2025高考数学一轮考点突破训练第四章三角函数与解三角形4.1任意角蝗制及三角函数的概念

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第四章三角函数与解三角形4.1任意角蝗制及三角函数的概念，共6页。试卷主要包含了象限角与终边相同的角，扇形的弧长与面积问题，三角函数的定义及应用等内容，欢迎下载使用。
例1
（1） 若 是第四象限角，则 是第三象限角；是第二或四象限角.
解：因为 是第四象限角，
所以 ，.
所以，.
所以 ，.
故 是第三象限角.
,,故 是第二或第四象限角.
故填三；二或第四.
（2） 【多选题】下列给出的角中，与 终边相同的角有（ ABD ）
A. B. C. D.
解：与 终边相同的角为 ，，
由,得，正确.
由,得，正确.
由,得，错误.
由,得，正确.
故选.
【点拨】①象限角的确定，一般先写出不等式，再由不等式性质确定，常需要对分类讨论.②与角 终边相同的角的集合为 ，，常用来判断所给角的象限，写终边相同角的集合，以及求与终边相同的相关角.
变式1
（1） 【多选题】下列说法正确的是（ CD ）
A. 第二象限角比第一象限角大
B. 角与 角是终边相同的角
C. 钝角一定是第二象限角
D. 将表的分针拨慢，则分针转过的角的弧度数为
解：中，如 是第二象限角， 是第一象限角，故错误.
中，因为 ,,所以 角与 角终边不同，故错误.
中，因为钝角的范围为,，所以钝角是第二象限角，故正确.
显然正确.故选.
（2） 终边在直线上，且在内的角 的集合为，，，.
解：如图，在坐标系中画出直线，可以发现它与 轴的夹角是.在 内，终边在直线 上的角有两个，即，.在 内满足条件的角有两个，即，.故满足条件的角 构成的集合为，，，.故填，，，.
考点二 扇形的弧长与面积问题
例2 已知扇形的半径为，弧长为，其周长为4.
（1） 若，求该扇形的面积.
解：因为,周长为，所以.所以扇形的面积.
（2） 求该扇形面积的最大值.
[答案]
因为，所以.则扇形的面积，当且仅当，即 时，等号成立.
所以扇形面积的最大值为1.
【点拨】直接用公式可求弧长，利用可求扇形面积，求最值问题常用二次函数或基本不等式.关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制两种形式，一般使用弧度制.
变式2 已知一扇形的圆心角为 ，半径为，弧长为，若，，求：
（1） 扇形的面积；
解：由已知，得.
（2） 扇形的弧长及该弧所在弓形（由弦及其所对的弧组成的图形）的面积.
[答案]
扇形的弧长，
.
考点三 三角函数的定义及应用
例3 【多选题】已知角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点,，将角 的终边逆时针旋转得到角 ，则下列结论正确的是（ AC ）
A. B.
C. D.
解：对于，由题意，得，所以 正确.
对于，由题意，得，所以，所以 错误.
对于，.或由题意，得,，所以，所以 正确.
对于，，所以 错误.故选.
【点拨】直接利用三角函数的定义，找到或根据已知给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，可以确定这个角的三角函数值.已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出关于参数的方程，求参数的值.
变式3
（1） 已知角 终边经过点.若，则的值为（ C ）
A. B. C. D.
解：角 的终边经过点，则.
由，得 且，解得.故选.
（2） 在平面直角坐标系中，将向量绕原点按顺时针方向旋转后得到向量，则 .
解：设以 轴正半轴为始边，为终边，对应的角为.根据题意，在第四象限，，得，，则.所以，.从而.故填.
课外阅读·三角函数中的数学文化
数学文化广义上是指数学史、数学美、数学与生活的交叉应用、数学与各种文化的关系以及这些因素的交互作用所构成的庞大体系，狭义上是指数学思想、数学精神、数学方法以及数学观点、数学语言等的形成和拓展.在长期的发展过程中，数学文化形成了注重思维、强调实用、讲究算法、关注数学审美价值等重要特点.下面第一小题以《梦溪笔谈》为背景，该书内容包含了数学、天文、物理、音乐、文学、工程技术等诸多领域，反映了中国古代，特别是北宋时期自然及人文科学的辉煌成就，被誉为“中国科学史上的里程碑”.第二小题以数学中美妙而又神秘的圆周率为基础，以国际圆周率日为背景，通过给出中外为求得圆周率而采用的经典“割圆术”思想，让考生求出其近似表达式，从而考查考生用三角函数等相关知识分析、解决问题的能力.在考生读题、解题的过程中，能充分体会数学思想之妙，感悟数学文化之美.
1. [2022年全国甲卷]沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是的中点，在上，.“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：.当, 时，（ B ）
A. B. C. D.
解：如图，连接.因为 是 的中点，所以.又，所以,,三点共线，即.又 ，所以.则，故.所以.故选.
2. [2020年北京卷]2020年3月14日是全球首个国际圆周率日.历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值.按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是 （ A ）
A. B.
C. D.
解：单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为，所以单位圆内接正 边形的周长为.
单位圆的外切正 边形的每条边长为，其周长为.
所以，则.故选.