2025高考数学一轮考点突破训练第三章一元函数的导数及其应用3.1导数的概念意义及运算

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第三章一元函数的导数及其应用3.1导数的概念意义及运算，共6页。试卷主要包含了求导运算，导数的几何意义等内容，欢迎下载使用。
例1 求下列函数的导数：
（1） ；
解：


.
（2） ;
[答案].
（3） ；
[答案]

.
（4） ；
[答案]

.
（5） .
[答案].
【点拨】一般对函数式先化简再求导，常用求导技巧有以下几种.①连乘积形式,先展开化为多项式的形式，再求导.②分式形式,观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.③对数形式,先化为和、差的形式，再求导.④根式形式,先化为分数指数幂的形式，再求导.⑤三角形式,先利用公式化简函数，再求导.⑥复合函数,确定复合关系，由外向内，层层求导.
变式1
（1） 若函数，则的值为 .
解：.令，得，所以，则.故填 .
（2） 设函数，且，则（ B ）
A. 0B. C. 3D.
解：因为,
所以,所以，解得.故选 .
（3） 设函数在内可导，且，则2.
解：（方法一）令，则，所以，即.所以，所以.
（方法二）等式两边同时求导，得.令，得.
故填2.
考点二 导数的几何意义
命题角度1 求切线方程
例2
（1） [2023年全国甲卷]曲线在点,处的切线方程为（ C ）
A. B. C. D.
解：因为，所以.所以.所以切线方程为,即.故选 .
（2） 已知函数，若直线过点，并且与曲线相切，则直线的方程为 ．
解：易知点 不在曲线 上.
设切点为．
因为，
所以直线 的方程为.
所以由 解得
所以直线 的方程为，即.
故填.
【点拨】①以曲线上的点为切点的切线方程的求解步骤：先求出函数的导数，再求切线的斜率，最后写出切线方程,并化简.②如果已知点不在曲线上，则设出切点，解方程组 得切点，进而确定切线方程.求切线方程时，要注意判断已知点的坐标是否满足曲线方程，即已知点是否在曲线上.与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.
变式2
（1） 曲线在点处的切线方程为（ C ）
A. B.
C. D.
解：因为，所以.则曲线 在点 处的切线方程为，即.故选 .
（2） 直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ A ）
A. B. C. 1D.
解：设切点为.
由，得，则.
则曲线在切点处的切线方程为，切线过定点，将其代入切线方程可得，解得，则.故选.
命题角度2 两曲线的公切线
例3 已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（ C ）
A. B. C. D.
解：因为，所以，，所以曲线 在点 处的切线方程为.
设 与曲线 相切于点，则，解得.又，所以，解得.故选 .
【点拨】公切线常有共点切线和不共点切线两类.处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程（组）并解出参数，建立方程（组）的依据主要是：切点处的导数是切线的斜率，切点在切线上，切点在曲线上.
变式3
（1） 若函数与的图象在一个公共点处的切线相同，则实数或0..
解：设切点的横坐标为，根据切点在两函数图象上，得.
由函数,得.由函数,得.所以.
由①②，解得 或 故填 或0.
（2） 若直线与曲线和圆都相切，则的值为4．
解：设直线 与曲线 的切点坐标为.由，得.
则 解得 所以切线方程为.
因为直线 与圆 相切，
所以，解得 或（舍去）．
故填4．
命题角度3 根据切线情况求参数
例4 [2022年新课标Ⅰ卷]若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 .
解：因为，所以.
设切点为,则,切线斜率.
切线方程为.
因为切线过原点，
所以,
整理得.
因为切线有两条，所以.
解得 或.
另
解：由切线斜率,与 联立，可得.
所以 的取值范围是.
故填.
【点拨】求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于的方程,把切线条数问题转化为关于的方程的实根个数问题（零点问题）.本题利用导数的几何意义研究确定的切线,注意等价转化思想的应用：切线有两条 切点有2个关于的方程有2个不同实根.
变式4 已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则（ C ）
A. B. 3C. 或1D. 3或1
解：设切点为.
由已知，得，则切线斜率，切线方程为.
直线过点，则，化简得.
切线有且仅有1条，即，解得 或1.故选.