2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程考点2直线的方程

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[解析] 由题意可知BC的中点为Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，
∴kAH＝eq \f(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),－5－\f(3,2))＝－eq \f(1,13).
故所求直线的方程为y－0＝－eq \f(1,13)(x＋5)，
即x＋13y＋5＝0.
3．与直线3x－4y－5＝0关于y轴对称的直线的方程为 3x＋4y＋5＝0 .
[解析] 直线3x－4y－5＝0的斜率为eq \f(3,4)，与y轴交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,4)))，故所求直线的斜率为－eq \f(3,4)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,4)))，∴所求直线方程为y＝－eq \f(3,4)x－eq \f(5,4)，即3x＋4y＋5＝0.
4．(多选题)(2024·陕西部分学校联考)直线l经过点P(3，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是( BCD )
A．3x＋2y＝0 B．2x＋3y＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－1＝0
[解析] 解法一(检验法)：验证易知B，C，D符合题意．
解法二(直接法)：当直线l的截距为0时，直线l的方程为y＝－eq \f(2,3)x，即2x＋3y＝0.
当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,a)＋\f(－2,b)＝1，,|a|＝|b|，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－5，))
若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，))则直线l的方程为x＋y＝1，即x＋y－1＝0，
若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－5，))则直线l的方程为eq \f(x,5)＋eq \f(y,－5)＝1，即x－y－5＝0.故选BCD.
[引申]本例4中若去掉“绝对值”，则应选 BD .
名师点拨：
1．求解直线方程的方法
(1)直接法——根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．
(2)待定系数法——①设所求直线方程的某种形式；
②由条件建立所求参数的方程(组)；
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程．
2．谨防3个失误
(1)选用点斜式和斜截式时，注意讨论斜率是否存在．
(2)选用截距式时，注意讨论直线是否过原点，截距是否存在、是否为0.
(3)由一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，要注意讨论B是否为0.求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A>0.
【变式训练】
1．(2024·江西丰城中学月考)经过点P(1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是 2x－y＝0和x＋2y－5＝0 .
[解析] 若直线经过原点，则设直线方程为y＝kx，将P(1,2)代入可得2x－y＝0，若直线不经过原点，设直线方程为eq \f(x,2a)＋eq \f(y,a)＝1，将P(1,2)代入可得a＝eq \f(5,2)，所以直线方程为eq \f(x,5)＋eq \f(y,\f(5,2))＝1，即x＋2y－5＝0.
2．直线eq \r(3)x－y＋4＝0绕其与x轴的交点顺时针旋转eq \f(π,6)所得直线的方程为 eq \r(3)x－3y＋4＝0 .
[解析] 直线eq \r(3)x－y＋4＝0与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4\r(3),3)，0))，斜率为eq \r(3)，倾斜角θ为eq \f(π,3)，可知所求方程直线的倾斜角为eq \f(π,6)，斜率k＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或由k＝tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))求))，故所求直线的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4\r(3),3)))，即eq \r(3)x－3y＋4＝0.
3．(2024·湖北荆州中学期末)已知直线l的斜率为eq \f(1,6)，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为 x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0 .
[解析] 设直线方程为y＝eq \f(1,6)x＋b，则3b2＝3，∴b＝±1，故所求直线方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.