度的有36人，
故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有.
故答案为：.
16．某事件的概率是，下列说法正确的是 ．
（1）发生的可能性是；
（2）在10000个试验中，事件发生9700次；
（3）随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动．
【答案】（1）（3）
【分析】根据频率和概率的定义，依次判断即可．
【详解】事件的概率是，发生的可能性是，（1）正确；
通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则在10000个试验中，应该事件发生9700次左右，不一定发生9700次，（2）错误；
因为频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，
频率逐渐趋向于概率的值，随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动．（3）正确；
故答案为：（1）（3）.
17．某制造商今年月份生产了一批乒乓球，随机抽取个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：mm），将数据分组如下：
若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为，则这批乒乓球的直径误差不超过的概率是 ．
【答案】
【分析】根据表格提供数据以及概率、频率的知识求得正确答案.
【详解】标准尺寸是，并且误差不超过，即直径需落在[39.97，40.03]范围内．
由频率分布表知，频率为，
所以直径误差不超过的概率约为.
故答案为：
18．为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人（学号从1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是 .
【答案】132
【分析】在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，由此可知第一个问题被问到600次，在被问到的600人中300人学号是奇数，比300人多出来的人数就是闯过红灯的人数，可以求出该组样本的频率，最后利用样本频率估计总体的方法即可求解.
【详解】被调查的1200人中，在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，
所以第一个问题可能被问600次，因为被问的600人中有300人学号是奇数，而有366人回答了“是”，
所以估计有66人闯过红灯，在600人中有66人闯过红灯，频率为，
用样本频率估计总体，从而估计这1200人中闯过红灯的人数为人.
故答案为：132.
题型三 互斥事件与对立事件
策略方法
1.判断互斥、对立事件的两种方法
(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2.复杂事件的概率的两种求法
(1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便．
【典例1】（单选题）2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中国广西大寨村和重庆荆竹村成功入选．辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客．小明准备利用假期从中选一个乡村游玩，记事件：小明选大寨村，事件：小明选荆竹村，事件：小明选绿江村．已知，，则＝（ ）
A．0.12B．0.18C．0.7D．0.9
【答案】C
【分析】利用互斥事件与对立事件的概率公式即可得解.
【详解】由题意，得事件，，为互斥事件，
所以，则.
故选：C．
【题型训练】
一、单选题
1．在试验“抛掷两枚质地均匀的硬币”中，事件A= “至少有一枚硬币正面朝上”，事件 “两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（ ）
A．A与B互斥B．A与C对立
C．B与C不互斥D．B与C对立
【答案】B
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断.
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有正反；正正；反正；反反，共4种情况，
其中满足事件的共有正反，反正和正正；满足事件的是正正一种情况，
满足事件的是反反一种情况，
对A，则显然事件和事件可能同时发生，即正正这种情况，故A错误；
对B，事件为事件为互斥事件，且两者构成了所有的发生情况，即必有一个发生，则A与C对立，故B正确；
对C，事件与事件显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故C错误；
对D，事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故D错误.
故选：B.
2．某超市举行有奖促销活动，活动中设置一等奖、二等奖、幸运奖三个奖项，其中中幸运奖的概率为0.3，中二等奖的概率为0.2，不中奖的概率为0.38，则中一等奖的概率为（ ）
A．0.16B．0.22C．0.12D．0.1
【答案】C
【分析】根据事件间的关系，利用概率公式，可得答案.
【详解】由于奖项一等奖、二等奖，幸运奖和不中奖四个事件是相互互斥的，
且构成事件为必然事件，故中一等奖的概率为．
故选：C.
3．在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（ ）
①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”；
②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”；
③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；
④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果.
【详解】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件．
∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件．
∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件，
∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件，
故选：B．
4．下列叙述正确的是（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一定越来越接近一个确定数值
B．若随机事件A发生的概率为，则
C．若事件A与事件B互斥，则
D．若事件A与事件B对立，则
【答案】D
【分析】选项A，事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，并非越来越接近；选项B， ；选项C. 事件A与事件B互斥，；选项D，对立事件的概率和为1.
【详解】选项A，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小，
即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，并不一定越来越接近这个确定数值，故A不正确；
选项B，样本空间Ω的子集称为随机事件，
必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，
必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，即，故B不正确；
选项C. 若事件A与事件B互斥，则它们不可能同时发生，即发生则一定不发生，
所以，则，
则有，不一定与相等，故C不正确；
选项D. 若事件A与事件B对立，则为必然事件，且事件A与事件B互斥，则，故D正确.
故选：D.
5．在一个不透明的盒子中，放有除颜色外完全相同的2个白球和3个红球，摇匀后，从中任意取出两个球，下列说法与“取出的两个球都是白球”是互斥但不是对立的事件是（ ）
A．取出两球同色B．取出的两球异色
C．取出的两球至少有一个红球D．取出的两球至少一个白球
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐项判断即可得解.
【详解】记事件“取出的两个球都是白球”，事件“取出的两个球是1个白球和1个红球”，事件“取出的两个球都是红球”，
可知事件两两互斥，且样本空间，
对于选项A：因为“取出两球同色”，
即事件“取出两球同色”与“取出的两个球都是白球”不互斥，故A错误；
对于选项B：因为“取出的两球异色”，即事件互斥且不对立，故B正确；
对于选项C：因为“取出的两球至少有一个红球”，
可知事件A与事件为对立事件，故C错误；
对于选项D：因为“取出的两球至少一个白球”，
即事件“取出的两球至少一个白球”与“取出的两个球都是白球”不互斥，故D错误；
故选：B.
6．已知随机事件A和B互斥，且，则等于（ ）
A．0.8B．0.7C．0.5D．0.2
【答案】C
【分析】利用互斥事件加法公式和对立事件概率公式计算即可.
【详解】因为随机事件A和B互斥，且，
所以，所以.
故选：C.
7．已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ）
A．0.8B．0.7C．0.6D．0.5
【答案】B
【分析】利用互斥事件性质以及已知数据代入公式计算即可求得，再由对立事件性质可得.
【详解】由随机事件和互斥可知，
由，
将代入计算可得，
又和对立，可得，解得.
故选：B
8．从一批产品中随机抽取件产品进行质量检测，记“件产品都是次品”为事件，“件产品都不是次品”为事件，“件产品不都是次品”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A．任意两个事件均互斥
B．任意两个事件均不互斥
C．事件与事件对立
D．事件与事件对立
【答案】C
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念判断即可.
【详解】从一批产品中随机抽取件产品进行质量检测，
则可能情况有：件产品都是次品，件产品是次品，件产品是次品，件产品是次品；
记“件产品都是次品”为事件，“件产品都不是次品”为事件，“件产品不都是次品”为事件，
则事件、事件可能同时发生，故事件与事件不互斥，故A错误；
事件与事件不可能同时发生，故事件与事件互斥，
但是事件与事件可以都不发生，如出现件产品是次品或件产品是次品时，
故事件与事件不对立，故B、D错误；
事件“件产品不都是次品”，包含“件产品是次品”，“件产品是次品”，“件产品是次品”；
故事件与事件对立，故C正确；
故选：C
9．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与至少有一个红球
【答案】C
【分析】先写出从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球所包含的基本事件，再根据选项写出各事件的基本事件，利用互斥事件与对立事件的定义判断即可.
【详解】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b，
则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：
A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误；
B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB，
两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；
C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，
两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；
D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误.
故选：C.
10．已知事件A与B互斥，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由事件互斥及概率的性质判断各项的正误即可.
【详解】由事件A与B互斥，则，，A错，B对；
由，，故C、D错.
故选：B
11．设，为同一随机试验中的两个随机事件，，的对立事件分别为，，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则事件与互斥
B．若，则事件与一定互斥
C．若，则的值为0.3
D．若事件与相互独立且同时发生的概率为0.4，则
【答案】D
【分析】根据随机事件相互独立，互斥，对立的定义，以及公式，即可判断选项.
【详解】对于A，， ，因为，
则，
所以，即事件与事件不互斥，故A错误；
对于B，，，，
则不一定为0，
事件与事件不一定互斥，故B错误；
对于C，，，，
因为事件与不一定独立，所以不一定成立，故C错误；
对于D，因为与也相互独立，
则，解得，故D正确．
故选：D
二、多选题
12．一个盒子中装有支钢笔，其中支一等品，支二等品，从中不放回的依次随机取出支，则下列说法正确的是（ ）
A．事件“至少有一支一等品”与“至少有一支二等品”是互斥事件
B．事件“至少有一支一等品”与“都是二等品”是对立事件
C．记事件“至多有一支一等品”，事件“两支都是二等品”，则A．
D．记事件“至多有一支一等品”，事件“至多有一支二等品”，则
【答案】BC
【分析】根据题意，由互斥事件与对立事件的定义即可判断AB，由事件的包含关系以及概率的计算即可判断CD.
【详解】当取的是一支一等品和一支二等品时，选择中两事件可同时发生，故A错误；
至少有一支一等品的对立事件是两个都是二等品，故B正确；
至多有一支一等品包含两支都是二等品这种情况，故C正确；
对于D，当事件同时发生时，即取的是一支一等品和一支二等品，，故D错误．
故选:BC．
13．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“记下的点数为3”，事件“记下的点数为偶数”，事件“记下的点数小于3”，事件“记下的点数大于2”，则（ ）
A．事件与互斥B．事件与互斥
C．事件与对立D．事件与对立
【答案】ABD
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.
【详解】依题意骰子面朝上的点数可能为、、、、、共个基本事件，
则事件“记下的点数为偶数”包含、、共个基本事件，
事件“记下的点数小于3” 包含、共个基本事件，
事件“记下的点数大于2”包含、、、共个基本事件，
所以事件与互斥，故A正确；
事件与互斥，故B正确；
事件与不互斥也不对立，故C错误；
事件与互斥且对立，故D正确；
故选：ABD
14．设为两个互斥的事件，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据互斥事件的含义及概率计算公式逐项判定即可.
【详解】因为为两个互斥的事件，且，
所以,即，故A正确，B错误；
因为为两个互斥的事件，不一定为对立事件，所以也不一定为对立事件，
故不一定为1，故C错误；
因为为两个互斥的事件，所以，故D正确，
故选：AD.
15．下列叙述正确的是（ ）
A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
C．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
D．在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率为
【答案】ACD
【分析】由互斥和对立事件的概念可判断A，B；根据概率的基本性质可判断C，D.
【详解】对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，A正确；
对于B选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，B错误；
对于C选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，
则甲不输的概率为，C正确；
对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，
其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，
从而所求概率为，D正确．
故选：ACD．
三、填空题
16．已知事件与事件互斥，若，，那么 .
【答案】0.8
【分析】根据概率的基本性质计算.
【详解】.
故答案为：0.8.
17．已知事件，，两两互斥，若，，，则 ．
【答案】
【分析】先利用互斥事件的概率公式求出，再利用互斥事件的概率公式求解即可.
【详解】因为事件，，两两互斥，
所以，
因为，所以，
又因为，所以，
故答案为：.
18．一个盒子内装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么从盒中摸出1个球，摸出黑球或红球的概率是 ．
【答案】0.75
【分析】根据一个盒子内装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球，白球和黑球的事件两两互斥求解.
【详解】解：因为一个盒子内装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，则从中摸出1个球，
摸出红球，白球和黑球的事件两两互斥，
又摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
所以摸出黑球的概率是，
所以从盒中摸出1个球，摸出黑球或红球的概率是，
故答案为：.
19．已知事件与事件互斥，如果，，那么 .
【答案】
【分析】根据互斥得到，计算，得到答案.
【详解】事件与事件互斥，则，，
故.
故答案为：.
20．已知是随机事件，则“”是“与互斥而不对立”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可结合必要不充分条件求解.
【详解】由不能得到与互斥而不对立，
若与互斥而不对立，则，
所以“”是“与互斥而不对立”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分
21．设为三个随机事件，若A与是互斥事件，与是相互对立事件，且，则 .
【答案】
【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值.
【详解】由与是对立事件，可得
由与是互斥事件，可得.故答案为：
22．社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为，则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为 ．
【答案】
【分析】根据两人是否完成任务之间是相互独立，结合独立事件和对立事件的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意知，两人能完成该项任务的概率分别为，且两人是否完成任务是相互独立的，
可得两人都未完成任务的概率为,
则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为.故答案为：.
题型四 古典概型
策略方法 用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下：
①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型．
②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数．
③求值，代入公式P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)求值．
【典例1】（单选题）从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生的概率为（ ）
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
【答案】A
【分析】5人中任选2人，基本事件共10种，其中2人中恰有一名男生占6种基本事件，可求概率.
【详解】设2名男同学为，3名女同学为，
从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，
选中的2人恰好是一男一女的情况共有共6种可能
则选中的2人恰好是一男一女的概率为0.6，
故选：A.
【典例2】（单选题）书籍是人类进步的阶梯，数学名著更是如此，《九章算术》《孙子算经》《周髀算经》《海岛算经》是我国古代数学领域影响深远的四部著作，而《几何原本》《阿基米德全集》《圆锥曲线论》被称为“古希腊三大数学书”，代表了文艺复兴之前欧洲数学的最高成就，这些著作对后世的数学发展有着深远而广泛的影响．现从这七本名著中任选三本，则至少两本是中国数学名著的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题以中外数学名著为背景，根据组合知识、古典概型的概率求解.
【详解】从七本名著中任选三本的所有情况有（种），至少两本是中国数学名著的情况有（种），
所以从这七本名著中任选三本，至少两本是中国数学名著的概率为，．
故选：C．
【题型训练Ⅰ-简单的古典概型问题】
一、单选题
1．某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概型计算即可.
【详解】由题意可知甲乙两人抽取主题的情况有种，相同的情况有6种，
所以其概率为.
故选：D
2．某对新婚夫妇响应国家号召，计划生育3个孩子，若每胎只有一个孩子，且每胎生男生女的概率相同，记事件A为“3个孩子中有男有女”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】利用对立事件性质和列举法求解古典概型概率问题.
【分析】由题意可知，所有不同情况的总数为，
A的对立事件为“3个孩子全是男孩或者全是女孩”，有2种情况，
故．
故选：D．
3．从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，能构成三角形的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先罗列出能构成三角形的情况，再应用排列组合得到所有的情况，最后计算概率即可.
【详解】能构成三角形的组合有三种，
一共有种情况，所以能构成三角形的概率为，
故选：A
4．从2，3，5，7这四个数中随机地取2个不同的数相乘，其结果能被10整除的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由符合条件的事件除以基本事件总数即可求出.
【详解】从2，3，5，7这四个数中随机地取2个不同的数相乘基本事件总数有，其结果能被10整除的只能是取
故所求概率为，
故选：A．
5．为纪念12.9运动，高一（5）班需要从班级朗诵队里的4名男生和2名女生中随机选取两名，代表班级参加朗诵比赛，则恰好选取一名男生和一名女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据古典概型列举基本事件总数，及恰好选取一名男生和一名女生的事件总是，从而可得概率.
【详解】记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b，从中选择两名为：
AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15个基本事件，
其中恰好选取一名男生和一名女生有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db共8种，
所以概率为.
故选：C.
6．“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．将“仁、义、礼”排成一排，其中“义”不在首位的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用列举法及古典概型即可求解.
【详解】将“仁、义、礼”排成一排的所有可能有：仁义礼；仁礼义；义仁礼；义礼仁；礼仁义；礼义仁.共6种可能；
“义”不在首位：仁义礼；仁礼义；礼仁义；礼义仁，有4种可能.
由古典概型得，“义”不在首位的概率为.
故选：B
7．袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中1个红球、1个黄球、2个蓝球．从中任取2个小球，则这两个小球的颜色不同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据古典概型求概率，先求颜色相同概率，再用1减去颜色相同概率即得到颜色不同概率.
【详解】总的基本事件有6个，这两个小球的颜色相同的情况只有1种，
所以这两个小球的颜色相同的概率为，故这两个小球的颜色不同的概率为．
故选：D.
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过15的素数（素数是指在大于1的自然数中，除了1和自身外没有其他因数的自然数）中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用组合数求出从不超过15的素数中随机取两个不同取法，再确定和等于16的情况数，应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】不超过15的素数有，随机取两个不同取法有种，
其中和等于16的情况有或两种情况，
所以随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是.
故选：C
9．甲、乙两位同学将高一6次物理测试成绩（成绩为整数，满分为100分）记录如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损．
则甲同学的平均成绩高于乙同学平均成绩的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先计算平均值，再结合古典概型公式计算即可.
【详解】由题意可得，
设被污损的数字为，则．
满足题意时，，即，即可能的取值为，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值．
故选：B．
10．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有4，5，6，7四个数字，这些小球除数字外都相同．小红、小明两人玩“猜数字”游戏，小红先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由小明猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称小红、小明两人“心心相印”，则两人“心心相印”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先算出样本空间包含的样本点数，再求出两人“心心相印”的包含的样本点数，相比即可求出概率.
【详解】样本空间包含的样本点数为，
m，n满足，那么就称小红、小明两人“心心相印”
当时，当时，
当时，当时，
则小红、小明两人“心心相印”事件包含了个样本点，
两人“心心相印”的概率是，
故选：D
11．某大学为了了解学生课外图书阅读量的情况，从大二学生中抽取50名，统计他们今年上半年阅读的书籍数量，发现读书不低于6本的人数占，不低于8本的人数占.现从读书不低于6本的学生中随机地选取2名进行座谈，则这2名学生1名读书低于8本且不低于6本，1名读书不低于8本的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意求得读书本数对应的学生人数，再利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解.
【详解】读书低于8本且不低于6本的人数为，分别记作，
不低于8本的人数为，分别记作，
则从中选出2名学生的基本事件为：，共15件，
其中1名读书低于8本且不低于6本，1名读书不低于8本的基本事件有，共8件，
则所求概率为.
故选：B.
12．某中学团委为庆祝“五四”青年节，举行了以“弘‘五四’精神，扬青春风采”为主题的文艺汇演，初中部推荐了2位主持人，高中部推荐了4位主持人，现从这6位主持人中随机选2位主持文艺汇演，则选中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可列举出从6位主持人中随机选2位主持文艺汇演的所有组合情况，再挑选出符合题意的情况，利用概率计算公式即可得其概率为.
【详解】设初中部的2位主持人分别为，高中部的4位主持人分别为1，2，3，4，
则从这6位主持人中随机选2位，共有15种不同的选法，
分别是，，，，，，，，，，，，，，，
选中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人有8种不同的选法，
分别是，，
故所求概率为，
故选：D．
13．若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用古典概型及直线方程计算即可.
【详解】由题意可知抛掷两次骰子得出的点数有，
共36种结果，即点有36个.
而满足在上的有3种，故其概率为.
故选：C
14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互为对立事件B．
C．D．事件B与事件C相互不独立
【答案】C
【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求、判断B、C；根据独立事件的判定判断D.
【详解】由事件定义，事件A与事件B可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
事件B的样本点为共18种，
事件C的样本点为共有12种，
事件的样本点为共6种，
所以，B错误；，C正确；
因为，所以事件B与事件C相互独立，D错误．
故选：C
二、多选题
15．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（ ）
A．取出的两个球上标号为不同数字的概率为
B．取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
C．取出的两个球上标号为相同数字的概率为
D．甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
【答案】BCD
【分析】利用古典概率模型求解.
【详解】由题，样本空间为，共9个样本点，
对A，取出的两个球上标号为不同数字的概率为，A错误；
对B，取出的两个球上标号之积能被3整除的样本点有共5个，所以概率为，B正确；
对C，取出的两个球上标号为相同数字的概率为，C正确；
对D，甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的基本事件有共3个，
所以甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率，D正确；
故选:BCD.
16．一个盒子装有标号的5张标签，则（ ）
A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为
B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为
D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为
【答案】AD
【分析】根据题意，利用古典摡型的概率计算公式，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，有放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中标号相等的取法有种，所以概率为，所以A正确；
对于B中，有放回的随机选取两张标签，，有种取法，
其中第一次标号大于第二次的取法有种，所以概率为，所以B不正确；
对于C中，无放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中标号之和为5的有种取法，所以概率为，所以C不正确；
对于D中，无放回的随机选取两张标签，有种取法，
其中第一次标号大于第二次有种，所以概率为，所以D正确；
故选：AD.
三、填空题
17．从甲、乙等5名同学中随机选择3名参加志愿者活动，则甲、乙两人中恰有一人参加的概率为 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，将其余3名同学分别记作丙、丁、戊，
从中选出3名同学参加活动，所有的情况为（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，
其中甲、乙两人中恰有一人参加活动的情况为（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），共6种，
所以甲、乙两人中恰有一人参加的概率为．
故答案为：.
18．在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了20组随机数：
由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】在20组数中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138满足要求，共10个，由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为．
故答案为：
19．某对新婚夫妇响应国家号召，计划生育3个孩子．假设每胎只有一个小孩，且每胎生男生女的概率相等，记事件为“该夫妇儿女双全”，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，结合对立事件的概念，即可求解.
【详解】由题意知，基本事件为：{男男男}，{男男女}，{男女男}，{女男男}，{女女男}，{女男女}，{男女女}，{女女女}，共8种情况，
其中的对立事件为“该夫妇的3个孩子全是男孩或者全是女孩”，有{男男男}，{女女女}，共2种情况，所以概率为．
故答案为：.
20．根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为 ．
纵式：
横式：
【答案】
【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹不一样多的两位数，利用古典概率公式计算即可.
【详解】用算筹随机摆出一个不含数字的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出个两位数，
其中个位和十位上的算筹都为的有种；
个位和十位上的算筹都为的有种；
个位和十位上的算筹都为的有种；
个位和十位上的算筹都为的有种；
个位和十位上的算筹都为的有种；
共有种；
所以，个位和十位上算筹不一样多的概率为种；
故答案为：
21．2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲､乙､丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐3辆车，沪昆高速杭州入口有共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数，再求出3个窗口各有1辆车在等候的事件含有的基本事件数，利用古典概率公式计算得解.
【详解】该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数为，
3个窗口各有1辆车在等候的事件含有个基本事件，
所以每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为.
故答案为：
22．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为6的概率是 ．
【答案】
【分析】基本事件总数，利用穷举法得到向上的点数之和等于6包含的基本事件有5个，由此能求出出现向上的点数之和等于6的概率．
【详解】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，
基本事件总数，
出现向上的点数之和等于6包含的基本事件有：
，共5个，
∴出现向上的点数之和等于6的概率为．故答案为：．
【题型训练Ⅱ-与排列组合结合】
一、单选题
1．口袋中有5个白球，3个红球和2个黄球，小球除颜色不同，大小形状均完全相同，现从中随机摸出2个小球，摸出的2个小球恰好颜色相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据古典概型求概率的公式计算.
【详解】所求概率.
故选：A.
2．江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用组合数求出所有可能情况数，应用古典概型的概率求法、对立事件概率求法求概率即可.
【详解】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有种情况，
至少选一个苏州古镇的概率为．
故选：C
3．第19届亚运会的样物由“琮琮”“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个同类吉举物完全相同，无区别，若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将挂件两两一组看成6个个体，先求出分个3位同学的种数，再求出有一位同学得到同类吉祥物挂件的种数，即可求解.
【详解】令6个挂件分别是，
则把这6个挂件分给3位同学，共有种情况，
恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的有种，
恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是故选:B.
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一个大于的偶数都可以写成两个素数的和”，如.在不超过的素数中，随机选取个不同的数，其和等于的概率是(注：若一个大于的整数除了和它本身外无其他因数，则称这个整数为素数)（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】列举出不超过的素数，可确定总体基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】不超过的素数有：，，，，，，，，，，，，共个，
从中随机选取个不同的数，共有个基本事件；
其中两个素数和为的情况有，，，共个基本事件；
所求概率.
故选：C.
5．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选6只小白鼠，随机地将其中3只分配到试验组且饲养在高浓度臭氧环境，另外3只分配到对照组且饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：）.则指定的两只小鼠分配到不同组的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】应用组合数及古典概型的概率求法求两只小鼠分配到相同组的概率，再由对立事件的概率求法求目标概率.
【详解】指定的两只小鼠分配到相同组的概率为，
所以指定的两只小鼠分配到不同组的概率为.
故选：D
6．书籍是人类进步的阶梯，数学名著更是如此，《九章算术》《孙子算经》《周髀算经》《海岛算经》是我国古代数学领域影响深远的四部著作，而《几何原本》《阿基米德全集》《圆锥曲线论》被称为“古希腊三大数学书”，代表了文艺复兴之前欧洲数学的最高成就，这些著作对后世的数学发展有着深远而广泛的影响．现从这七本名著中任选三本，则至少两本是中国数学名著的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题以中外数学名著为背景，根据组合知识、古典概型的概率求解.
【详解】从七本名著中任选三本的所有情况有（种），至少两本是中国数学名著的情况有（种），
所以从这七本名著中任选三本，至少两本是中国数学名著的概率为，．
故选：C．
7．某选拔性考试需要考查4个学科（语文、数学、物理、政治），则这4个学科不同的考试顺序中物理考试与数学考试不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用全排列与插空法分别求得所需要考试顺序种类，再利用古典概型即可得解.
【详解】这4个学科不同的考试顺序有种，
先安排语文、政治形成3个空隙，再将数学、物理插入到其中2个空隙中，
则物理考试与数学考试不相邻的考试顺序共有种，
所以所求概率为.
故选：B.
8．将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区做环保宣传，每个志愿者只能去其中一个社区且每个社区只能安排一名志愿者，则甲不被分到A社区的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区的所有情况，以及甲不被分到A社区的情况，求出概率.
【详解】甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区，共有种情况，
其中甲不被分到A社区，则从乙、丙、丁中选择一个分到A社区，
剩余3人分配到3个社区，故共有种情况，
故甲不被分到A社区的概率是．
故选：C
9．将，，，，共5名同学从左到右随机排成一排，则与之间恰好有1名同学的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出基本事件总数，再确定“与之间恰好有1名同学”包含的基本事件个数，由此能求出“与之间恰好有1名同学”的概率．
【详解】将，，，，这5名同学从左至右随机地排成一排，
基本事件总数为：，
则符合“与之间恰好有1名同学”的事件总为：
故与之间恰好有1名同学的概率为.
故选：C.
10．2023年6月25日19时，随着最后一场比赛终场哨声响起，历时17天的．2023年凉山州首届“火洛杯”禁毒防艾男子篮球联赛决赛冠军争夺赛在凉山民族体育馆内圆满闭幕，为进一步展现凉山男儿的精神风貌主办方设置一场扣篮表演，分别由西昌市、冕宁县、布拖县、昭觉县4个代表队每队各派1名球员参加扣篮表演，则西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用分步计数及组合排列数求西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的情况数，再应用全排列求4个代表队任意排的情况数，应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】由题意，西昌代表队队员在第二、三位选一个位置有种，
其它三个代表队在剩下三个位置上作全排有种，
所以西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位共有种情况；
而4个代表队任意排有种，
所以西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的概率为.
故选：A
11．三位同学参加某项体育测试，每人要从跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出三个同学选择两个项目的试验的基本事件数，再求出有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数，即可列式作答.
【详解】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有个，它们等可能，
有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数有个，
所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率.
故选：C
12．五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合组合计数知识，由分类与分步计数原理分别计算样本空间与事件包含的样本点个数，再应用古典概型概率公式求解即可.
【详解】由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.
该旅游博主游览五岳可分两类方法：
第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有种方法；
第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有种方法；
由分类计数原理可得，共有种方法.
设“该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件事：
第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有种方法；
第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：
若该月只游览两大名山，则只有种方法；
若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有种方法，
则第二步共有种方法；
由分步计数原理，则完成事件共有种方法.
由古典概型概率公式得.
故选：C.
13．2025年四川省新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．假若今年高一的小明与小芳都对所选课程没有偏好，则他们所选六科中恰有四科相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先得到两人所选六科的情况数，再分两种情况，求出所选六科中恰有四科相同的情况数，计算出概率.
【详解】两人所选六科的情况共有种情况，
由于语文数学英语必选，故所选六科中恰有四科相同的情况，包含以下情况，
第一，物理历史有一科相同，政治地理化学生物不相同，
先得到小明选课情况数，即种情况，则小芳的选择也就确定了，
故此时共有种情况，
第二，物理历史不相同，政治地理化学生物有一科相同，
先得到小明选课情况数，即种情况，则小芳从小明选择的四选二科目中选择一个，
再从小明没有选择的四选二科目中选择一个，故有种情况，
故此时共有种情况，
故们所选六科中恰有四科相同的概率是.
故选：B
二、填空题
14．一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出个球，那么两次取到的球颜色相同的概率为
【答案】
【分析】利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出个球，
那么两次取到的球颜色相同的概率为.
故答案为：.
15．据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之．”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．现从3名男生和2名女生中任选3人参加围棋比赛，则所选3人中至多有1名女生的概率为 ．
【答案】
【分析】利用组合的知识结合古典概型的概率公式可解.
【详解】从5人中任选3人，一共有种选法．
所选3人中至多有1名女生的情况有以下两种：3人全都是男生，有种选法；3人中有2名男生1名女生，有种选法．则所选3人中至多有1名女生的概率,
故答案为：.
16．2023年8月，某志愿者团队从，，，，，这6名志愿者中随机选取4名志愿者去河北参加抗洪抢险，则，，中至少有2人被选中的概率为 .
【答案】
【分析】利用组合应用求出试验的基本事件总数以及指定3人中至少选中2人的事件含有的基本事件数，再利用古典概率列式计算即得.
【详解】依题意，从6名志愿者中随机选取4名的试验有个基本事件，
，，中至少有2人被选中的事件有个基本事件，
所以，，中至少有2人被选中的概率为.
故答案为：
17．2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲､乙､丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐3辆车，沪昆高速杭州入口有共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数，再求出3个窗口各有1辆车在等候的事件含有的基本事件数，利用古典概率公式计算得解.
【详解】该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数为，
3个窗口各有1辆车在等候的事件含有个基本事件，
所以每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为.
故答案为：
18．某工厂生产、两种型号的不同产品，产品数量之比为.现用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本，则其中种型号的产品有件，现从样本中抽出两件产品，此时含有型号产品的概率为 .
【答案】
【分析】首先求出样本中种型号的产品数量，再由组合数公式及古典概型的概率公式计算可得.
【详解】依题意样本中种型号的产品有件，
现从样本中抽出两件产品共有种取法，其中含有型号产品的有种取法，
所以含有型号产品的概率.
故答案为：
19．将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为 ．
【答案】
【分析】根先将四人平均分成两组，再安排服务工作共有种，再根据全排求甲、乙安排一起服务的种数，结合古典概型即可求解.
【详解】将四人分成两人两组共有种，
再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有种，
又甲、乙安排在一起共有种，
所以甲、乙安排在一起的概率为，
故答案为：.
20．在某道选词填空题中，共有4个空格、5个不同的备选单词，其中每个空格只有一个正确答案（备选单词中有一个是多余的），若随机从备选单词中选4个不同的单词分别填入空格中，则恰答对3个空格的概率是 ．
【答案】
【分析】由古典概型的概率计算公式可得.
【详解】由题意得，样本空间包含的样本点个数为，且每个样本点都是等可能的；
记事件“恰答对3个空格”，则；
由古典概型的概率计算公式得，.
则恰答对3个空格的概率是.
故答案为：.
21．国家鼓励中小学校开展课后服务，某中学为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、舞蹈社团、朗诵社团分别还可以接收1名学生，恰好甲、乙、丙、丁4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进朗诵社团，乙进书法社团或舞蹈社团的概率为 .
【答案】
【分析】先利用排列计算出总的种数，再计算出甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的种数，最后代入古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有种，
其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有种，
由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为，
故答案为：.
22．云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动.在活动期间，有6名志愿者报名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为 .
【答案】
【分析】先根据全排列求出所有的基本事件个数，然后利用特殊元素优先考虑结合相邻元素捆绑法求解满足题意的基本事件个数，利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】6名志愿者排成一排合影共有中排法，
而乙、丙志愿者相邻，甲志愿者不在两边的排法有种排法，
故甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为.
故答案为：
①随机事件关系与运算
②频率与概率
③互斥事件与对立事件
④古典概型Ⅰ-简单的古典概型问题
⑤古典概型Ⅱ-与排列组合结合
顾客年龄（岁）
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
5
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
13
27
12
1
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
124
174
366
命中的频率
0.68
0.62
0.58
0.61
顾客年龄（岁）
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
13
27
9
0
其他支付方式人数
0
0
2
9
5
5
1
四面体的面
1
2
3
4
频数
44
36
42
78
序号
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.5
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
125
176
369
命中的频率
0.68
0.625
0.587
0.615
334
221
433
551
454
452
315
142
331
423
212
541
121
451
231
414
312
552
324
115
分组
频数
频率
10
0.10
20
0.20
50
0.50
20
0.20
合计
100
1.00
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
甲
95
87
88
92
93
85
乙
85
86
86
99
9
88
6830
3215
7056
6431
7840
4523
7834
2604
5346
0952
6837
9816
5734
4725
6578
5924
9768
6051
9138
6754
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