专题20 直线方程应用 -2025年高考数学一轮复习知识清单（全国通用）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc3502" 题型一：斜率几何意义 PAGEREF _Tc3502 \h 1
\l "_Tc7196" 题型二：倾斜角范围最值 PAGEREF _Tc7196 \h 2
\l "_Tc26871" 题型三：函数值域型求倾斜角 PAGEREF _Tc26871 \h 3
\l "_Tc3427" 题型四：直线方向向量 PAGEREF _Tc3427 \h 4
\l "_Tc25815" 题型五：含参直线过定点 PAGEREF _Tc25815 \h 5
\l "_Tc8004" 题型六：双直线含参型定圆 PAGEREF _Tc8004 \h 6
\l "_Tc16589" 题型七：截距式应用 PAGEREF _Tc16589 \h 6
\l "_Tc28727" 题型八：直线一般式方程理论 PAGEREF _Tc28727 \h 7
\l "_Tc21150" 题型九：直线光学性质 PAGEREF _Tc21150 \h 8
\l "_Tc4967" 题型十：两点距离公式应用 PAGEREF _Tc4967 \h 10
\l "_Tc11073" 题型十一：平行线应用 PAGEREF _Tc11073 \h 10
\l "_Tc24199" 题型十二：对称：“将军饮马”型最值 PAGEREF _Tc24199 \h 11
\l "_Tc30694" 题型十三：绝对值型 PAGEREF _Tc30694 \h 12
\l "_Tc10361" 题型十四：对称：叠纸型 PAGEREF _Tc10361 \h 13
题型一：斜率几何意义
斜率型分式几何意义
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).。
若满足
1．（24-25高二上·江西抚州·阶段练习）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（20-21高一下·辽宁大连·期中）设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1B．C．D．0
5．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是 ．
题型二：倾斜角范围最值
斜率与倾斜角关系是正切图像
由正切图象可以看出：①当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大；
②当α＝eq \f(π,2)时，斜率不存在，但直线存在；③当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大．
1．（24-25高二上·安徽滁州·阶段练习）过，两点的直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习，多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．函数的定义域为，则函数的定义域为
C．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是
D．若事件A与事件B相互独立，且，，则
5．（2024·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的上、下焦点，过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形．若直线的倾斜角，则的离心率的取值范围是 ．
题型三：函数值域型求倾斜角
斜率与倾斜角的关系，可以通过正切函数来对应
由正切图象可以看出：①当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大；
当α＝eq \f(π,2)时，斜率不存在，但直线存在；
当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大．
1．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知，，直线：上存在点P，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知分别是双曲线的上､下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（21-22高三上·辽宁铁岭·期末，多选）已知直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角可能为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 .
6．（22-23高三下·上海·阶段练习）已知曲线，点，是曲线上任意两个不同点，若，则称，两点心有灵犀，若，始终心有灵犀，则的最小值的正切值 ．
题型四：直线方向向量
与直线l平行的非零向量V ⃗都称为l的方向向量,用它们来表示直线的方向.
斜率为k的直线的方向向量为(1,k)的非零实数倍.
1．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习已知是互相垂直的单位向量，若直线和的方向向量分别为，则和所成的角的余弦值为（ ）
A．0B．C．D．
2．（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线l的一个方向向量为，直线l的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．0C．D．2
4．（23-24高二上·福建三明·期中，多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线：在y轴上的截距为2
B．直线的方向向量为
C．经过点，且在x，y轴上截距相等的直线方程为
D．已知直线过点，且与x，y轴正半轴交于点A、B两点，则面积的最小值为4
5．（2023·四川德阳·一模）已知实数成公差非零的等差数列，集合，，若，则的最大值为 .
题型五：含参直线过定点
直线系：
过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
所以，含参直线，可以通过分离构造方程组解出定点
1．（24-25·全国·模拟）以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）无论为何值，直线过定点（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习，多选）已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线l与圆C有两个交点
C．当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1
D．圆C与圆恰有三条公切线
5．（23-24高二下·广东清远·阶段练习）如果直线和曲线恰有一个交点，那么实数的取值范围是 .
题型六：双直线含参型定圆
如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。
1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。
3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算
1．（2024·广东茂名·模拟预测）已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知直线：与直线：交于点A，若点，则AB的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
4．（22-23高二上·福建莆田·阶段练习，多选）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则下列结论中正确的是（ ）
A．A点的坐标为B．点P的轨迹方程
C．D．的最大值为
5．（2024高二上·江苏·专题练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是 .
题型七：截距式应用
直线的截距和直线方程的截距式，关键有两点：
1.要注意截距为零的情况，
2.在截距不为零时，转化求解
1．（22-23高三·重庆·模拟）记函数在点处的切线为，若直线在轴上的截距恒小于，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
2．（19-20高一·云南普洱·阶段练习）过点在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（22-23高三·上海模拟）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
4．（23-24高二上·广东惠州·期中，多选）下列说法正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线必过定点
C．方程与方程表示同一条直线
D．经过点，且在轴上截距相等的直线方程为
5．（22-23高三·内蒙古赤峰·模拟）已知过点的直线L在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最小时，求直线L的方程为 ．
题型八：直线一般式方程理论
直线系型：
(1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0；
(3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
1．（22-23高二上·上海浦东新·）在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（ ）
A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上
B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行
C．若，则直线经过线段M，N的中点；
D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；
2．（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（ ）
A．无论，，如何，总是无解
B．无论，，如何，总有唯一解
C．存在，，，使是方程组的一组解
D．存在，，，使之有无穷多解
3．（21-22高三·全国·模拟）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（22-23高三·黑龙江哈尔滨·模拟，多选）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况说法错误的是（ ）
A．存在、、使之无交点
B．存在、、使之有无穷多交点
C．无论、、如何，总是无交点
D．无论、、如何，总是唯一交点
5．（24-25高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为.
题型九：直线光学性质
直线光学性质，即直线对称性质
关于轴对称问题：
（1）点关于直线的对称点，则有；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
1．（22-23·福建厦门·模拟）在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．24B．C．14D．
2．（19-20·江苏无锡·期中）如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．4,+∞C．D．
3．（21-22高二上·浙江绍兴·期中）如图，在直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为、、，O为原点，从O点出发的光线先经AC上的点反射到边AB上，再由AB上的点反射回到BC边上的点停止，则光线的斜率的范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·广东广州·期末，多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点Ax1,y1反射后，再经上另一点Bx2,y2反射后，沿直线射出，且经过点，则（ ）
A．当时，延长交直线于点，则、、三点共线
B．当时，若平分，则
C．的大小为定值
D．设该抛物线的准线与轴交于点，则
5．（2122高三·湖北宜昌·模拟）已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为 .
题型十：两点距离公式应用
求解形如的式子的最小值思路：
（1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；
（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；
（3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
1．（21-22高二上·河北保定·期末）的最小值为（ ）
A．5B．C．6D．
2．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知x，，若恒成立，则实数m的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·湖南长沙·期末）已知，且，则的最大值为（ ）
A．9B．12C．36D．48
4．（2024·甘肃定西·一模，多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
5．（20-21高三上·浙江温州·阶段练习）若，则的最小值是 ．
题型十一：平行线应用
两直线平行
(1)斜截式判断法：
两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2：
(ⅰ)若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)一般式判断法：设两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0，则有：
l1∥l2⇔A1 B2＝A2B1且A1 C2≠A2 C1；
1．（22-23高二上·四川南充·期中）对于圆上任意一点，的值与，无关，则的范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·重庆江北·阶段练习）若椭圆上的点到直线的最短距离是，则最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·全国·课后作业）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．4
4．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习，多选）下列选项正确的是（ ）
A．过点且和直线垂直的直线方程是
B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是
C．若直线与平行，则与的距离为
D．已知圆，圆，、分别是圆、上的动点，为直线上的动点，则的最小值为
5．（2024·湖北·模拟预测）若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
题型十二：对称：“将军饮马”型最值
1．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·宁夏银川·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．13B．11C．9D．7
3．（23-24高二上·河南新乡·期中）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4.（23-24高二上·江西·阶段练习，多选）．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为
5．（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
题型十三：绝对值型
1．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）设点是圆上任意一点，若为定值，则的值可能为
A．B．0C．3D．6
3．（22-23高二上·四川南充·期中）对于圆 上任意一点的值与无关，有下列结论:
① 点的轨迹是一个圆；
② 有最小值；
③ 当 时，有最大值；
④ 当 时，.
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（24-25高三上·广东·开学考试，多选）在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（ ）
A．若，则有最小值8
B．若，则A点轨迹是一个正方形
C．若，则有最大值15
D．若，则点A的轨迹所构成区域的面积为
5．（22-23·上海浦东新·阶段练习）已知实数、、、满足：，，，则的最大值为 .
题型十四：对称：叠纸型
1．（22-23高二上·浙江杭州·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点和点重合，点和点重合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（20-21高二·全国·模拟）在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）．在圆上任取一点M，将纸片折叠使M与点F重合，得到折痕CD．设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为（ ）
A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线
5．（22-23高二上·浙江宁波·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点P(1，2)与点Q(-2，1)重合，则直线y=x+4关于折痕对称的直线为 .