2025高考数学一轮考点突破训练第三章一元函数的导数及其应用3.2导数在研究函数中的应用第1课时函数的单调性

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第三章一元函数的导数及其应用3.2导数在研究函数中的应用第1课时函数的单调性，共8页。试卷主要包含了不含参函数的单调性，含参函数的单调性，函数单调性的应用等内容，欢迎下载使用。
例1 已知函数．求函数的单调区间.
解：.
令，得 或.
当 时，，单调递增；
当 时，，单调递减.
综上，函数 的单调递增区间为 和，单调递减区间为．
【点拨】确定函数单调区间的步骤如下.第一步，确定函数的定义域.第二步，求.第三步，解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间.注意函数间断点.
变式1
（1） 函数的单调递减区间为，.
解：因为，所以 且.
所以.
令，解得 或.
所以 的单调递减区间为，.
故填，.
（2） 已知函数,，求函数的单调区间.
解：.
令，得 或.
当 或 时，；当 时，.
所以 在,上单调递增，在,上单调递减, 在,上单调递增.
考点二 含参函数的单调性
例2 [2021年新课标Ⅱ卷节选]已知函数，讨论的单调性.
解：由题意，得.
当 时,若,则,单调递减.
若,则,单调递增.
当 时,若,则,单调递增.
若,则,单调递减.
若,则,单调递增.
当 时,,在 上单调递增.
当 时,若,则,单调递增.
若,则,单调递减.
若,则,单调递增.
综上所述，当 时，在 上单调递减，在 上单调递增；当 时，在 和 上单调递增，在 上单调递减；当 时,在 上单调递增；当 时，在 和 上单调递增，在 上单调递减.
【点拨】分类依据主要有：最高次幂系数，导函数的变号零点，变号零点与定义域或指定区间的关系，变号零点之间的大小关系.注意讨论完对结果进行综述.
变式2
（1） 已知函数.讨论的单调性.
解：
.
①当，即 时，恒成立，故 在 上单调递减.
②当，即 时，由，得 或；由，得.
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增.
③当，即 时，由，得 或；由，得.
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时，在 上单调递减；
当 时，在 和 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，在 和 上单调递减，在 上单调递增.
（2） 设函数，.讨论函数的单调性.
解：.
令，解得 或.
若，则.当 和,时，，单调递增；当,时，，单调递减.
若，则 恒成立，在 上单调递增.
若，则.当 ,和 时，，单调递增；当,时，，单调递减.
综上所述，当 时，在 和,上单调递增，在,上单调递减.
当 时，在 上单调递增.
当 时，在 ,和 上单调递增，在,上单调递减.
考点三 函数单调性的应用
命题角度1 求参数的范围（值）
例3 已知函数.
（1） 若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
解：，，
则.
因为 在 上存在单调递减区间，
所以当 时，有解，即 有解.令，所以只要 即可.
而，所以.
所以，即 的取值范围是.
（2） 若函数在上单调递减，求实数的取值范围.
[答案]
由 在 上单调递减，得
当 时，恒成立，即 恒成立.所以，.
因为，所以，.
所以当 时，.
所以，即 的取值范围是，.
【点拨】根据函数单调性求参数的一般思路如下.①利用集合间的包含关系处理.在上单调，则区间是相应单调区间的子集在的充要条件是对任意的都有，且在内的任一非空子区间上不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.③函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.
变式3
（1） 函数在上单调递减,则实数的取值范围为（ B ）
A. B. C. D.
解：.
因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立.
所以 在 上恒成立，即.
故选.
（2） 若函数在内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
解： 的定义域为，
.
当 时，恒成立，故函数 在 上单调递减，不合题意，舍去.
当 时，令，解得；令，解得.
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
因为 在 内存在单调递增区间，所以.故选.
命题角度2 比较大小
例4 已知函数，，，，则，，的大小关系为（ D ）
A. B. C. D.
解：由题意，得，当且仅当 时，等号成立，所以 在 上单调递减.
因为，，，所以.
因为 在 上单调递减，所以，所以.故选.
【点拨】①利用导数比较大小,有时需要利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小的问题.②比较大小时，需关注函数的性质,如奇偶性、对称性，进而把自变量转移到同一区间，再利用单调性比较即可.
变式4 已知函数，则，，的大小关系是（ B ）
A. B.
C. D.
解：易知 是偶函数，所以.，当 时，，所以函数在，上单调递增，所以故选.
课外阅读·“二次求导”中的理性思维
求导后思路受阻时，常考虑二次（多次）求导（需利用函数思想先构造函数），尤其是解析式中含,,,,等结构时.应用二次求导时，一是要注意结合端点或特殊点函数值符号，二是要注意一般令，而不直接写成.二阶导数反映了函数图象的凹凸性.当一个函数的二阶导数时,函数图象是下凹的;当时,函数图象是上凸的.因此,通过观察函数的二阶导数图象,我们可以大致判断出原函数的图象形状,进而解决相关问题.
1. 判断函数的单调性.
解： .
令,则.
令,则.
当 时,，故 单调递增.
又,故（时）,则 单调递增.又,故（时），从而（时）,单调递增.
2. 已知函数，.当时，求的单调区间.
解：由题意，知.
令，，
则，所以 在区间 上单调递减.
当 时，，所以，即.
所以 的单调递减区间是，没有单调递增区间.