人教A版高中数学必修第二册第7章7-17-1-2复数的几何意义讲义

这是一份人教A版高中数学必修第二册第7章7-17-1-2复数的几何意义讲义，共8页。

7.1.2　复数的几何意义我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示，复数作为数系的扩充，能不能进行几何表示呢？让我们来一起探究吧！知识点1　复数的几何意义1．复平面(1)复平面：建立了直角坐标系来表示________的平面叫做复平面．(2)实轴：坐标系中的x轴叫做________，实轴上的点都表示________．(3)虚轴：坐标系中的y轴叫做________，除了原点外，虚轴上的点都表示________．1.实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．复数的几何意义(1)复数集C中的数与复平面内的点一一对应：复数z＝a＋bi复平面内的点________；(2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应：复数z＝a＋bi平面向量________．知识点2　复数的模1．定义：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作________．3．公式：|z|＝|a＋bi|＝________．知识点3　共轭复数1．定义：一般地，当两个复数的实部________，虚部________时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做________．2．表示：复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi．2.共轭复数在复平面内对应的点有什么关系？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)原点是实轴和虚轴的交点． (　　)(2)若OZ＝(0，－3)，则OZ对应的复数为－3i． (　　)(3)复数z＝－1－2i在复平面内对应的点位于第四象限． (　　)2．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________．3．复数z＝－3－2i的共轭复数z＝________． 类型1　复数与复平面内的点的关系【例1】　求实数a分别取何值时，复数z＝a2-a-6a+3＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x轴上方．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[母题探究]1．本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用复数与点的对应解题的步骤(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．[跟进训练]1．(1)已知a∈R，则复数(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i对应的点在复平面内的第________象限．(2)已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为________． 类型2　复数与复平面内向量的对应【例2】　在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点．(1)求向量OA+OB和AC对应的复数；(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[跟进训练]2．在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　复数的模及其应用【例3】　已知复数z1＝3－i，z2＝－12＋32i．(1)求|z1|，|z2|的模并比较大小；(2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？作图表示．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．复数的模的计算计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．2．复数模的几何意义(1)|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形．(2)利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决．[跟进训练]3．(1)(2022·广西桂林期末)满足1≤z≤3的复数z在复平面上对应的点构成的图形的面积为(　　)A．π B．2π　　　C．8π　　　 D．9π(2)若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则z的共轭复数z＝________．1．复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是(　　)A．(3，－5)　 B．(3，5)C．(3，－5i) D．(3，5i)2．已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　)A．(－1，2) B．(－2，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)3．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1－2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量OB对应的复数为(　　)A．－2－i B．2＋iC．1－2i D．－1＋2i4．向量a＝(3，4)，设向量a对应的复数为z，则z的共轭复数z＝________，|z|＝________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．复数与复平面内的点、复平面内的向量有什么关系？2．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|等于多少？其几何意义是什么？3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数z如何表示？学习任务1．掌握用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(数学抽象)2．掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念．(数学抽象)3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(逻辑推理)