2025高考数学一轮考点突破训练第三章一元函数的导数及其应用专题突破7导数的综合应用

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第三章一元函数的导数及其应用专题突破7导数的综合应用，共10页。试卷主要包含了利用导数证明不等式，利用导数研究恒成立问题，利用导数研究函数零点等内容，欢迎下载使用。
考点一 利用导数证明不等式
例1 [2023年新课标Ⅱ卷节选]证明：当时，．
证明：令,，则，有.
则 在 上单调递增，可得，
即,.
令,，
则,.
令,，
则 在 上恒成立.
则 在 上单调递增，可得.
所以 在 上恒成立，
则 在 上单调递增，可得，
所以,.
综上,当 时，.
【点拨】①证明，可以构造函数,然后利用的最值证明不等式.②若直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形分拆,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量, 达到证明的目的.
变式1 [2023年新课标Ⅰ卷]已知函数.
（1） 讨论的单调性.
解：的定义域为，.
当 时，由于，则，故 恒成立，所以 在 上单调递减.
当 时，令，解得.
当 时，，则 在 上单调递减；当 时，，则 在 上单调递增.
综上,当 时，在 上单调递减;当 时，在 上单调递减,在 上单调递增.
（2） 证明：当时，.
证明:由（1）得，.
要证，
即证，
即证 恒成立.
设，
则.
令，得；令，得.
所以 在,上单调递减，在,上单调递增，所以，则 恒成立.
所以当 时，.
考点二 利用导数研究恒（能）成立问题
例2 已知函数,.
（1） 求函数的极值；
解：的定义域为,.
令，得；令，得.
所以 在,上单调递增，在,上单调递减.所以当 时，取得极小值，且极小值为；无极大值.
（2） 若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
[答案]
对任意,恒成立，即 恒成立，
即 在 上恒成立.
令，则，
令，得，令，得.
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以，所以，即.
故 的取值范围为.
【点拨】利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略有以下几种.①构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围.②分离变量,构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.有些不易分参的也可采用“同构”技巧.③分类讨论，分界点主要考虑端点值、极值点、 不等式公共取等条件及常见常数（如0，1，,）等.
变式2 已知函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围．
解：若，使得，则 在 有解.
令，即.
.
设，则，所以 在 上单调递减.
又，则当,，当时,.
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，的最大值为.
所以，即实数 的取值范围是．
考点三 利用导数研究函数零点
例3 已知函数,讨论函数零点的个数.
解：.
当 时，；当 时，.
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减.所以当 时，有最大值.
当 时，，函数 无零点.
当 时，，函数 有1个零点.
当 时，,,
令,则,
所以 在 上单调递减,所以.
所以 在 和 上各有一个零点，即函数 有两个零点.
综上，当 时，函数 无零点；当 时，函数 有1个零点；当 时，函数 有两个零点.
【点拨】由于利用零点存在定理时，一般不使用极限语言，故常常需要“取点”，可借助,等结构放缩，必要时可构造函数证明所取点的符号.根据函数零点的情况求参数值或取值范围的基本方法有以下几种.①利用零点存在的判定定理构建不等式求解.②分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.③转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
变式3 已知.若在,上有两个零点，求实数的取值范围.
解：.
易知，则当 时，.
当 时，；当 时，.
所以，函数 在,上单调递增，在 上单调递减.
故 在 处取得极大值.
又，，
，则.
又 在,上有两个零点，
所以 解得.
因此，实数 的取值范围是,.
课外阅读·洛必达法则
在高中，涉及求参数的取值范围时，分离参数后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比.这个比值的极限可能是定值也可能不存在，这时如果我们要计算出它们的比值，就需要运用到洛必达法则.洛必达法则的定义:在一定条件下，通过分子、分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则.需要说明的是，洛必达法则在解答题中直接使用一般至少会扣步骤分，属于考场中时间紧迫时的一种抢分技巧.
1. 设函数.当时，恒成立，求实数的取值范围.
解：当时，.
当时，等价于.
令,
则.
令，则.
令，则.
所以在上单调递增，.
所以在上单调递增，.
所以，在上单调递增.
由洛必达法则，知，所以.故.
综上，的取值范围为 ,.
2. 已知函数．当时，，求实数的取值范围．
解：当时，，即，即恒成立.
令，则.
令，所以，所以在上单调递增.
所以，所以，所以在上单调递增．
由洛必达法则，知，所以.
所以.故实数 的取值范围是．
规范答题——导数解答题
【范例】 [2022年新课标Ⅰ卷第22题]（12分）
已知函数和有相同的最小值.
（1） 求；
解：的定义域为，.
若，则，此时 无最小值，故.
当 时，，故 在 上单调递减;
当 时，，故 在 上单调递增.
故.（2分）（求的最小值）
的定义域为，.
当 时，，故 在,上单调递减;
当 时，，故 在,上单调递增.
故.（4分）（求的最小值）
因为 和 有相同的最小值，
所以，整理得，其中.
设,，则.
故 在 上单调递减，而，
故 的唯一解为，即 的解为.
综上，.（6分）（通过最值相等列关于的等式，通过构造函数利用单调性求）
（2） 证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
证明：由（1）,知.
函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
设，
则.
当 时，，
所以函数 在 上单调递增.
因为，所以当 时，恒成立，
即 在 时恒成立，
所以 时，.（7分）（构造函数，分析,图象的分布）
因为，函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递减，所以函数 与函数 的图象在 上存在唯一交点.设该交点为，作出函数 和 的大致图象.
由图象，知当直线 与两条曲线 和 共有三个不同的交点时，
直线 必经过点，即.
因为，
所以，即.（9分）（画出与的大致图象，根据直线与两函数图象只有三个交点得出同构式）
令,得，解得 或.
由，得.
令,得，解得 或.
由，得.
所以当直线 与两条曲线 和 共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，，.（11分）（得出所有零点横坐标）
因为，所以.
所以，，成等差数列.
所以存在直线，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.（12分）（结合两函数图象有公共点这一条件证明即可）
【总结提升】通过上述对题目的拆解及详答展示可以看出，解第一问的关键在于基础求最值问题的熟练掌握与准确计算，解第二问的关键在于仔细审题，分析与的图象特征，发现直线与和图象交点的位置关系，通过方程特点得出从左到右三个交点的横坐标，结合两函数图象有一个公共点得证.同构变形也是近年来考试热点，需要考生对常见的同构形式比较熟悉.最后，仔细审题，全面细致挖掘题目隐含条件，同时丰富的经验积累是必不可少的，也是拿到满分的关键所在.【拆解】
分类
参考赋分
难易
审题要点
考查内容
第一问
6分
中上
①总体看，题目为指数型函数与对数型函数的最值及图象交点问题，实际考查利用导数研究函数零点问题.
②第一问是根据函数单调性求最值问题，根据最小值相等可求.注意分类讨论.
③第二问是构造新函数利用零点个数解决问题.根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得,的大小关系，根据存在直线与曲线，有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.
在基础性的层次上考查数学运算学科素养，和运用导数判断函数单调性并求最值等必备知识.
第二问
6分
难
在综合性和应用性的层次上考查了逻辑推理、数学抽象及数学运算等学科素养，转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想方法，运算求解、推理论证等关键能力，以及导数在研究函数性质中的应用及等差数列等必备知识.