2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练55求值最值与范围问题

这是一份2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练55求值最值与范围问题，共9页。试卷主要包含了已知椭圆M，已知抛物线C，如图,已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
(1)求椭圆M的方程;
(2)求|AB|的最大值.
2.已知点E(,0),F,0,点A满足|AE|=|AF|,点A的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与双曲线:=1交于M,N两点,且∠MON=(O为坐标原点),求点A到直线l距离的取值范围.
3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知点O为坐标原点,点P在抛物线C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值.
4.如图,已知椭圆C:=1(a>b>0)内切于矩形ABCD,对角线AC,BD的斜率之积为-,过右焦点F(1,0)的弦交椭圆于M,N两点,直线NO交椭圆于另一点P.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若=λ,且≤λ≤,求△PMN面积的最大值.
5.(2023山西运城二模)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的上焦点为F,C上的点到点F的距离的最大值与最小值的差为2,过点F且垂直于y轴的直线被C截得的弦长为1.
(1)求C的方程;
(2)已知直线l:y=kx+m(m≠0)与C交于M,N两点,与y轴交于点P,若点P是线段MN靠近N点的四等分点,求实数m的取值范围.
6.已知抛物线C:y2=2px(p>0),点A在抛物线C上,点B在x轴的正半轴上,等边三角形OAB的边长为.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线l:x=ty+2(t∈[1,3])与抛物线C相交于D,E两点,直线DE不过点M(0,1),△DEM的面积为S,求的取值范围.
课时规范练55 求值、最值与范围问题
1.解(1)由题意得解得a=,b=1,
所以椭圆M的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
联立得4x2+6mx+3m2-3=0.
因为Δ=36m2-16(3m2-3)>0,所以m24k2且k≠±,
所以有+9>4k2且k≠±,
解得k≠±.
圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,
圆心(0,0)到直线l:y=kx+m的距离为d=>1,
所以点A到直线距离的最大值为+1,最小值为-1,
所以点A到直线l距离的取值范围为-1,+1.
3.解(1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).
因为F(1,0),所以=(x2-x1,y2-y1),=(1-x2,-y2).
因为=9,
所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,
得x1=10x2-9,y1=10y2.
又因为点P在抛物线C上,所以=4x1,所以(10y2)2=4(10x2-9),则点Q的轨迹方程为y2=x-.易知直线OQ的斜率存在.
设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=x-相切时,斜率取得最大值和最小值.
由得k2x2=x-,
即k2x2-x+=0.(*)
当直线OQ和曲线y2=x-相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即-4k2·=0,解得k=±,所以直线OQ斜率的最大值为.
4.解(1)由椭圆C:=1内切于矩形ABCD,对角线AC,BD的斜率之积为-,
可得解得
故椭圆的标准方程为=1.
(2)依题意可知直线MN的斜率不为0,故设其方程为x=my+1,
联立
消去x,得(3m2+4)y2+6my-9=0.
Δ=(6m)2-4(3m2+4)(-9)>0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-.
因为S△PMN=2S△OMN=2××1×|y1-y2|=.
又=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),
所以由=λ,得-y1=λy2,即y1=-λy2,
于是可得y1+y2=(1-λ)y2=-,①
y1y2=-λ=-,②
由,得,
即λ+-2=.
令h(λ)=λ+(λ>0),当00,
∴f(t)在[1,3]上单调递增,∴f(t)∈[9,55],
∴的取值范围为[36,220].