2025高考数学一轮考点突破训练第三章一元函数的导数及其应用3.2导数在研究函数中的应用第2课时函数的极值与最大小值

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第三章一元函数的导数及其应用3.2导数在研究函数中的应用第2课时函数的极值与最大小值，共7页。试卷主要包含了利用导数解决函数的极值问题，利用导数解决函数的最值问题，利用导数解决实际问题等内容，欢迎下载使用。
命题角度1 求已知函数的极值
例1 已知函数，求的极值.
解： 的定义域为，且.
当 时，，所以函数 在 上单调递增；当 时，，所以函数 在 上单调递减.所以 在 处取得极小值.无极大值.
【点拨】求函数极值的步骤：第一步，确定函数的定义域；第二步，求导函数；第三步，解方程，求出在函数定义域内的所有根；第四步，列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值.
变式1 设函数，讨论函数的极值.
解：因为，所以.
当 时，恒成立，因此 在 上单调递减，此时无极值.
当 时，由，得;
由,得.
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，因此 有极大值.
综上所述，当 时，函数 无极值；
当 时，有极大值，无极小值.
命题角度2 已知极值情况求参数
例2 已知函数在处有极值10，则等于（ C ）
A. 11或18B. 11C. 18D. 17或18
解：因为函数 在 处有极值10，
所以，且.
即 解得 或
而当，时，，函数在 处无极值，故舍去.所以，所以.故选.
【点拨】解含参数的极值问题要注意是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验.
变式2 若函数的极小值点是，则的极大值为（ C ）
A. B. C. D.
解：由题意，知.
所以，解得.故，可得.
则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，所以 的极大值为.故选.
例3 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ D ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：因为 有两个不同的极值点，
所以 在 上有2个不同的零点.
所以 在 上有2个不同的零点.
所以 解得.故选.
【点拨】已知极值点个数求参数问题，一般化为已知零点求参数问题.若函数在区间内有极值，则在内一定不是单调函数，反之，若函数在某区间上单调,则函数没有极值.
变式3 【多选题】（2023年新课标Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（ BCD ）
A. B. C. D.
解：函数 的定义域为，.因为函数 既有极大值也有极小值，所以函数 在 上有两个变号零点.而，因此方程 有两个不等的正根,.
于是 即有
显然，即，错误，,,正确.
故选.
考点二 利用导数解决函数的最值问题
命题角度1 求函数最值
例4 已知函数.求：
（1） 函数的极值；
解：根据题意，可得 令，解得 或.
当，时,,单调递增.当 时，,单调递减.
故当 时，有极大值，且 的极大值为.当 时，有极小值,且 的极小值为.
（2） 函数在上的最大值与最小值;
[答案]
由（1），可知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.且,.
故 在 上的最大值为，最小值为.
（3） 函数在上的最大值.
[答案]
,的定义域为，.令，得.因为，所以.故 在,上单调递增，在,上单调递减.
所以当 时，在 上单调递增，此时；
当 时，在,上单调递增，在,上单调递减，此时.
综上所述，当 时，的最大值为；
当 时，的最大值为.
【点拨】不含参函数直接按步骤求最值.含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间.这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.
变式4
（1） [2022年全国乙卷]函数在区间上的最小值、最大值分别为（ D ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
解：,在区间,和,上，,,即 单调递增；在区间,上，,,即 单调递减.又,,,所以 在区间 上的最小值为,最大值为.故选.
（2） 已知函数，．求函数的最大值．
解：，所以．
①当 时,在 上恒成立,在 上单调递减.此时,无最大值.
②当 时,若,则,在 上单调递增；若,则,在 上单调递减．
所以 在 处取得最大值，最大值为．
命题角度2 已知最值情况求参数范围
例5 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 .
解：由题意，得，故 在，上单调递增，在 上单调递减，作出其图象如图所示.
令，得 或，则结合图象，可知 解得.故填.
【点拨】由于所给区间是开区间，故最值点不可能在区间端点处取得，进而分析极值点与区间端点的关系即可.
变式5 已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
解：由，得.由于，均为单调递增函数，故 在 上单调递增.因为 在 上有最小值，所以.
故选.
考点三 利用导数解决实际问题
例6 周长为的矩形，绕一条边恰好旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 .
解：设矩形的长为.因为矩形的周长为，所以宽为，其中.设矩形绕其宽旋转成一个圆柱，则圆柱的底面半径为，高为.
则圆柱的体积，
则.
当时，；当时，.
即 在 上单调递增，在,上单调递减.故当 时，圆柱体积取最大值，此时.故填 .
【点拨】函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自变量、因变量；二列，列出函数关系式，并写出定义域；三解，解出函数的最值，一般常用导数求解；四答，回答实际问题.
变式6 某厂生产某种产品件的总成本（单位：万元），又知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为225件时总利润最大.
解：设产品单价为.因为产品单价的平方与产品件数 成反比，所以（其中 为非零常数）.
又生产100件这样的产品单价为50万元，所以，故.
记生产 件产品时，总利润为，
则，,则.
由 得;由 得.
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因此,当 时，取最大值.即产量定为225件时，总利润最大.故填225.