第三章《圆锥曲线》同步单元必刷卷（基础卷）（原卷版+解析版）

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第三章《圆锥曲线》同步单元必刷卷（基础卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．已知，分别是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用双曲线的定义求出 ， ， ，利用余弦定理得出结果即可.【详解】由题意可得 ，由双曲线的定义得 ，而 ，解得 ， 由余弦定理得所以 .故选：A.2．已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且M是的中点，则直线AB的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出抛物线方程，再用点差法求出直线斜率，最后写出直线方程.【详解】因为抛物线焦点为，所以，设，，则，，所以，易知，所以，又，所以，所以直线的方程为，即，故选：B3．直线与椭圆C：的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据在椭圆上和直线上列方程，整理后求得椭圆的离心率.【详解】设在第一象限的交点为A，右焦点为，根据题意：轴，A在椭圆上，由解得，则，A在直线上，则，所以，，，所以，解得.故选：A4．双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由双曲线的渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系，以及直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由于双曲线的渐近线为，且注意到双曲线的离心率为，又在双曲线中有平方关系：，所以离心率为，又由题意，所以有，解得，即双曲线的渐近线的斜率为，由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是或.故选：B.5．已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（    ）A．的周长为6 B．的面积为C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为【答案】D【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D.【详解】由题意知，，，，由椭圆的定义知，，，∴的周长为，即A正确；将代入椭圆方程得，解得，∴的面积为，即B正确；设的内切圆的半径为r，则，即，∴，即C正确；不妨取，则，，∴的面积为，即，∴，由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误，故选:D.  6．已知抛物线：的准线为直线，直线与交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的焦半径公式和得到，联立直线和抛物线方程，根据韦达定理得到，然后根据三角形面积得到.可得答案.【详解】由题可得抛物线方程为，所以，如图所示，则，解得，  联立方程，消去y得：．可知，解得，所以．故选：C．7．已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，若，且直线的斜率，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合共线向量的坐标表示公式、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】由题意可知，设该椭圆右焦点坐标为，因为直线的斜率，所以设直线的方程为， 与椭圆方程联立，得，设，则有，因为，所以，所以有，消去，得，故选：B【点睛】关键点睛：本题的关键是利用，得到，进而利用一元二次方程根与系数关系进行求解.8．已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据得到为直角三角形，进而根据点差法得中点弦的性质即可求.【详解】设,，设的中点为，由于，故,因此为直角三角形，故，由于，所以，进而可得，故或，由在双曲线渐近线上，所以，进而，当时，,，所以，当时，,，所以不符合题意，舍去，综上：故离心率为.故选：A  多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】设椭圆方程为，椭圆与y轴正半轴的交点为B，椭圆C上存在点P，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解．【详解】根据选项，设椭圆的方程为，设椭圆的上顶点为，  椭圆上存在点，使得，则需，所以，即，因为，，则，检验可得选项A，D满足.故选：AD.10．已知双曲线的左、右焦点分别为是右支上一点，下列结论正确的有（    ）A．若的离心率为，则过点且与的渐近线相同的双曲线的方程是B．若点，则的最小值为C．过作的角平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值为D．若直线与其中一条渐近线平行，与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为【答案】BD【分析】对于A项，设出与共渐近线的双曲线的方程代入求解即可，对于B项，运用双曲线的定义及两点之间线段最短即可求解，对于C项，由三角形中位线性质可得，即可得点Q的轨迹为圆，转化为求圆上的点到直线的最大距离求解即可，对于D项，设直线的方程，进而求得点M的坐标，由求得点P的坐标，将点P的坐标代入双曲线的方程即可求得离心率.【详解】于A项，因为双曲线的离心率为，即，则.因为双曲线与的渐近线相同，则设双曲线的方程为（），将代入得，解得，所以双曲线的方程为，故A项不正确；对于B项，如图所示，  因为是右支上一点，所以由双曲线定义可知，又因为在双曲线内，所以，故B项正确；对于C项，如图，延长并与相交于点B，连接.  由题可知，为的中点，则，所以，则是以为圆心，为半径的圆上一点.又点到直线的距离，所以点到直线的距离的最大值为，故C项不正确.对于D项，如图所示，  根据对称性，不妨设直线的方程为，联立方程组得，设，则，，由，则，解得，即，将点代入双曲线的方程得，即，所以双曲线的离心率，故D项正确.故选：BD.11．已知是抛物线的焦点，是上的两点，为原点，则（    ）A．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为B．若，则的面积为C．若直线过点，则的最小值为D．若，则直线恒过定点【答案】BCD【分析】对于A，由条件可得垂直于轴，然后可得四边形的周长，对于B，由条件可得点的横纵坐标，即可得的面积，对于C，设直线，然后联立抛物线的方程消元，然后得到，然后结合基本不等式可得的最小值，对于D，设直线，然后联立抛物线方程消元，然后由可求出的值.【详解】  对于选项，由题意知，且垂直于轴，根据抛物线的定义可知.设与轴的交点为，易知，故，所以四边形的周长为，选项错误；对于选项，由题意得，解得，所以，从而，选项正确；对于选项，若直线过点，设直线，联立直线与抛物线方程得，易得，则，所以，当且仅当时，等号成立，选项C正确；对于选项D，设直线，联立直线与抛物线方程得，则，即，，所以，由可得，即，解得，故直线的方程为，即直线恒过定点，选项D正确.故选：BCD.12．已知，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）A．B．若，则C．若，则D．若，则的取值范围是【答案】BCD【分析】根据椭圆以及双曲线的关系，即可判断A项；根据椭圆以及双曲线的定义，结合余弦定理，可推得B、C项；根据椭圆以及双曲线的定义结合三角形的三边关系，得出的关系式.进而根据对勾函数的单调性，即可得出D.【详解】  对于A项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，，故A项错误；对于B项，根据椭圆以及双曲线的定义可得，所以，.在中，由余弦定理可得，即，整理可得，.所以有，即，故B项正确；对于C项，若，则为直角三角形，所以，，即，整理可得，，两边同时除以可得，，即，故C项正确；对于D项，由已知可得.所以，.令，则.因为，所以.又，所以有，所以有；，所以有，所以有.所以，.由对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以，，所以，，故D正确.故选：BCD.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，为椭圆的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．【答案】4【分析】根据椭圆的性质，以及直角三角形的特征可判断四边形为矩形，然后求解即可；【详解】因为，为上关于坐标原点对称的两点，且，    所以,所以四边形为矩形，设，，则，，所以，解得：，即四边形面积为4．故答案为：4.14．已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ．【答案】【分析】设圆的半径为，根据题意可得，两式相减，再结合双曲线的定义即可得解.【详解】设圆的半径为，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为圆与圆、圆外切，则，所以，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，又，则，所以其轨迹方程为．故答案为：．15．过抛物线的焦点的直线与交于两点，从点分别向准线作垂线，垂足分别为，线段的中点为，则弦的长为 .【答案】5【分析】设可得，设直线的方程为，与抛物线方程联立求出，求出，利用可得答案.【详解】由已知得抛物线的准线方程为，，设，所以的中点的坐标为，所以，设直线的方程为，与抛物线方程联立可得，所以，可得，所以，所以.故答案为：5.    16．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为 ．【答案】【分析】设，表示出，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于的方程，即可求得p，即得答案.【详解】由可知，设，则，则，故，即①；又点在抛物线上，故②，且，即③，②联立得，得或，由于，故，结合③，解得，故抛物线方程为，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点.(1)求椭圆的方程：(2)动直线：与椭圆相切，点，是直线上的两点，且，，求四边形的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程可得到，，进而得到椭圆方程；（2）联立直线与椭圆的方程，消去，得到的二次方程，运用直线与椭圆相切的条件求出，再由点到直线的距离公式，结合直角梯形的面积公式即可得到所求值.【详解】（1）由题意可得，，将点代入椭圆方程得，解得，，，椭圆方程为；（2）由可得，直线与椭圆相切，，解得，由对称性可取直线，焦点，，，，四边形的面积为.  18．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.(1)求轨迹为的方程(2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，设出点的坐标，列出等式，进而求得点的轨迹的方程；（2）设出直线的方程，将直线的方程与轨迹的方程联立，结合判别式和根的范围，即可求解.【详解】（1）解：设是轨迹上的任意一点，因为点到点的距离比它到的距离多，可得，即，整理得，所以点的轨迹的方程为.（2）解：在点轨迹中，记，因为斜率的直线过定点，不妨设直线的方程为，联立方程组，整理得，当时，，此时，可得直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，可得，不妨设直线与轴的交点为，令，解得，若直线与轨迹恰好有一个公共点，则满足，解得或， 综上，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点.19．已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．(1)求的方程；(2)过点的直线与交于，两点，求的值．【答案】(1)(2)0【分析】（1）由题意知，取双曲线的一条渐近线，再根据点到直线的距离公式即可得到与关系式，从而求得，进而可求得的方程；（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则可得到，的坐标，进而可直接求解的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线的方程和的方程可得到关于的一元二次方程，从而可得到，，代入即可求解的值，综上，即可得到的值．【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即，所以到的一条渐近线的距离为，所以，又，解得，所以的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，解得，所以，，所以．综上，．20．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．(1)求椭圆的方程；(2)倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可求解；（2）设的方程，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，根据题意，列出方程，求得，即可求解.【详解】（1）由椭圆的离心率为，即，可得，由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，解得，，，所以椭圆的方程．（2）解：因为直线的倾斜角为，可设的方程，由方程组，整理得，可得，解得，设，，则，，又由，解得，满足，所以直线的一般式方程为或．21．已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，动圆与圆和圆均外切，记动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)若是上一点，且，求的面积.【答案】(1)(2)24【分析】（1）根据已知条件结合双曲线的定义即可求解；（2）设，则，由，建立关系式求出，，再利用三角形面积公式求出即可.【详解】（1）设动圆的半径为，因为圆与圆和圆均外切，所以，，则，根据双曲线的定义可知，的轨迹是以，为焦点的双曲线的一支.设方程为，由，又，所以，所以的方程为.（2）设，则.因为.所以，即，解得或（舍去）.故的面积为：.22．已知点在椭圆上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且，的斜率之积为.(1)求的方程；(2)过的两焦点、作两条相互平行的直线，交于，和，，求四边形面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，设，，，表达出，从而得到方程，求出，得到椭圆方程；（2）先考虑，的斜率不存在时四边形面积为，再考虑，的斜率存在时，结合弦长公式，表达出四边形面积为，换元后得到，求出，求出四边形面积的取值范围.【详解】（1）由题意得，设，，，则，，故，又，的斜率之积为，故，解得，所以椭圆；（2）由（1）知，，故，当，的斜率不存在时，四边形为矩形，令得，，故，同理可得，故，，故四边形面积为，当，的斜率存在时，由对称性可知，四边形为平行四边形，设，联立得，易得，设，则，则，设点到直线的距离为，则，故四边形面积为，令，则，则，因为，所以，故，，，，故，综上：四边形面积的取值范围是.