人教A版高中数学必修第二册第6章6-2-4第1课时向量数量积的概念及性质讲义

这是一份人教A版高中数学必修第二册第6章6-2-4第1课时向量数量积的概念及性质讲义，共9页。

6.2.4　向量的数量积第1课时　向量数量积的概念及性质大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ．问题：该大力士所做的功是多少？知识点1　向量的数量积1．两向量的夹角已知两个________向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(________)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0时，向量a，b________；当θ＝π时，向量a，b________；当θ＝π2时，向量a与b______，记作a⊥b．1．如何作出向量a与b的夹角？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．平面向量数量积的定义已知两个________向量a与b，它们的夹角为θ，把数量________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝________．规定：零向量与任一向量的数量积为________．2．把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3．投影向量设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称这种变换为向量a向向量b投影，________叫做向量a在向量b上的投影向量．3．如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么OM1与e，a，θ之间有怎样的关系？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点2　向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ．(2)a⊥b⇔________＝0．(3)当a与b同向时，a·b＝________；当a与b反向时，a·b＝________．特别地，a·a＝________或|a|＝________．(4)|a·b|________|a||b|．4．若a·b＝0，则a⊥b一定成立吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5．a·b的符号与两向量的夹角有何关系？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝(　　)A．－32　 B．－62　 C．62 　D．22．若向量a，b的夹角为60°，则向量a与－b的夹角为________．3．已知|a|＝5，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影向量为________． 类型1　定义法求向量的夹角【例1】　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．[跟进训练]1．如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　平面向量的数量积运算【例2】　如图，在▱ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°，求：(1)AD·BC；(2)AB·DA．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　定义法求平面向量的数量积(1)求模：分别求|a|和|b|．(2)求夹角：注意向量a与b的方向．(3)求数量积：a·b＝____________．[跟进训练]2．已知|a|＝6，|b|＝5，分别求下列情况下a与b的数量积：(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　投影向量【例3】　已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：(1)向量a在向量b上的投影向量；(2)向量b在向量a上的投影向量．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　投影向量的求法方法一：用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量．方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量为________________．[跟进训练]3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．在▱ABCD中，∠DAB＝30°，则AD与CD的夹角为(　　)A．30° B．60°　　 C．120°　　 D．150°2．已知|a|＝3，|b|＝6，当a∥b时，a·b＝(　　)A．18 B．－18C．±18 D．03．设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________．4．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为π3，则b在a方向上的投影向量为________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．向量夹角的范围是多少？2．如何求两个向量的数量积？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？4．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？5．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？ 学习任务1．了解向量的数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．(数学抽象)2．掌握向量的数量积的定义及投影向量．(数学抽象)3．会计算平面向量的数量积．(数学运算)