人教A版高中数学必修第二册第6章6-2-4第2课时向量数量积的运算律讲义

这是一份人教A版高中数学必修第二册第6章6-2-4第2课时向量数量积的运算律讲义，共6页。

第2课时　向量数量积的运算律我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律．例如，向量的加法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ(a＋b)＝λa＋λb．根据向量数量积的定义，探讨向量数量积的运算满足哪些运算律，并说明理由．知识点1　向量数量积的运算律(1)a·b＝________．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝________．(3)(a＋b)·c＝________．知识点2　数量积运算的常用公式(1)(a＋b)2＝_______________．(2)(a－b)2＝_______________．(3)(a＋b)·(a－b)＝________．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a·b＝b·c推不出a＝c． (　　)(2)对于向量a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a都成立． (　　)2．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________． 类型1　求数量积【例1】　已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．[跟进训练]1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________． 类型2　与向量模有关的问题【例2】　(源自人教B版教材)(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．[跟进训练]2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　与向量垂直、夹角有关的问题【例3】　(1)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为13，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)A．4　　　B．－4　　　C．94　　　D．－94(2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，求k的取值范围．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[母题探究]将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求两向量夹角的方法(1)一般是利用夹角公式：cos θ＝a·bab．(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0且两向量不共线时，两向量的夹角为钝角．[跟进训练]3．已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．02．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于(　　)A．32 　　　B．－32　　　C．±32　　　D．13．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝3，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．向量的数量积满足哪些运算律？2．向量的夹角与其数量积之间存在什么关系？　学习任务1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．(逻辑推理)2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．(数学运算)