2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与方程

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（1） 【多选题】如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ AD ）
A. B. C. D.
解：由题图，知，，则.故，且 为钝角，则.故选 .
（2） 直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为 .
解：
如图，因为，
，
直线 与线段 有交点,所以.
故填.
【点拨】①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在，直线倾斜角的范围是，斜率的取值范围是，同时要知道正切函数在上不单调.②求直线的倾斜角主要根据定义来求，求直线的斜率常用的有三种方法：定义法，公式法和导数法.
变式1
（1） （教材题改编）若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ A ）
A. 1B. 4C. 1或3D. 1或4
解：由题意,得,解得.故选 .
（2） 已知直线的一个方向向量为,，则直线的倾斜角为（ A ）
A. B. C. D.
解：由题意,可得直线 的斜率.所以直线 的倾斜角为.故选 .
（3） 点在以点，点，为端点的线段上，则的取值范围为,.
解：表示过点 和点 的直线的斜率.
如图，因为,,所以直线 的斜率,.故填,.
考点二 求直线方程
例2
（1） 求适合下列条件的直线方程.
① 过点，倾斜角为 .
解：因为倾斜角 ，所以斜率，所以直线的点斜式方程为，即.
② 过两点，.
[答案]因为斜率，所以直线的点斜式方程为，即.
③ 在轴、轴上的截距分别为，.
[答案]由题意，得直线的截距式方程为，即.
④ 直线经过点,且一个方向向量为.
[答案]由题意，得直线 的斜率为，所以直线 的方程为，即.
（2） 设直线的方程为若直线在轴上的截距为，则 .
解：由题意,知，即 且.
令，则.
所以，解得 或（舍去）.
所以.故填.
【点拨】①选用直线方程时，注意其适用条件.②注意截距相等包含截距为0的情形，截距不是距离.③若已知直线的一个方向向量的坐标为,,则直线的斜率为；若已知直线的一个方向向量的坐标为,,则直线的斜率为0；若已知直线的一个方向向量的坐标为,,则直线的斜率不存在.
变式2
（1） 求适合下列条件的直线方程.
① 过点，倾斜角是直线的倾斜角的.
解：因为 的斜率为，其倾斜角为 ，所以所求直线的倾斜角为 ，其斜率为.所以直线方程为，即.
② 直线过点,且在两坐标轴上的截距相等.
[答案]
若截距不为0,设直线的方程为.因为直线过点，所以，解得.
此时直线方程为.
若截距为0,设直线方程为，代入点，
有,解得.此时直线方程为.
综上，所求直线方程为 或.
③ 经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
[答案]由题意，可知所求直线的斜率为.又过点，得.所求直线的方程为 或.
④ 直线过点，且一个方向向量为.
[答案]由题意,得直线的斜率为0,所以直线的方程为.
⑤ 直线过点，且一个方向向量为.
[答案]由题意,得直线的斜率不存在,所以直线的方程为.
（2） 设直线的方程为.
① 若在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为或.
解：当直线 过原点时满足条件，此时.解得.可得直线 的方程为.
当直线 不过原点时，的斜率为，故.解得.可得直线 的方程为.
综上，直线 的方程为 或.
② 若不经过第二象限，则实数的取值范围为 .
[解析]直线 的方程变形为.
因为 不经过第二象限,所以
解得.
所以实数 的取值范围是.
考点三 直线方程的应用
例3 直线过点，分别交轴的正半轴和轴的正半轴于，两点.
解：依题意，的斜率存在，且斜率为负.
设.
令，可得,；
令，可得.
（1） 当最小时，求的方程；
[答案]

（注意）.
所以当且仅当 且，即 时，取最小值.此时 的方程为.
（2） 当最小时，求的方程.
[答案].所以当且仅当 且，即 时，取最小值.
此时 的方程为.
【点拨】①求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.②求参数值或范围，注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
变式3 若直线过点，则该直线在轴、轴上的截距之和的最小值为（ B ）
A. 1B. 4C. 2D. 8
解：因为直线 过点，所以，即.因为直线在 轴的截距为，在 轴上的截距为，所以直线在 轴、轴上的截距之和为，所以当 时取最小值，最小值为4.故选.