2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何专题突破14不规则建系及可不建系问题

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考点一 不规则建系问题
例1 如图所示，为等边三角形， 平面，，，，为线段上一动点．
（1） 若为的中点，证明：．
解：证明:因为 为 的中点，且 为等边三角形，所以.
因为 平面， 平面，所以.
因为，所以，，，四点共面.
因为， 平面，，所以 平面.
因为 平面，所以.
（2） 若，求二面角的余弦值．
[答案]
设 的中点为，连接.
在平面 内，过点 作 交 于点，由（1）可得,,两两垂直.
分别以，，所在直线为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为，，，所以,0,，，，.
所以,,，,0,，,0,．
设平面 的法向量为，
则
令，得，，所以平面 的一个法向量为.
设平面 的法向量为，
则
令，得，，所以平面 的一个法向量为,1,.
所以,.
由,的方向及夹角,知二面角 为锐角,
所以二面角 的余弦值为．
【点拨】寻找有垂线的平面，根据垂面的情况建立平面直角坐标系，或通过平面与平面垂直作平面的垂线，从而建立空间直角坐标系.当缺少垂直条件时，可以通过作辅助线找垂直关系,如等腰三角形的三线合一，菱形对角线相互垂直,进而找到直线与平面垂直.
变式1 [2023年新课标Ⅱ卷]如图，三棱锥中，，， ，为的中点．
（1） 证明：.
解：证明:如图，连接,.因为 为 的中点，，所以.
因为， ，所以 与 均为等边三角形.
所以，从而.
又，, 平面，
所以 平面.
又 平面，所以．
（2） 点满足，求二面角的正弦值．
[答案]
不妨设.因为，所以,．
所以，所以.又,，, 平面，所以 平面．
以 为原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则,,,.
.
因为，所以，则.
设平面 与平面 的法向量分别为,，二面角 的平面角为 .
所以
取，得.

取，得.
所以，
从而．
所以二面角 的正弦值为．
考点二 可不建系问题
例2 如图，在三棱台中，平面 平面， ，.
（1） 证明：；
解：证明：如图1，过点 作，交直线 于点，连接.
图1
由 ，,得.
由平面 平面,得 平面，所以.由 ，，得.
所以 平面，故.
由三棱台,得，所以.
（2） 求直线与平面所成角的正弦值.
[答案]
（方法一）过点 作，交直线 于点，连接.
由三棱台,得，所以直线 与平面 所成角等于直线 与平面 所成角.
由 平面,得，故 平面.所以 为直线 与平面 所成角.
设.由，，得，，所以.
因此直线 与平面 所成角的正弦值为.
（方法二）由三棱台,得，所以直线 与平面 所成角等于直线 与平面 所成角，记为 .过点 作，交 于点，易知，，两两垂直.
如图2，以 为原点，分别以射线,，为 轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
图2
设，则.由题意,知,,,.
因此,,.设平面 的法向量.
由 即 可取.
所以,.
因此直线 与平面 所成角的正弦值为.
【点拨】除了前述向量法外，利用二面角的定义和直线与平面垂直（三垂线定理及其逆定理）作二面角的平面角也是求二面角的常用方法.随着高考的发展，后面两种方法越来越受到重视.
变式2 如图,已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）的各条棱长均为2，且 ．
（1） 求证：平面 平面.
解：证明：如图，连接，,,.设.由底面是菱形，得.
由，得.因为 为 的中点，所以.
又因为,所以 平面.
因为 平面,所以平面 平面．
（2） 求直线与平面所成角的正弦值．
[答案]
（方法一）设直线 与平面 所成的角为 .
因为 平面，
所以，
易知，，
则.
（方法二）以 为坐标原点，为 轴，为 轴，过点 且与底面垂直的直线为 轴，建立如图所示的空间坐标系，则,,,.
过点 作底面的垂线，垂足为点.由三棱锥 为正三棱锥，知 为 的重心.
所以,，所以,0,.
设，由，得,0,，所以,,.
所以,,.
取平面 的一个法向量为.
设直线 与平面 所成的角为 ，
则.
所以直线 与平面 所成角的正弦值为．
规范答题——立体几何解答题
【范例】 [2022年新课标Ⅰ卷第19题]（12分）
如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
（1） 求点到平面的距离；
解：设点 到平面 的距离为，则
，解得.
所以点 到平面 的距离为.（4分）（由等体积法求点面距）
（2） 设为的中点，，平面 平面，求二面角的正弦值.
[答案]
取 的中点,连接,因为，所以.
又平面 平面，平面 平面，且 平面，所以 平面.
在直三棱柱 中， 平面，由 平面， 平面 可得，.
又, 平面 且相交，所以 平面.（6分）（由面面垂直的性质及判定可得 平面）
所以,,两两垂直，以 为原点，建立空间直角坐标系，如图.
由（1）得，所以，，所以，则,,,,
所以 的中点，则，,.（8分）（建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标及相关向量坐标）
设平面 的法向量，则 可取.设平面 的法向量，则（10分）（分别求平面和平面的法向量,）
可取.则,,
所以二面角 的正弦值为.（12分）（求与的余弦值,再求二面角的正弦值）
【拆解】
【一题多解】此题第二问还可以利用三垂线法作出二面角.易知 平面 ，过点作于点，连接，则为二面角平面角的补角，则 .
【总结提升】通过上述对题目的拆解及详答展示可以看出，立体几何中定理的正确理解和掌握是推理论证的保障,不能过于强调用向量坐标法解题，传统方法在平时训练中也应适当加强,可以选择一些不易建系的立体几何图形作为背景的问题进行训练.牢记定理与性质，并能活学活用，推证严密，步骤完善，计算准确是解立体几何解答题的关键.分类
参考赋分
难易
审题要点
考查内容
第一问
4分
较易
①整体来看，图形是常见图形，考查方式较为灵活.变化之处在于：一是第一问求距离；二是题目中的垂直关系需要利用条件进行合理转化，不能轻松建系.
②第一问求点面距离，由三棱柱和三棱锥体积关系，及三棱锥等体积的转化可以较快得出.
③第二问证 平面是解决问题的关键，然后通过建系，用空间向量法求出二面角的余弦值，进而用三角函数公式得出正弦值.
在基础性的层次上考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，以及三棱柱三棱锥的结构、点面距离的求解等必备知识.
第二问
8分
中上
在综合性和应用性的层次上考查理性思维、运算求解、推理论证、空间想象等关键能力，以及平面与平面垂直的性质定理、空间向量法、二面角等必备知识.