人教A版高中数学必修第二册第7章章末综合提升学案

这是一份人教A版高中数学必修第二册第7章章末综合提升学案，共13页。
类型1　复数的概念1．复数的概念包括虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．理解复数的相关概念是解答相应问题的关键．2．掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养．【例1】　(1)设i是虚数单位，若复数a＋6+2ii-1(a∈R)是纯虚数，则a＝(　　)A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1(2)(2022·北京高考)若复数z满足i·z＝3－4i，则z＝(　　)A． 1　　　B．5　　　C．7 　　　D．25(3)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为(　　)A．0　　　B．－1　　　C．1 　　　D．－2(1)C　(2)B　(3)A　[(1)∵a＋6+2ii-1＝a＋6+2i-1-i-1+i-1-i＝a＋-4-8i2＝a－2－4i是纯虚数，∴a－2＝0，即a＝2.故选C．(2)由条件可知z＝3-4ii＝－4－3i，∴|z|＝5． (3)∵z＝1＋i，∴z＝1－i，∴z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A．] 类型2　复数的四则运算1．复数运算包括复数的加法、减法、乘法和除法，它是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点．2．借助复数运算的学习，提升数学运算素养．【例2】　已知复数z＝(1＋2i)(－2＋i)－3+i1+i．(1)化简复数z；(2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求实数a，b的值．[解]　(1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－3+i1-i1+i1-i＝－4－3i－4-2i2＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i．(2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0，∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0，∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0，∴22-12a-b=0，26-4a+b=0. 解得a=3，b=-14. 类型3　复数的几何意义1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及向量OZ之间是一一对应关系，另外复数加减法的几何意义与向量加减法的几何意义一致．2．通过复数几何意义的学习，培养直观想象素养．【例3】　(1)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)(多选)已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点)，OZ与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为(　　)A．1＋3i B．－1＋3iC．－1－3i D．1－3i(3)复数z满足|z＋3－3i|＝3，则|z|的最大值是________，|z|的最小值是________．(1)A　(2)BC　(3)33　3　[(1)因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A．(2)设复数z在复平面内对应的点的坐标为Z(a，b)．根据题意可画图形如图所示．∵|z|＝2，且OZ与x轴正方向的夹角为120°，∴a＝－1，b＝±3，即点Z的坐标为(－1，3)或(－1，－3)．∴z＝－1＋3i或－1－3i． (3)|z＋3－3i|＝3表示以－3＋3i对应的点P(－3，3)为圆心，以3为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋3i|＝12＝23，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋3＝33，|z|min＝|OB|＝|OP|－3＝3．]章末综合测评(二)　复数(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则(　　)A．a＝1，b＝－1　 B．a＝1，b＝1C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1A　[因为a，b∈R，a+b＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝2，解得a＝1，b＝－1．故选A．]2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝1-i2+2i，则z－z＝(　　)A．－i　　　B．i　　　C．0　　　D．1A　[因为z＝1-i2+2i＝1-i1-i21+i1-i＝-2i4＝－12i，即z－z＝－i.故选A．]3．已知i是虚数单位，则化简1+i1-i2 023的结果为 (　　)A．i　　　B．－i　　　C．－1 　　　D．1 B　[因为1+i1-i＝1+i21-i1+i＝1+2i+i22＝i，所以1+i1-i2 023＝i2 023＝i3＝－i．]4．复数2-i1-3i在复平面内对应的点所在的象限为(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A　[2-i1-3i＝2-i1+3i10＝5+5i10＝1+i2，所以该复数对应的点为12，12，该点在第一象限．]5．如图，若向量OZ对应的复数为z，则z＋4z表示的复数为(　　)A．1＋3i B．－3－iC．3－i D．3＋iD　[由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋4z＝1－i＋41-i＝1－i＋41+i1-i1+i＝1－i＋4+4i2＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选D．]6．(2022·广西桂林中学月考)设z∈C，满足2≤z+i≤3，其在复平面对应的点为Z，求点Z构成的集合所表示的图形面积(　　)A．1　　　B．5　　　C．π 　　　D．5πD　[设复数z＝x＋yix，y∈R，则z＋i＝x＋y+1i，z+i＝x2+y+12．则2≤x+y+1i≤3等价于2≤x2+y+12≤3，即有4≤x2＋y+12≤9．所以复平面对应的点为Zx，y表示复平面上以0，-1为圆心，以2，3为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)，故其面积为9π－4π＝5π．故选D．]7．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于(　　)A．2－2i B．2＋2iC．－2＋2i D．－2－2iA　[由b是方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)的根可得b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，整理可得(b＋a)i＋(b2＋4b＋4)＝0，所以b+a=0， b2+4b+4=0，解得a=2， b=-2，所以z＝2－2i．]8．已知z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，则x＋3y的最大值为(　　)A．1＋3　　　B．2　　　C．1 　　　D．3B　[∵z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，∴x2＋y2＝1.设x＝cos θ，y＝sin θ，θ∈R，∴x＋3y＝cos θ＋3sin θ＝2sin θ+π6，∴x＋3y的最大值是2，故选B．]二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为(　　)A．(3，1) B．(－2，0)C．(0，4) D．(－1，－5)ACD　[易知选项A、B、C、D中的点对应的复数分别为3＋i，－2，4i，－1－5i，因此A、C、D中的点对应的复数为虚数．]10．已知方程x2＋2x－a＝0，其中a