【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线与抛物线的位置关系

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线与抛物线的位置关系，共15页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共26小题；共130分）
1. 过抛物线 y2=4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 Px1,y1，Qx2,y2 两点，如果 x1+x2=6，则 PQ 等于
A. 9B. 8C. 7D. 6

2. 过点 0,1 且与抛物线 y2=mxm>0 只有一个公共点的直线有
A. 一条B. 两条C. 三条D. 由 m 的值确定

3. 如图，已知抛物线的方程为 x2=2pyp>0，过点 A0,−1 作直线与抛物线相交于 P，Q 两点，点 B 的坐标为 0,1，连接 BP，BQ，设 QB，BP 与 x 轴分别相交于 M，N 两点．如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为 −3，则 ∠MBN 的大小等于
A. π2B. π4C. 2π3D. π3

4. 已知抛物线 y2=4x，过焦点 F 作直线与抛物线交于点 A，B（点 A 在 x 轴下方），点 A1 与点 A 关于 x 轴对称．若直线 AB 的斜率为 1，则直线 A1B 的斜率为
A. 33B. 3C. 22D. 2

5. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，则 ∣AF∣⋅∣BF∣ 的最小值是
A. 2B. 2C. 4D. 22

6. 抛物线 y=−x2 上的点到直线 4x+3y−8=0 距离的最小值是
A. 43B. 75C. 85D. 3

7. 过点 0,1 且与抛物线 y2=4x 只有一个公共点的直线有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 0 条

8. 已知直线 l 过抛物线 C:x2=2pyp>0 的焦点，且与该抛物线交于 M，N 两点．若线段 MN 的长是 16，MN 的中点到 x 轴的距离是 6，则 p 的值为
A. 16B. 12C. 8D. 4

9. 设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点 −2,0 且斜率为 23 的直线与 C 交于 M，N 两点，则 FM⋅FN=
A. 5B. 6C. 7D. 8

10. 如图，圆 F:x−12+y2=1 和拋物线 x=y24，过点 F 的直线与抛物线和圆依次交于 A，B，C，D 四点，则 ∣AB∣⋅∣CD∣ 的值是
A. 1B. 2C. 3D. 无法确定

11. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，Q 为抛物线上一点，连接 FQ 并延长交抛物线的准线于点 P，且点 P 的纵坐标为负数，若 3∣PQ∣=2∣QF∣，则直线 PF 的方程为
A. 3x−y−3=0
B. 3x+y−3=0
C. 3x+y−3=0 或 3x−y−3=0
D. x−3y−1=0

12. 已知抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F，过点 Mp,0 的直线交抛物线于 A，B 两点，若 AM=2MB，则 ∣AF∣∣BF∣=
A. 2B. 52C. 2D. 与 p 有关

13. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，过点 F 的直线交 l 于点 A，与抛物线的一个交点为 B，且 FA=−2FB，则 ∣AB∣=
A. 3B. 9C. 6D. 12

14. 设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点 −2,0 且斜率为 23 的直线与 C 交于 M，N 两点，则 FM⋅FN=
A. 5B. 6C. 7D. 8

15. 已知抛物线 C：x2=4y 的焦点为 F，直线 x−2y+4=0 与 C 交于 A，B 两点，则 sin∠AFB=
A. 45B. 35C. 34D. 55

16. 过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F，且斜率为 3 的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴的上方），l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN⊥l，则 M 到直线 NF 的距离为
A. 5B. 22C. 23D. 33

17. 过抛物线 E:y2=2pxp>0 的焦点 F，作斜率大于 0 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点（A 在 B 的上方），且 l 与抛物线 E 的准线交于点 C，若 CB=3BF，则 ∣AF∣∣BF∣=
A. 2B. 52C. 3D. 94

18. 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，过点 −2,0 且斜率为 23 的直线与 C 交于 M，N 两点，则 FM⋅FN=
A. 5B. 6C. 7D. 8

19. 点 P 在直线 l:y=x−1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y=x2 于 A，B 两点，且 ∣PA∣=∣AB∣，则称点 P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是
A. 直线 l 上的所有点都是“A 点”
B. 直线 l 上仅有有限个点是“A 点”
C. 直线 l 上的所有点都不是“A 点”
D. 直线 l 上有无穷多个点（不是所有的点）是“A 点”

20. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F，点 Mx0,22x0>p2 是抛物线 C 上一点，以点 M 为圆心的圆与直线 x=p2 交于 E，G 两点．若 sin∠MFG=13，则抛物线 C 的方程是
A. y2=xB. y2=2xC. y2=4xD. y2=8x

21. 抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足 ∠AFB=120∘．过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 MNAB 的最大值为
A. 33B. 1C. 233D. 2

22. 已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则 AB+DE 的最小值为
A. 16B. 14C. 12D. 10

23. 抛物线 y2=2px 与直线 2x+y+a=0 交于 A，B 两点，其中点 A 的坐标为 1,2，设抛物线的焦点为 F，则 ∣FA∣+∣FB∣ 的值等于
A. 7B. 35C. 6D. 5

24. 过点 0,−12 的直线 l 与抛物线 y=−x2 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则 OA⋅OB 的值为
A. −12B. −14C. −4D. 无法确定

25. 点 P 在直线 l：y=x−1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y=x2 于 A，B 两点，且 PA=AB，则称点 P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是
A. 直线 l 上的所有点都是“A 点”
B. 直线 l 上仅有有限个点是“A 点”
C. 直线 l 上的所有点都不是“A 点”
D. 直线 l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“A 点”

26. 已知 P 是抛物线 y2=4x 上一动点，则点 P 到直线 l:2x−y+3=0 和 y 轴的距离之和的最小值是
A. 3B. 5C. 2D. 5−1

二、选择题（共4小题；共20分）
27. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点 F 到准线的距离为 2，过点 F 的直线与抛物线交于 P，Q 两点，M 为线段 PQ 的中点，O 为坐标原点，则
A. C 的准线方程为 y=−1B. 线段 PQ 长度的最小值为 4
C. S△OPQ≥2D. OP⋅OQ=−3

28. 设 M，N 是抛物线 y2=x 上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线 OM，ON 的斜率之积为 −12，则下列结论中不正确的是
A. OM+ON≥42
B. O 到直线 MN 的距离不大于 2
C. 直线 MN 过抛物线 y2=x 的焦点
D. 以 MN 为直径的圆的面积大于 4π

29. 设抛物线 y=ax2a>0 的准线与对称轴交于点 P，过点 P 作抛物线的两条切线，切点分别为 A 和 B，则
A. 点 P 坐标为 0,−14aB. 直线 AB 的方程为 y=14a
C. PA⊥PBD. AB=12a

30. 抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，一束平行于 x 轴的光线 l1 从点 M3,1 射入，经过抛物线上的点 Px1,y1 反射后，再经抛物线上另一点 Qx2,y2 反射后，沿直线 l2 射出，则下列结论中正确的是
A. x1x2=1B. kPQ=−43
C. ∣PQ∣=254D. l1 与 l2 之间的距离为 4
答案
第一部分
1. B【解析】抛物线 y2=4x 的焦点为 F1,0，准线方程为 x=−1．
根据题意可得，PQ=PF+QF=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8．
2. C【解析】数形结合，直线 x=0，y=1 ，另外还有一条切线．
3. D【解析】设直线 PQ 的方程为：y=kx−1，Px1,y1，Qx2,y2，
由 y=kx−1,x2=2py 得 x2−2pkx+2p=0，Δ>0，
则 x1+x2=2pk，x1x2=2p，
kBP=y1−1x1，kBQ=y2−1x2，
kBP+kBQ=y1−1x1+y2−1x2=kx1−2x1+kx2−2x2=2kx1x2−2x1+x2x1x2=2k⋅2p−2⋅2pk2p=0,
即 kBP+kBQ=0, ⋯⋯①
又 kBP⋅kBQ=−3, ⋯⋯②
联立 ①② 解得 kBP=3，kBQ=−3，
所以 ∠BNM=π3，∠BMN=π3，
故 ∠MBN=π−∠BNM−∠BMN=π3．
4. C【解析】抛物线 y2=4x 的焦点 F1,0，设 Ax1,y1，Bx2,y2，A1x1,−y1．
则可得直线 AB 的方程为 y=x−1，
联立方程 y=x−1,y2=4x, 得 x2−6x+1=0，Δ>0．
则有 x1+x2=6，x1x2=1，
直线 A1B 的斜率 k=y2−−y1x2−x1=y2+y1x2−x1=x1+x2−2x1+x22−4x1x2=22，
故直线 A1B 的斜率为 22．
5. C
【解析】设直线 AB 的倾斜角为 θ，
可得 ∣AF∣=21−csθ，∣BF∣=21+csθ，
则 ∣AF∣⋅∣BF∣=21−csθ×21+csθ=4sin2θ≥4．
6. A【解析】由 y=−x2,4x+3y−8=0 得 3x2−4x+8=0．
Δ=−42−4×3×8=−800，消去 y 得 k2x2−2k2p+2px+k2p2=0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，且 x1>x2，则 x1x2=p2. ⋯⋯①
因为 AM=2MB，所以 p−x1,−y1=2x2−p,y2，所以 p−x1=2x2−p，于是 x1=−2x2+3p. ⋯⋯②
由①②得 x1=2p，x2=p2，故 ∣AF∣∣BF∣=2p+p2p2+p2=52．
13. B【解析】如图所示，设 E 为准线与 x 轴的交点，过 B 作 BB1⊥l 于 B1，
由 FA=−2FB 得，∣AF∣∣AB∣=23=∣EF∣BB1．
又 ∣EF∣=2，
所以 BB1=3．
设 AxA,yA，BxB,yB．
因为 BB1=x+p2=xB+1=3，
所以 xB=2，结合图象得 B2,22，
所以 ∣AB∣=xA−xB⋅1+kBF2=∣−1−2∣⋅1+222=9．
14. D【解析】设 Mx1,y1，Nx2,y2．由已知可得直线的方程为 y=23x+2，即 x=32y−2，由 y2=4x,x=32y−2 可得 y2−6y+8=0．
由根与系数的关系可得 y1+y2=6，y1y2=8，
所以 x1+x2=32y1+y2−4=5，x1x2=y1y2216=4，
因为 F1,0，
所以 FM⋅FN=x1−1⋅x2−1+y1y2=x1x2−x1+x2+1+y1y2=4−5+1+8=8．故选D．
15. B
【解析】由抛物线方程可知焦点 F 的坐标为 0,1，联立直线方程与抛物线方程，得 x−2y+4=0,x2=4y, 解得 x=−2,y=1 或 x=4,y=4,
不妨令 A−2,1，B4,4，
所以 ∣AB∣=36+9=35，∣AF∣=4+0=2，∣BF∣=16+9=5，
所以在 △ABF 中，cs∠AFB=∣AF∣2+∣BF∣2−∣AB∣22∣AF∣∣BF∣=4+25−452×2×5=−45，
所以 sin∠AFB=1−1625=35．
16. C【解析】因为直线 MF 的斜率为 3 ，
所以直线 MF 的倾斜角为 60∘，
则 ∠FMN=60∘．
由抛物线的定义得 ∣MF∣=∣MN∣，
所以 △MNF 为等边三角形．
过 F 作 FH⊥MN，垂足为 H．
易知 F1,0，l 的方程为 x=−1，
所以 ∣OF∣=1，∣NH∣=2，
所以 ∣MF∣=∣MF∣2+2，
即 ∣MF∣=4，
所以 M 到直线 NF 的距离 d=∣FH∣=∣MF∣⋅sin60∘=4×32=23．
17. A【解析】由 y2=2pxp>0 得，Fp2,0．
过 B 作 BB1 垂直于准线，垂足为 B1，
则 ∣BF∣=BB1．
由 CB=3BF 得，∣CB∣=3BB1．
因此直线 l 的斜率为 22，从而直线 l 的方程为 y=22x−p2．
由 y2=2px,y=22x−p2,
得 2y2−2py−2p2=0，
解得 yA=2p，yB=−22p，
所以 ∣AF∣∣BF∣=yAyB=2p22p=2．
18. D【解析】由题知直线 MN 的方程为 y=23x+2．
联立抛物线与直线方程 y=23x+2,y2=4x,
解得 x1=1,y1=2, x2=4,y2=4.
设 M1,2，N4,4，由题可得 F1,0，
所以 FM=0,2，FN=3,4，
所以 FM⋅FN=8．
19. A【解析】如图，设点 A，P 的坐标分别为 m,n，x,x−1，
则点 B 的坐标为 2m−x,2n−x+1．
因为 A，B 在 y=x2 上，
所以 n=m2,2n−x+1=2m−x2.
消去 n，整理，得关于 x 的方程 x2−4m−1x+2m2−1=0. ⋯⋯①
因为 Δ=4m−12−42m2−1=8m2−8m+5>0 恒成立，
所以方程 ① 恒有实数解，所以应选A．
20. C
【解析】过点 M 作 MD⊥EG，垂足为 D．
由题意得点 Mx0,22x0>p2 在抛物线上，
则 8=2px0，得 px0=4，记为①式，
由抛物线的性质可知 DM=x0−p2，
因为 sin∠MFG=13，
所以 DM=13MF=13x0+p2，
所以 x0−p2=13x0+p2，
解得 x0=p，记为②式，
由①②，解得 x0=p=−2（舍去）或 x0=p=2．
故抛物线 C 的方程是 y2=4x．
21. A【解析】设 AF=a，BF=b，连接 AF，BF，
过点 A，B 向准线作垂线，垂足分别为 Q，P．
由抛物线定义，得 AF=AQ，BF=BP，
在梯形 ABPQ 中，2MN=AQ+BP=a+b．
由余弦定理得，
AB2=a2+b2−2abcs120∘=a2+b2+ab，
配方得，AB2=a+b2−ab，
又因为 ab≤a+b22，
所以 a+b2−ab≥a+b2−14a+b2=34a+b2，
得到 AB≥32a+b．
所以 MNAB≤12a+b32a+b=33，
即 MNAB 的最大值为 33．
22. A【解析】根据题意可知直线 l1，l2 的斜率存在且不为零，抛物线 C 的焦点 F 的坐标为 1,0，
设直线 l1 的方程为 y=kx−1，
代入抛物线方程得 k2x2−2k2+4x+k2=0，
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x1+x2=2k2+4k2=2+4k2，
根据抛物线定义得 AF=x1+1，BF=x2+1，
所以 AB=AF+BF=x1+x2+2=4+4k2．
因为 l2⊥l1，所以用 −1k 代替 k，得 DE=4+4k2，
所以 AB+DE=8+41k2+k2≥8+4×21k2⋅k2=16，
当且仅当 k=±1 时，等号成立，故所求的最小值为 16．
23. A【解析】点 A1,2 在抛物线 y2=2px 和直线 2x+y+a=0 上，则 p=2，a=−4，F1,0，则 B4,−4，故 ∣FA∣+∣FB∣=7．
24. B【解析】由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，设其方程为 y=kx−12．由 y=kx−12,y=−x2, 得 2x2+2kx−1=0．设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x1+x2=−k,x1x2=−12, .所以
OA⋅OB=x1x2+y1y2=k2+1x1x2−12kx1+x2+14=−12k2+1−12k⋅−k+14=−14.
25. A
【解析】设 Am,n，Px,x−1，则 B2m−x,2n−x−2，
因为 A，B 在 y=x2 上，
所以 n=m22n−x+1=2m−x2，
消去 n，整理得关于 x 的方程 x2−4m−1x+2m2−1=0 ⋯⋯①
因为 Δ=4m−12−42m2−1=8m2−8m+5>0 恒成立，
所以方程 ① 恒有实数解．
26. D【解析】由题意知，抛物线的焦点为 F1,0．设点 P 到直线 l 的距离为 d，由抛物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为 ∣PF∣−1，所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d+∣PF∣−1 .易知 d+∣PF∣ 的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d+∣PF∣ 的最小值为 ∣2+3∣22+−12=5，所以 d+∣PF∣−1 的最小值为 5−1．
第二部分
27. B， C， D
【解析】焦点 F 到准线的距离为 p=2，所以抛物线 C 的焦点为 1,0，准线方程为 x=−1，故选项A错误；
当 PQ 垂直于 x 轴时，线段 PQ 的长度最小，此时不妨令 P1,2，Q1,−2，
所以 ∣PQ∣min=4，故选项B正确；
设 Px1,y1，Qx2,y2，直线 PQ 的方程为 x=my+1，联立 x=my+1，y2=2px，消去 y 可得 x2−4m2+2x+1=0，消去 x 可得 y2−4my−4=0，所以 x1+x2=4m2+2，y1+y2=4m，x1x2=1，y1y2=−4，S△OPQ=12∣OF∣⋅∣y1−y2∣=12×1×y1+y22−4y1y2=12×16m2+16≥2，
当 m=0 时等号成立，故选项C正确；
又 x1x2=1，y1y2=−4，所以 OP⋅OQ=x1x2+y1y2=−3，故选项D正确．
28. A， C， D
【解析】当直线 MN 的斜率不存在时，
设 My02,y0，Ny02,−y0，
由直线 OM，ON 的斜率之积为 −12，
可得 −1y02=−12，即 y02=2，
所以直线 MN 的方程为 x=2；
当直线 MN 的斜率存在时，
设直线方程为 y=kx+m，联立 y=kx+m,y2=x. 可得 ky2−y+m=0，
设 Mx1,y1，Nx2,y2，
则 y1y2=mk，x1x2=m2k2，
所以 kOM⋅kON=y1y2x1x2=km=−12，即 m=−2k．
故直线方程为 y=kx−2k=kx−2．
故直线 MN 过定点 2,0，
所以 O 到直线 MN 的距离不大于 2，故B中结论正确，C中结论错误；
当 MN⊥x 轴时，OM+ON=220，
所以 2p=1a，
所以 p=12a，其准线方程为 x=−14a，
所以 P0,−14a，A正确；
设切线方程为 y=kx−14ak≠0，
由 y=ax2,y=kx−14a, 得 ax2−kx+14a=0，
令 Δ=k2−4×a×14a=0，解得 k=±1．
所以切点 A12a,14a，B−12a,14a，
因此直线 AB 的方程为 y=14a，B正确；
又 PA=12a,12a，PB=−12a,12a，
所以 PA⋅PB=−14a2+14a2=0．
从而 PA⊥PB，即 PA⊥PB，C正确；
AB=12a−−12a=1a，D错误．
30. A， B， C
【解析】根据题意知，l1∥x 轴，
所以 y1=1，又 P 在抛物线上，
所以 x1=14，
根据抛物线的光学性质知，PQ 过焦点 F，又易知 F1,0，
所以 kPQ=1−014−1=−43，故B正确；
因为 kPQ=−43，
所以直线 PQ 的方程为 y=−43x−1，与 y2=4x 联立，消去 x 得 y2+3y−4=0，
所以 y1+y2=−3，y1y2=−4，
所以 x1x2=y124×y224=1，故A正确；
∣PQ∣=1+1kPQ2∣y1−y2∣=1+−342⋅y1+y22−4y1y2=254，故C正确；
l1 与 l2 之间的距离为 ∣y1−y2∣=y1+y22−4y1y2=5，故D错误．
故选ABC．